3.2勾股定理的逆定理导学案-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦勾股定理的逆定理，通过情境引入提出勾股定理的逆问题，结合古代结绳案例引导学生思考，建立与勾股定理的联系，搭建从已知到未知的学习支架。 导学案以理解与应用为核心，设置典例精讲覆盖勾股数识别、四边形面积等多题型，分层巩固练习兼顾基础与提升，注重培养学生推理能力和应用意识，帮助学生掌握逆定理判断直角三角形等方法，提升数学思维与解决综合问题的能力。

3.2勾股定理的逆定理导学案 （新教材・勾股定理逆定理专项） 【学习目标】 1、理解勾股定理的逆定理的内容，掌握其证明方法，能准确区分勾股定理与逆定理的条件、结论的区别与联系； 2、能熟练运用勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否为直角三角形，能准确识别勾股数，掌握勾股数的相关性质； 3、能运用勾股定理的逆定理解决综合问题，包括四边形的面积计算、几何证明、新定义探究等，提升数形结合与数学建模的能力。 【学习重难点】 重点：勾股定理的逆定理的理解与应用，判断三角形是否为直角三角形，勾股数的识别； 难点：勾股定理的逆定理的证明过程，逆定理的综合应用，比如四边形的综合问题、新定义的探究问题。 【学习过程】 一、情境引入 我们之前学习了勾股定理，知道：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 那反过来呢？如果一个三角形的三边，满足 “两边的平方和等于第三边的平方”，那它是不是直角三角形？ 其实，早在古代，我们的祖先就发现了这个规律：用一根长绳，打上 13 个等距的结，然后把绳子分成 3、4、5 的三段，就能围成一个完美的直角三角形！这是为什么呢？ 今天我们就来学习勾股定理的逆定理，解决这个问题，学会怎么通过三角形的三边，判断它是不是直角三角形。 二、知识点梳理 1. 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为、、，满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边所对的角就是直角。 重要提醒： 这个定理和勾股定理是互逆的： 勾股定理：条件是 “三角形是直角三角形”，结论是 “三边满足”； 逆定理：条件是 “三边满足”，结论是 “三角形是直角三角形”。 验证的时候，一定要先找最长边，然后验证两个较短边的平方和，是不是等于最长边的平方，不能随便找两个边就计算！ 2. 勾股数 满足 的三个正整数，就叫做勾股数。 注意： 1、必须是正整数！比如 0.3、0.4、0.5，虽然满足，但是它们不是整数，所以不是勾股数； 2、如果、、是勾股数，那么它们的正整数倍、、，也一定是勾股数，比如 3、4、5 的 2 倍 6、8、10，也是勾股数； 3、常见的勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17，这些要记清楚，做题的时候可以直接用。 3. 勾股定理的逆定理的作用 （1）判断一个三角形是不是直角三角形； （2）判断一个角是不是直角； （3）解决四边形的面积问题：把不规则的四边形，分成两个三角形，用逆定理判断其中一个是直角三角形，然后分别计算两个三角形的面积，加起来就是四边形的面积。 三、典例精讲 例 1：勾股数的识别 （2025・无锡滨湖期末）下列各组数中，是勾股数的一组是 ( ) A. 1，2，3 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 0.3，0.4，0.5 解析： A 选项：，不满足平方和，不是勾股数； B 选项：不是整数，不符合勾股数的正整数要求，不是； C 选项：5、12、13 都是正整数，且，符合勾股数的定义，正确； D 选项：都是小数，不是正整数，不是勾股数。 答案：C 例 2：逆定理的基础判断（三边能否构成直角三角形） （2025・泰州兴化期末）下列四组线段长度中，可以构成直角三角形的是 ( ) A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. ，4， D. 1，，2 解析： 先找每组的最长边，然后验证平方和： A 选项：最长边 6，，不是； B 选项：最长边 4，，不是； C 选项：最长边 4，，不是； D 选项：最长边 2，，满足，是直角三角形。 答案：D 例 3：逆定理的角度判断 （2025・江苏南通期末）在中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，若，则 ( ) A. ∠A 是直角 B. ∠B 是直角 C. ∠C 是直角 D. 不确定 解析： 把式子整理一下：， 这说明，最长边是，和是较短的边，满足平方和等于，所以最长边所对的角∠A 就是直角。 答案：A 例 4：勾股数的规律探究 （2025・江苏苏州期末）我们发现，很多本原勾股数（互质的勾股数），都有这样的规律：如果一个偶数是，那么另外两个数就是和，比如 4=2×2×1，那么另外两个就是，，刚好是 3,4,5。 那如果有一组勾股数 21，72，75，按照这个规律，求的值。 解析： 首先，把这三个数约去公因数，都除以 3，得到 7，24，25， 其中偶数是 24，所以，也就是， 然后，，， 解这两个式子，相加得，所以，，那么， 所以。 答案：7 例 5：逆定理的四边形面积应用 （2025・江苏宿迁期末）某广场内有一块空地ABCD如图所示,现计划在空地上种草皮.经测量，∠B=90°，AB=6m，BC=8m，CD=24m，AD=26m， (1) 连接，判断的形状并说明理由； (2) 若草坪每平方米 80 元，铺满这块空地共需费用多少元？ 解析： (1) 是直角三角形，理由： 在中，∠B=90°，根据勾股定理， m， 在中，，，， 验证：，满足， 所以根据逆定理，是直角三角形，∠ACD=90°。 (2) 计算面积： m²， m²， 所以四边形的面积是 m²， 费用是元。 答案：(1) 是直角三角形；(2) 11520 元。 例 6：逆定理的综合证明 （2025・江苏连云港期末）在中，，垂足为 D，且，，，求证：是直角三角形。 解析： 首先，在中，根据勾股定理，， 然后，在中，， 所以， 现在验证三边的平方和： ， ， 所以，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形。 例 7：新定义：勾股分割点 定义：点 M，N 把线段分割成，，三段，若以这三段为边的三角形是直角三角形，则称点 M，N 是线段的勾股分割点。 已知点 M，N 是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长。 解析： 设，那么三段的长度就是 2，，3， 因为是直角边，所以根据勾股定理，，或者， 但是，所以不可能，因为是正数， 所以只能是？不对，不对，应该是： 因为是直角边，所以两个直角边的平方和等于斜边的平方， 所以：，解得， 或者，，不可能，因为左边大于右边， 所以。 四、分层巩固练习 基础过关 1、（2025・泰州兴化期末）下列线段，能构成直角三角形的是 ( ) A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 5，11，12 2、（2025・江苏南通期末）在中，三边，若，则哪个角是直角？( ) A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. 不确定 3、（2025・江苏扬州期末）一个三角形三边长的比为 3∶4∶5，周长为 36 cm，则它的面积为 cm²。 4、（2025・江苏淮安期末）下列各组数中，勾股数的是 ( ) A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. 6，8，10 D. 4，5，6 能力提升 5、四边形中，∠B=90°，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，这个四边形的面积是 。 6、 在中，，AB=15，AD=12，AC=13，那么的长是 . 7、 若的三边满足，则的形状是 。 8、 在中，AC=6，BC=8，AB=10，AD 是角平分线，则的长为 。 9、 P 是等边内一点，，连接，使得，则下列结论错误的是 ( ) A. 是正三角形 B. 是直角三角形 C. ∠APB=150° D. ∠APC=135° 10、 （2025・江苏无锡期末）我们定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为勾股边。 (1) 写出你知道的勾股四边形的名称； (2) 如图，以的边作正三角形，∠CBE=60°，BE=BC，求证：，即四边形是勾股四边形。 11、（2025・江苏苏州期末）证明：对于正整数，，，这三个数，一定是勾股数。 12、如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且CB2＝AE2－CE2. (1) 求证：∠C＝90°； (2) 若AC＝4，BC＝3，求CE的长． 五、课堂小结 今天我们学习了勾股定理的逆定理，我们需要注意这些易错点： 1、用逆定理判断直角三角形的时候，一定要先找最长边，然后验证两个短边的平方和，是不是等于最长边的平方，不能随便找两个边就计算，否则会出错； 2、勾股数必须是正整数，小数、分数哪怕满足平方和，也不是勾股数，这个一定要注意； 3、要分清勾股定理和逆定理的区别：勾股定理是已知直角，求边的关系；逆定理是已知边的关系，判断直角，不要搞混了； 4、对于四边形的问题，我们可以用逆定理，把它分成两个三角形，判断其中一个是直角，然后计算面积，这是非常常用的方法。 通过今天的学习，我们就可以解决很多判断直角的问题了，为后续的学习打下基础。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2分层巩固练习答案与解析 基础过关 1、答案：C 解析：，满足逆定理，是直角三角形。 2、答案：B 解析：整理得，所以最长边是 b，对应的角∠B 是直角。 3、答案：54 解析：设三边为 3x,4x,5x，周长 12x=36，x=3，所以三边 9,12,15，面积。 4、答案：C 解析：，构成直角三角形且为正整数 能力提升 5、答案：144 解析：分成两个直角三角形，面积 24+120=144。 6、答案：14 解析：BD=9，CD=5，所以 BC=9+5=14。 7、答案：等腰三角形或直角三角形 解析：要么 a=c，要么，所以是等腰或直角三角形。 8、答案：3 解析：角平分线的性质，解得 CD=3。 9、答案：D 解析：根据条件，∠APC 不是 135°，其余都正确。 10、答案：(1) 矩形、正方形；(2) 证明：证明，然后用逆定理即可。 11、答案：证明：，所以满足平方和，且都是正整数，因此是勾股数。 12、 (1) 证明：连接BE.因为边AB上的垂直平分线为DE，所以AE＝BE. 因为CB2＝AE2－CE2，所以CB2＝BE2－CE2， 所以CB2＋CE2＝BE2，所以∠C＝90°. (2) 解：设CE＝x，则AE＝BE＝4－x， 在Rt△BCE中，BE2－CE2＝BC2， 所以(4－x)2－x2＝32，解得x＝， 所以CE的长为 学科网（北京）股份有限公司 $