第十一章 不等式与不等式组暑假复习专题 2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组的概念理解、解法迁移及实际应用，通过分层题型构建“概念-解法-应用”逻辑链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选2、3等|关键词表示、象限坐标特征|从文字语言到符号语言的概念生成| |解法应用|解答题17|不等式组解法及数轴表示|从单一不等式到不等式组的解法推导| |参数问题|单选4、6等|正整数解分析、无解条件判断|基本解法到含参变式的拓展| |实际应用|解答题20、22等|销售利润、方案设计建模|数学关系到实际问题的应用迁移|

暑假复习专题：第十一章 不等式与不等式组 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 2．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 3．点在第四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至少可以打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 8．若，，则、、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 10．某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 12．不等式组的解集为______． 13．关于x的不等式的解集满足，那么m取值范围是______ ． 14．不等式组的非负整数解是_________． 15．已知方程组的解，满足，则的取值范围是____________． 16．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是____________． 三、解答题 17．解下列不等式（组）： (1)； (2)，并在数轴上画出它的解集． 18．小明解不等式出现了错误，解答过程如下： 解：     第一步              第二步                         第三步 (1)小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误的原因是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 19．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 20．某商店销售一批比赛训练专用足球，第一个月以元/个的价格售出个，第二个月起降价，以元/个的价格将这批剩下的比赛训练专用足球全部售出，销售这批比赛训练专用足球的总销售额超过元．该商店这批比赛训练专用足球至少有多少个？ 21．已知方程组的解中，x是非负数，y是正数． (1)求k的取值范围． (2)化简：． 22．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金4320元，学校至少要购进多少个甲种书柜？ 23．当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 24．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A D C C A B B 1．A 【详解】解：， 解不等式①得, 解不等式②，去分母，得, 移项，合并同类项，得 ∴不等式组的解集在数轴上表示为A选项． 2．B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 3．A 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，点在第四象限， ∴可得不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 4．A 【分析】由不等式的正整数解个数确定最大正整数解为6，结合不等号方向推导的取值范围． 【详解】解：解不等式，得 ， ∵该不等式的正整数解有6个， ∴正整数解为， ∴ ． 5．D 【详解】解：最低气温是，最高气温是， ． 6．C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 7．C 【详解】解：设打折，由题意得， ∴， ∴， 解得． 8．A 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 综上，． 9．B 【分析】先根据已知不等式的解集判断的符号，得到与的数量关系，再代入所求不等式，结合不等式性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向改变， ∴，且， 整理得， ∵， ∴，即， 将代入不等式得， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即所求不等式的解集为． 10．B 【分析】设答对道题，先表示出答错或不答的题量，再根据竞赛规则计算总得分，结合优秀的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：∵设小明答对了道题，一共回答道题， ∴答错或不答的题量为道． 由题意可得：总得分为． ∵优秀选手要求得分是分或分以上，即总得分大于等于， ∴列出不等式为． 11． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 12． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 13． 【分析】根据原不等式的解集可得，则可得到，根据原不等式的解集是满足，得到，据此解两个不等式即可得到答案． 【详解】解：关于x的不等式的解集满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴． 14．或 【分析】分别解两个不等式，取解集公共部分，再从中找出非负整数． 【详解】解：已知不等式组， 解可得， 解可得， 则不等式组的解集为， 故不等式组的非负整数解为或． 15． 【分析】通过加减消元法先求出的表达式，再结合的条件求解的取值范围． 【详解】解： 得：， ， ， ， ． 故答案为：． 16．21 【分析】分两种情况：当为偶数时，则，当为奇数时，则，解不等式求出对应情况中的取值范围，从而确定的最小值，比较即可得到答案． 【详解】解：当为偶数时，则， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为22； 当为奇数时，则， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为21； ∵， ∴输入的最小正整数是． 17．(1) (2) 不等式组的解集在数轴上表示为： 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示见答案． 18．(1)一，去分母时不等号右边的常数项1漏乘了6 (2)解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 【详解】（1）解：小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误的原因是去分母时不等号右边的常数项1漏乘了6； （2）略 19．(1) (2) 【分析】（1）先用含的代数式表示出方程组的解，然后将其代入二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）将原方程组的解代入不等式并求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得，解得， 将代入②，得， 即方程组的解为， 将代入，可得， 解得； （2）解：由（1）可知关于x、y的方程组的解为， 将其代入，得， 解得． 20． 该商店这批比赛训练专用足球至少有个． 【分析】设这批足球有x个，根据总销售额超过元，建立一元一次不等式，解不等式解决问题． 【详解】解：设这批足球有x个， 根据题意，得 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为． 答：该商店这批比赛训练专用足球至少有个． 21．(1) (2) 【分析】（1）先通过加减消元法用含k的代数式表示x、y，再结合x非负、y为正的条件列不等式组，求解得到k的取值范围； （2）根据k的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去绝对值符号后合并化简． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 由题意得， 即， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴原式 ． 22．(1)甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元 (2)8个 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个； 由题意得：， 解得：， 答：学校至少要购进个甲种书柜． 23．(1)， (2) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解集的整数解即可； （2）先求出不等式组的解集为，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解分别求出的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的二次中点解集是，即， ∴二次中点解集中包含的整数解为． （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的一次中点解集为，即， ∵一次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 解得：， 原不等式组的二次中点解集为，即， ∵二次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 24．(1)1 (2)①；②，， (3)，， 【分析】（1）先根据路程=速度时间求出的长度，然后利用已知条件即可求出的长度． （2）先根据的取值范围分别判断点的位置，画出，根据面积法利用即可表示出每种情况对应的面积． （3）将点分三种情况讨论，分别是到达之前，到达返回未到达点时，到达终点时，根据三种情况分别列不等式，求出对应解集即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． （2）解：①当点在上运动时，点运动的路程为， ， 四边形为长方形， ， ． ②当时，点在上，如图所示，则， 的高和的长度相等，即是4， ． 当时，点在线段上，如图所示， 则，， 是中点，为长方形，， ， ， 当时，点在线段上，如图所示， 则 ，， ． （3）解：比先出发秒，的速度为每秒3个单位， 的路程为． ①当点未到达点时，且点未到达点时，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，则， ， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ②当点到达点返回时还没有到达点，且点还没有到达点，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，，， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ③当点到达点返回到点时，且点未到达，如图所示， 由图可知，， ， ， ， ． 当点到达点返回到点时，且点到达时，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $