3.3 幂函数（10个题型归纳）讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.3 幂函数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数． （2）常见的5种幂函数的图像 （3）常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 R R R ___ ___ 值域 R _ _____ R _ _____ 奇偶性 ___奇___ 偶 ___奇___ 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 ___在上单调递减_________ _在R上单调递增___ ___在上单调递增_____ _在和上单调递减____ 公共点 ______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断函数是否为幂函数】 【练方法】 公式结论 1.幂函数标准定义： 必须同时满足三点：底数为单独自变量、幂项系数为、无常数项与额外系数 2.非幂函数典型形式：、、 方法技巧 1.根式、分式先化为分数指数幂标准形式，再逐条对照定义检验 2.解析式含系数、含常数项，一定不是幂函数 下列函数是幂函数的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. （25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. （25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【题型2：幂函数的求值】 【练方法】 公式结论 1.已知幂函数过点，代入得：，求解常数 2.指数恒等变形：， 方法技巧 1.先求指数写解析式，再代入自变量求值 2.负指数、分数指数统一转分式、根式简化运算 （25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. （24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________．小试牛刀1 【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . （25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ）小试牛刀2 A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. （25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据幂函数的一般式，由待定系数法求得解析式，再令，求得函数值. 【详解】设，代入点， 可得， 解得，所以， 所以. 【题型3：与幂函数有关的定义域问题】 【练方法】 公式结论 设最简指数，互质 1. 奇数：定义域 偶数：定义域 2.：，定义域 3.， 奇数：定义域 偶数：定义域 方法技巧 1.指数必须先约分最简，再看分母奇偶判定义域 2.复合幂函数定义域取多层约束交集 （25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. （25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． （23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A （23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 【题型4：与幂函数有关的值域问题】 【练方法】 公式结论 设最简指数，互质 1.定义域，值域 2.定义域 奇数：值域 偶数：值域 3. 定义域，值域 定义域，值域 方法技巧 1.由定义域、指数正负、分子分母奇偶判定值域 2.有限区间利用端点、单调性确定最值值域 （25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. （25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称．小试牛刀1 (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. （25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减.小试牛刀2 (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义，得到，再由幂函数的性质，即可求解； （2）设，则，转化为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 幂函数在区间上单调递减，所以，即. （2）解：由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. （25-26高一上·福建·期中）函数的值域为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【题型5：与幂函数有关的图像判断】 【练方法】 公式结论 1.定点规律：所有幂函数过 过 不过原点 2.第一象限图像性质 ：递增、下凸 ：递增、上凸 ：递减、双曲线型 方法技巧 1.先定点、再判增减、最后看凹凸 2.由定义域判断图像是否存在左侧分支 （25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. （23-24高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D （25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写）小试牛刀2 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　）小试牛刀3 A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 【题型6：与幂函数有关的奇偶性】 【练方法】 公式结论 最简指数，互质 1.偶数：定义域非对称，非奇非偶 2.奇数 奇数：，奇函数 偶数：，偶函数 方法技巧 1.不约分不能判奇偶，必须最简分数指数 2.分母偶直接非奇非偶，无需代值验证 （2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ）经典例题1例题 A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. （25-26高一上·上海·期末）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________小试牛刀1 【答案】或 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 （25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ）小试牛刀2 A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值．小试牛刀3 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【详解】幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， 因为，所以 ，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 【题型7：与幂函数有关的单调性】 【练方法】 公式结论 1.第一象限统一规律 ：在递增 ：在递减 2.全区间规律 奇函数幂函数：左右区间单调性一致 偶函数幂函数：左右区间单调性相反 方法技巧 1.间断区间严禁使用连接 2.正负区间分段讨论单调性 （25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C （25-26高一上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： （24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的单调递减区间为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】先求函数的定义域，然后由复合函数的单调性，同增异减的原则分析即可. 【详解】由得：， 所以函数的定义域为：， 令，其对称轴为， 所以在上单调递增，上单调递减， 在上单调递增， 故复合函数在上单调递增，上单调递减， 故答案为：. （24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数，则，整理可得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，由，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故选：C. 【题型8：与幂函数有关的奇偶性单调性解不等式】 【练方法】 公式结论 1.偶函数统一转化： 2.奇函数单调递增： 3.奇函数单调递减： 方法技巧 1.偶函数全部加绝对值，转正区间求解 2.必须同时满足定义域约束+单调不等关系 （25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. （25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. （25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数则不等式的解集为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，得到函数为偶函数且函数在单调递增，在单调递增，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为， 平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【题型9：由幂函数的单调性比较大小】 【练方法】 公式结论 1.同指数正底数 方法技巧 1.优先统一指数，利用第一象限单调性比大小 2.负数自变量借助奇偶转正再比较 （25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接）经典例题1例题 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. （25-26高一上·广东广州·期末）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数，在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 故选：A. （25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. （25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 【题型10：幂函数的图像与性质综合】 （25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增，经典例题1例题 (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数 ．小试牛刀1 (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出 并验证，进而求出 值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. （3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． （25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数.小试牛刀2 (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. （25-26高一上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数.小试牛刀3 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的概念，结合奇偶性即可求解； （2）把不等式转化为一元二次不等式来求解即可； （3）利用的任意性，求出的最大值为4，利用的存在性，求出，从而可求解参数范围. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为偶函数，符合题意： 当时，为奇函数，舍去. 综上：. （2） 或， 所以的取值范围为. （3）因为对，都存在，使得都成立， ，其中， 函数在上单调递增，所以在时取到最大值为4. 即， 因为存在，使得成立， 又因为是关于的在单调递增函数， 或， 故实数的取值范围为. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 2．（25-26高一上·天津·期中）已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在上单调递增即可判断出答案. 【详解】 因为幂函数，在上单调递增，且， 所以， 即， 所以. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义及图象特征列式求解. 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析求出参数，结合题意分析得出函数的解析式，然后利用函数单调性求值域即可. 【详解】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. 6．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数图象性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，由的图象经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 7．（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算，再结合的单调性即可求解. 【详解】因为， ， ， ， 所以， 由幂函数在单调递增， 所以， 故选：A 8．（25-26高一上·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据幂函数的概念和单调性求的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以 ，所以. 又幂函数是定义在上的增函数， 所以 . 故选：C 9．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 10．（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断. 【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 12．（25-26高一上·广东广州·期中）已知（），则（    ） A．当时，是减函数 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】将各选项的值代入，再根据函数的定义域，单调性，奇偶性进行判断即可. 【详解】对于A选项，时，，定义域为，在定义域内非单调函数，故A错误； 对于B选项，时，，在上单调递增，因为，所以，故B正确； 对于C选项，时，，所以，定义域为，符合偶函数定义，故C正确； 对于D选项，时，，所以，但函数定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 13．（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 14．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 15．（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】/ 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 16．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，将代入即可求出答案. 【详解】设幂函数为，又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 17．（25-26高一上·天津·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数定义及奇偶性、单调性求解. 【详解】由可得， 当时，，函数是奇函数，不符合题意； 当时，，定义域为，函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，且在上为减函数，符合题意. 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，然后按照函数奇偶性的定义判断即可；     （2）先利用奇偶性化简得，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得，       则，其定义域为.       因为，所以为奇函数. （2）由，可得. 而在上单调递减且恒负，在上单调递减且恒正， 所以或或，解得或. 故的取值范围是. 19．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）转化问题解不等式，进而求解即可； （3）整理可得，分类讨论，结合含参一元二次不等式运算求解即可. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，舍去； 当时，为偶函数，符合题意. 综上所述，. （2）因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且为偶函数， 则，等价于， 则，整理得，解得或， 所以的取值范围为． （3）由， 则，即， 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 20．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)在上为减函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. 【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得，故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.3 幂函数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数． （2）常见的5种幂函数的图像 （3）常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 R R R ___ ___ 值域 R _ _____ R _ _____ 奇偶性 ___奇___ 偶 ___奇___ 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 ___在上单调递减_________ _在R上单调递增___ ___在上单调递增_____ _在和上单调递减____ 公共点 ______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断函数是否为幂函数】 【练方法】 公式结论 1.幂函数标准定义： 必须同时满足三点：底数为单独自变量、幂项系数为、无常数项与额外系数 2.非幂函数典型形式：、、 方法技巧 1.根式、分式先化为分数指数幂标准形式，再逐条对照定义检验 2.解析式含系数、含常数项，一定不是幂函数 下列函数是幂函数的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：幂函数的求值】 【练方法】 公式结论 1.已知幂函数过点，代入得：，求解常数 2.指数恒等变形：， 方法技巧 1.先求指数写解析式，再代入自变量求值 2.负指数、分数指数统一转分式、根式简化运算 （25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 （24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________．小试牛刀1 （25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ）小试牛刀2 A．8 B．2 C．4 D． （25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______.小试牛刀3 【题型3：与幂函数有关的定义域问题】 【练方法】 公式结论 设最简指数，互质 1. 奇数：定义域 偶数：定义域 2.：，定义域 3.， 奇数：定义域 偶数：定义域 方法技巧 1.指数必须先约分最简，再看分母奇偶判定义域 2.复合幂函数定义域取多层约束交集 （25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为______.小试牛刀3 【题型4：与幂函数有关的值域问题】 【练方法】 公式结论 设最简指数，互质 1.定义域，值域 2.定义域 奇数：值域 偶数：值域 3. 定义域，值域 定义域，值域 方法技巧 1.由定义域、指数正负、分子分母奇偶判定值域 2.有限区间利用端点、单调性确定最值值域 （25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________.经典例题1例题 （25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称．小试牛刀1 (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． （25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减.小试牛刀2 (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. （25-26高一上·福建·期中）函数的值域为______.小试牛刀3 【题型5：与幂函数有关的图像判断】 【练方法】 公式结论 1.定点规律：所有幂函数过 过 不过原点 2.第一象限图像性质 ：递增、下凸 ：递增、上凸 ：递减、双曲线型 方法技巧 1.先定点、再判增减、最后看凹凸 2.由定义域判断图像是否存在左侧分支 （25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写）小试牛刀2 如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　）小试牛刀3 A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【题型6：与幂函数有关的奇偶性】 【练方法】 公式结论 最简指数，互质 1.偶数：定义域非对称，非奇非偶 2.奇数 奇数：，奇函数 偶数：，偶函数 方法技巧 1.不约分不能判奇偶，必须最简分数指数 2.分母偶直接非奇非偶，无需代值验证 （2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ）经典例题1例题 A． B．2 C． D．3 （25-26高一上·上海·期末）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________小试牛刀1 （25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ）小试牛刀2 A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值．小试牛刀3 【题型7：与幂函数有关的单调性】 【练方法】 公式结论 1.第一象限统一规律 ：在递增 ：在递减 2.全区间规律 奇函数幂函数：左右区间单调性一致 偶函数幂函数：左右区间单调性相反 方法技巧 1.间断区间严禁使用连接 2.正负区间分段讨论单调性 （25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________.小试牛刀1 （24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的单调递减区间为________．小试牛刀2 （24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：与幂函数有关的奇偶性单调性解不等式】 【练方法】 公式结论 1.偶函数统一转化： 2.奇函数单调递增： 3.奇函数单调递减： 方法技巧 1.偶函数全部加绝对值，转正区间求解 2.必须同时满足定义域约束+单调不等关系 （25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______．经典例题1例题 （25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________．小试牛刀1 （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数则不等式的解集为______．小试牛刀3 【题型9：由幂函数的单调性比较大小】 【练方法】 公式结论 1.同指数正底数 方法技巧 1.优先统一指数，利用第一象限单调性比大小 2.负数自变量借助奇偶转正再比较 （25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接）经典例题1例题 （25-26高一上·广东广州·期末）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：幂函数的图像与性质综合】 （25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增，经典例题1例题 (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. （25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数 ．小试牛刀1 (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． （25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数.小试牛刀2 (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. （25-26高一上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数.小试牛刀3 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津·期中）已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 7．（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 10．（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（25-26高一上·广东广州·期中）已知（），则（    ） A．当时，是减函数 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 三、填空题 13．（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 14．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 15．（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 16．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________． 17．（25-26高一上·天津·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 四、解答题 18．（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 20．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $