1.1空间向量及其表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本检测卷通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，覆盖空间向量线性运算、共线共面定理等核心知识点，从概念辨析到几何体综合应用，梯度合理，助力新授课知识内化与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单位向量运算、共线共面判定|单选1-3直接考查概念，填空12强化共面系数计算，夯实空间观念| |中档|向量线性表示、数量积应用|单选5-7结合三棱锥/平行六面体情境，多选9-11辨析定理，提升推理能力| |拔高|几何体中向量综合运算|解答17-19以正四面体为载体，融合模长与夹角计算，培养几何直观与综合应用能力|

人教A版选择性必修第一册第一节空间向量及表示检测卷 一、单选题 1．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．8 3．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 4．在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 7．已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 8．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 二、多选题 9．（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．给出下列命题，其中不正确的命题为（    ） A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段； B．若，则是钝角； C．若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量； D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面． 三、填空题 12．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则___________. 13．在正三棱锥中，是的中心，，则______. 14．如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__． 四、解答题 15．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 16．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 17．如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 18．平行六面体， (1)若，，，，，，求长； (2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值． 19．如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. (1)用向量，，表示； (2)求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册1.1空间向量及其线性运算检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C D C B C BCD ABD 题号 11 答案 ABCD 1．A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 2．C 【分析】由已知可得,根据向量的和差等运算规律得出,然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】解:由题知由于是空间中两个不共线的向量, 且有, 所以, 因为三点共线, 所以, 所以存在实数,使得, 所以, 所以. 故选:C 3．A 【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断. 【详解】A. 向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度，故正确； B. 空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故错误； C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； D.互为相反向量的两个向量不相等，但两个空间向量的模相等，故错误； 故选：A 4．C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 5．D 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 6．C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    7．B 【分析】利用向量之间的大小关系，进行代换得到答案. 【详解】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 8．C 【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 9．BCD 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10．ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 11．ABCD 【分析】结合向量相关知识，对每个选项依次检验，证明其成立或举出反例判定该选项错误. 【详解】考虑平行四边形中，满足，不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；所以A选项不正确； 当非零向量夹角为时，满足，但它们夹角不为钝角，所以B选项不正确； 若为直线l的方向向量，当不能说是l的方向向量，所以C选项不正确； 考虑三棱柱，，满足与，与，与都是共面向量，但不共面，所以D选项不正确. 故选：ABCD 【点睛】此题考查向量相关概念问题的辨析，考查基础知识的掌握程度，易错点在于对细节特殊情况的讨论. 12．3 【分析】利用空间中四点共面的判定条件进行求解. 【详解】已知空间任意一点和不共线的三点，，， 则，，，四点共面等价于：， 所以. 故答案为：3. 13．/ 【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得. 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：    14． 【解析】①，不妨取，利用，即可得出． ②连接，与交于点．连接，交于点，连接．平面，可得．根据点为的中点，可得点为的中点．延长交线段的延长线于点．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：①，不妨取， ． ． ②连接，与交于点．连接，交于点，连接． 平面，． 点为的中点，点为的中点． 延长交线段的延长线于点． ，． ． ， ． 则． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．(1)共面 (2)不共面 【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【详解】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 17．(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解； （2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解. 【详解】（1）因为是的中点，，所以， 又，所以， 则. （2）因为， 所以由正四面体的棱长为4， 可得， 故. 18．(1)； (2). 【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出； (2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解. 【详解】（1），，， ， ∴ ， ； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵＝8，∴， 设与所成的角为，则. 19．(1). (2). 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【详解】（1）解：， 所以； （2）解：因为 . 又因为四面体是正四面体， 则， ， ， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $