专题3.3 幂函数（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理幂函数的概念（定义、特征）、图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性等），并通过12类题型（如判断幂函数、求解析式、比较大小等）搭建学习支架，帮助学生构建从基础概念到综合应用的知识脉络。 资料以“知识点+题型+变式”设计为亮点，通过具体例题培养学生数学思维（如推理能力、运算能力），结合图象分析发展数学眼光（几何直观），规范解题过程强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，巩固知识盲点。

专题3.3 幂函数（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断函数是否是幂函数】 1 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 2 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 2 【题型4 求幂函数的定义域】 5 【题型5 幂函数的值域问题】 6 【题型6 幂函数图象的判断及应用】 7 【题型7 幂函数图象过定点问题】 8 【题型8 幂函数的奇偶性的应用】 8 【题型9 判断幂函数的单调性】 9 【题型10 由幂函数的单调性求参数】 9 【题型11 由幂函数的单调性比较大小】 10 【题型12 利用幂函数的性质解不等式】 10 考点1 幂函数的概念 知识点1 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 判断函数是否是幂函数】 【例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（25-26高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式2-1】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·江西·期中）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一上·山东日照·期末）“函数是幂函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【变式3-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数过点，则（     ） A．0 B．2 C．1 D．3 【变式3-2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式3-3】（25-26高一上·山西运城·期末）“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点2 幂函数的图象与性质 知识点2 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 知识点3 对勾函数的图象与性质 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域】 【例4】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型5 幂函数的值域问题】 【例5】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【题型6 幂函数图象的判断及应用】 【例6】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·广东广州·期中）下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（    ）          A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 【题型7 幂函数图象过定点问题】 【例7】（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为___________. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为___________． 【变式7-3】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【题型8 幂函数的奇偶性的应用】 【例8】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【变式8-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【变式8-3】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型9 判断幂函数的单调性】 【例9】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【变式9-1】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·云南昆明·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型10 由幂函数的单调性求参数】 【例10】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若幂函数在上单调递减，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·云南红河·期末）“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型11 由幂函数的单调性比较大小】 【例11】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型12 利用幂函数的性质解不等式】 【例12】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【变式12-3】（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 幂函数（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断函数是否是幂函数】 1 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 3 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 4 【题型4 求幂函数的定义域】 8 【题型5 幂函数的值域问题】 9 【题型6 幂函数图象的判断及应用】 12 【题型7 幂函数图象过定点问题】 15 【题型8 幂函数的奇偶性的应用】 16 【题型9 判断幂函数的单调性】 17 【题型10 由幂函数的单调性求参数】 19 【题型11 由幂函数的单调性比较大小】 21 【题型12 利用幂函数的性质解不等式】 23 考点1 幂函数的概念 知识点1 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 判断函数是否是幂函数】 【例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【解答过程】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】由幂函数的定义即可求解. 【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的定义即可得解. 【解答过程】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用幂函数定义直接判断作答. 【解答过程】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B. 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可. 【解答过程】因为函数为幂函数，所以可设， 因为图象过， 所以， 所以，即， 所以 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【解答过程】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·江西·期中）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【解答过程】由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据求出的值，由此可得出幂函数的解析式. 【解答过程】根据题意，设，则，可得，解得，故. 故选：D. 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一上·山东日照·期末）“函数是幂函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解答过程】若函数是幂函数， 则，解得或； 则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立； 所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数过点，则（     ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义，得到，求得或，结合过点，即可求解. 【解答过程】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，，此时不过点，舍去； 当时，，此时过点，所以. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的定义确定的可能值，再结合幂函数与坐标轴有公共点的条件筛选出符合要求的值. 【解答过程】依题意得，解得或， 当时，，其图象是平行于轴且过点的直线（除去点），其图象与x轴和y轴均无公共点，不符合要求； 当时，，其图象是过原点的直线，与坐标轴有公共点（原点），符合要求. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·山西运城·期末）“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由幂函数的定义求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若是幂函数，则，解得或； 所以由推得出是幂函数，故充分性成立； 由是幂函数推不出，故必要性不成立； 所以“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 考点2 幂函数的图象与性质 知识点2 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 知识点3 对勾函数的图象与性质 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域】 【例4】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【解答过程】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【解答过程】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得， 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解答过程】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 【题型5 幂函数的值域问题】 【例5】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知条件分析求出参数，结合题意分析得出函数的解析式，然后利用函数单调性求值域即可. 【解答过程】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【解题思路】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，方法一：将转化为有关的式子即可求解；方法二：求出代入即可求解； （ii）方法一：根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.方法二：因为在上单调递增，可求解. 【解答过程】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一：， ； 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【题型6 幂函数图象的判断及应用】 【例6】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【解答过程】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【解答过程】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【解答过程】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·广东广州·期中）下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（    ）          A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 【答案】A 【解题思路】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像. 【解答过程】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①； 幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②； 幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③； 幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④； 故选：A. 【题型7 幂函数图象过定点问题】 【例7】（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【答案】 【解题思路】根据幂函数的图象过定点求解. 【解答过程】令 ， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为___________. 【答案】 【解题思路】根据幂函数恒过定点求解. 【解答过程】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为___________． 【答案】(1,2) 【解题思路】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【解答过程】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【解题思路】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【解答过程】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 【题型8 幂函数的奇偶性的应用】 【例8】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解题思路】先依据幂函数的系数特征求出m的可能取值，再结合偶函数的性质确定m的具体值，最终计算. 【解答过程】由幂函数定义得，即，解得或. 当时，，为偶函数； 当时，，为奇函数， 故. 则，. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【解答过程】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【解题思路】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【解答过程】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D. 【变式8-3】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据幂函数奇偶性分别验证充分性和必要性即可. 【解答过程】当时，，是奇函数，充分性成立； 若是奇函数，则需，或， 当时，是奇函数， 当时，是奇函数，或，必要性不成立； “”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型9 判断幂函数的单调性】 【例9】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用待定系数法求出的解析式，根据奇函数定义和幂函数性质判断. 【解答过程】设，则，所以，故，， 又，所以是奇函数，且在上单调递增. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【解答过程】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 【变式9-2】（25-26高一上·云南昆明·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性的定义和单调性即可判断. 【解答过程】令，其定义域为， 又，    ，是偶函数， 根据幂函数的性质可知，在单调递减，根据偶函数的性质即在上单调递增，故A错误. ，其定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故B错误. 令，其定义域为，又，是偶函数， 根据幂函数的性质可知，在单调递增，根据偶函数的性质即在上单调递减，故C正确. 令，其定义域为，，为奇函数，故D错误. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，由结合函数的递减区间可得结果. 【解答过程】， 由得，又， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A． 【题型10 由幂函数的单调性求参数】 【例10】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若幂函数在上单调递减，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义可求出参数值，结合幂函数的单调性即可求解. 【解答过程】因为函数为幂函数，所以，即，解得，或； 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 所以. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用幂函数的单调性和奇偶性来进行判断即可. 【解答过程】由幂函数在单调递减，可得指数， 因此排除指数为正的选项A，B； 再由图像关于轴对称，说明是偶函数， 对于C：，，定义域为， 因为，所以是奇函数，关于原点对称，故C不符合要求； 对于D：，，定义域为， 因为，所以是偶函数，关于轴对称，因此选项D符合要求； 故选：D. 【变式10-2】（25-26高一上·云南红河·期末）“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由幂函数的概念，即可求出，或，均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果. 【解答过程】因为是幂函数， 所以，解得，或， 又时，在上单调递增， 时，在上单调递增， 所以“”是“幂函数， 在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式10-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的性质列式求出值. 【解答过程】由幂函数在区间上单调递增，得，而， 解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此. 故选：C. 【题型11 由幂函数的单调性比较大小】 【例11】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 【变式11-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【解答过程】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 【变式11-2】（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据幂函数单调性分析判断即可. 【解答过程】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 【变式11-3】（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，得到在上单调递减，进而即得. 【解答过程】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 【题型12 利用幂函数的性质解不等式】 【例12】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【解答过程】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 【变式12-1】（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式12-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和单调性求出值. （2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 【变式12-3】（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案； （2）结合（1）中m的值，再结合幂函数的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案. 【解答过程】（1）由于函数是幂函数，故， 解得或， 当时，在上是增函数，不合题意； 当时，在上是减函数，符合题意， 故. （2）由（1）知，则， 结合幂函数在上为增函数， 得，解得， 即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $