专题 05不等式与不等式组 专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版七年级下册数学

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组，以“概念-性质-解法-应用”为逻辑链，通过分层题型系统提炼解题方法，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|单选1-4|关键词转化、性质应用|从文字描述抽象不等式，通过性质推理判断| |解集与数轴|单选5-6、填空13-16、解答17|数轴规范表示、解集确定|解不等式（组）到数轴直观表达，强化几何直观| |含参问题|单选7、10-12、填空14-15|参数边界分析、解的非负性|结合方程（组）解的条件，培养推理意识| |实际应用|单选9、解答18、20、23-24|不等关系建立、模型意识|从行程、销售等情境抽象不等式模型，发展应用意识|

专题05不等式与不等式组专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版七年级下册数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用不等式表示x的2倍与3的差不大于8，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 5．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是  （    ） A．   B．   C．   D．   6．不等式的所有正整数解的和是（     ） A．10 B．15 C．6 D．3 7．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 9．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800 C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8 10．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 11．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（　　　）个 A．3 B．4 C．6 D．8 12．已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是(   ) A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 13．关于x的两个不等式＜1与1－3x＞0的解集相同，则a＝__． 14．若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 15．关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 16．不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 三、解答题 17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价，以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过55万元．这批计算机最少有多少台？ 19．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 20．寻乌县委县政府着力打造的“寻乌调查·1930”红色文旅街区于2024年1月1日开街，惊艳亮相于世人面前，该文旅街区已经成为红色革命老区——寻乌的网红打卡点．开街期间，街区内某知名小吃店计划购买甲，乙两种食材制作寻乌特色小吃．已知购买甲种食材和乙种食材共需68元，购买甲种食材和乙种食材共需280元． (1)求甲，乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，但总费用又不超过1200元，则甲种食材至多可以购买多少？ 21．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 22．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 23．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理，则需要完成；若乙单独整理，则需要完成．若乙单独整理时间不超过，则甲单独整理至少多少分钟才能完成？ 24．某市政公司计划购买甲、乙两种树苗共株．已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元，且甲、乙两种树苗的成活率分别为和（成活率）． (1)若购买树苗的钱不超过元，则至少购买甲种树苗多少株？ (2)要使这批树苗的成活率不低于，至多购买甲种树苗多少株？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题05不等式与不等式组专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版七年级下册数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A B A B D A C 题号 11 12 答案 B B 1．A 【详解】解：∵x的2倍可表示为，x的2倍与3的差可表示为， 又∵“不大于8”的含义是差小于或等于8， ∴列出不等式为． 2．D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 3．C 【详解】解：对于A选项，∵，移项得，∴不成立，A错误； 对于B选项，∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∴，B错误； 对于C选项，∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，∴一定成立，C正确； 对于D选项，∵不等式两边乘以同一个负数，不等号方向改变，∴，D错误． 4．A 【分析】本题考查了列不等式，理解至少的含义即可求解，读懂题意是解题的关键．将蛋白质含量至少2克转化为百分比，再根据至少的含义，即可解题． 【详解】解：， 蛋白质含量至少2克，即蛋白质含量， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先移项合并同类项，得，然后把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则把表示在数轴上，如图所示：   ， 故选：B． 6．A 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 不等式的正整数解为 ， 正整数解的和为 ． 7．B 【分析】本题考查解不等式组，易错点是的取值边界． 首先解不等式组得到解集为，由于有且仅有4个整数解，且，因此整数解为，为确保仅这些整数解，需满足，为不包括，需． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵有且仅有4个整数解，且， ∴整数解为， 为确保被包括，需， 为确保不被包括，需， ∴的取值范围是． 故选：． 8．D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组解集在数轴上的表示，先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分，最后在数轴上表示出该公共部分并选择正确选项． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴符合题意的数轴为D项， 故选：D． 9．A 【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【详解】解：由题意可得 210x+90（15﹣x）≥1800， 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键． 10．C 【分析】先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为非负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，即， 又∵分母不为零，即， ∴， ∴， ∴且． 11．B 【分析】可将原方程化为x关于a的二元一次方程，然后根据x＞0，且x为整数来解出a的值． 【详解】解：， ， ， 而， ， ， ， 为正整数 ． 所以所有满足条件的整数有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键． 12．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．将代入方程得出，进而判断①；解方程组得出，根据，建立一元一次方程，解方程得出，即可判断②，计算的值，即可判断③，将代入方程组的解，得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴不是方程的一个解；故①错误 ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∵ ∴ 解得：，故②正确； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③正确； ④当时，方程组的解为：， 则，④正确． 故选：B． 13．1 【详解】解：由得：x＜，由1﹣3x＞0得：x＜，由两个不等式的解集相同，得到=，解得：a=1．故答案为1． 点睛：此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解． 14． 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组有一个整数解为7，列出关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组有一个整数解为， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴． 15． 【分析】根据不等式组无解可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， ∴． 16． 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式，再根据已知解集，结合一元一次不等式组的解集确定法则，即可求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， ∴m的取值范围是． 17．；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取它们的公共部分得不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下 ： 18．最少有105台 【分析】设这批计算机有x台，根据题意可得，第一个月和第二个月销售款总额超过55万元，列不等式求解． 【详解】解：设这批计算机有x台， 由题意得，5500×60+5000（x-60）＞550000， 解得：x＞104． 答：这批计算机最少有105台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列出不等式求解． 19．6 【分析】本题考查了加减消元法． 两方程相加得到，把代入得到，即． 【详解】解：， 得，， 即 把代入，得， ∴． 20．(1)甲种食材和乙种食材的单价分别为38元和30元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设甲种食材和乙种食材的单价分别为元和元．然后根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲种食材，则购买乙种食材．然后根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种食材和乙种食材的单价分别为元和元． 依题意，得，解得：． 答：甲种食材和乙种食材的单价分别为38元和30元． （2）解：设购买甲种食材，则购买乙种食材． 依题意，得，解得， 最大取15． 答：甲种食材至多可以购买． 21．21 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题，分x为奇数和x为偶数两种情况，分别列出不等式，求出x的值，再找出最小正整数即可． 【详解】解：当x为奇数时，根据题意，得， 解得， ∴正整数； 当x为偶数时，， 解得， ∴正整数， 综上，输入的最小正整数x是21． 22． 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 23．则甲单独整理至少25分钟才能完成 【分析】考查知识点：工程问题（工作效率、工作量）、一元一次不等式的应用．解题关键：明确乙的最长工作时间（30分钟），以此计算甲的最少工作时间．易错点：混淆“工作效率”的计算，或忽略“总工作量”的不等关系． 先确定甲、乙的工作效率；再结合乙的最长工作时间（30分钟），表示出乙的工作量；然后设甲的工作时间，根据“甲工作量+乙工作量≥总工作量”列不等式；解不等式得到甲的最少工作时间． 【详解】解：设乙单独整理时间为t分钟，，甲单独整理时间为y分钟． 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 总工作量为1，因此 为使y最小，取，代入得 答：甲单独整理至少25分钟才能完成． 24．(1)至少购买甲种树苗株； (2)要使这批树苗的成活率不低于，至多购买甲种树苗株． 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是由题意正确列出不等式． （1）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，由题意列出一元一次不等式求解即可； （2）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，由题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株， 根据题意，得， 解得． 故至少购买甲种树苗株． （2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株， 根据题意，得， 解得． 故要使这批树苗的成活率不低于，至多购买甲种树苗株． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $