专题提优：不等式与不等式组2025-2026学年数学七年级下册人教版暑假复习专项

**基本信息** 专题提优：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版暑假复习专项，以“概念-性质-解法-应用”为逻辑主线，系统整合基础与综合题型，突出抽象能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|4题|定义判断法（含一元一次不等式要素分析）|从概念生成出发，明确不等式定义与基本特征| |性质应用与推理|3题|性质推理法（不等号方向判定、反例验证）|以不等式性质为原理，推导数量关系| |不等式组解法与参数|6题|解集边界分析法（含无解/整数解条件）|结合数轴工具，构建解集与参数的逻辑关系| |实际问题建模|4题|不等关系建模法（如玻璃球体积、存款问题）|从现实情境抽象不等式模型，发展模型意识|

专题提优：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）暑假复习专项 一、单选题 1．下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．若，以下一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 6．图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 7．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 9．关于的不等式组的整数解之和为（    ） A． B． C． D． 10．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，则a的值为_______． 12．小霞原有存款元，小明原有存款元，从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，则至少经过______个月小霞的存款超过小明． 13．若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 14．若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______． 15．已知关于的不等式的解集为，则_________． 16．已知关于、的方程组满足，那么的最大值是______． 三、解答题 17．计算： (1)解不等式，并将它的解集表示在数轴上； (2)解不等式组，并写出所有整数解的和． 18．求不等式组的解集． 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示 ∴不等式组的解集为_____________． 19．在运动与代谢研究中，发现人体供能主要靠碳水化合物和脂肪，身体在分解这两类物质时会消耗氧气、生成二氧化碳并释放热量．下表为安静状态下，分解克营养物质时实验测得的相关数据： 分解的营养物质 氧气消耗量（） 二氧化碳生成量（） 释放热量（） 碳水化合物 脂肪 (1)【数据推算】小王在安静状态下，通过运动手表测得身体每分钟分解碳水化合物和脂肪的氧气消耗总量为，二氧化碳生成总量为．求他的身体平均每分钟分解碳水化合物和脂肪各多少克？ (2)【运动规划】已知小王计划进行30分钟的有氧运动，运动方式分为跳绳和快走．跳绳每分钟释放热量，快走每分钟释放热量．若他想通过这次运动消耗掉身体在安静状态下150分钟分解碳水化合物和脂肪所释放的总热量（按第（1）小题的结果计算），请问他至少需要安排多少分钟进行跳绳？ 20．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，．又，．．又，①；同理可得②．由①②得，即，的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，试确定的取值范围； (2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）． 21．对于有理数，定义新运算：，其中是常数．例如：，，已知，则根据定义可以得到；回答下列问题： (1) _______， _______； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）暑假复习专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D C A A D C C 1．B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 2．D 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可得到结论． 【详解】解：A选项：，根据不等式的基本性质三，不等式两边同时乘，不等号方向改变， ， 故A选项不成立； B选项：举反例：若，，满足，但，，， 故B选项不一定成立； C选项：举反例：若，，满足，但，，， 故C选项不一定成立； D选项：，根据不等式的基本性质一，不等式两边同时加，不等号方向不变， ， 故D选项一定成立． 3．D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 4．D 【分析】根据有理数的加法判断A；根据绝对值的意义判断B；根据不等式的性质判断C；根据数轴上两点间的距离判断D即可． 【详解】解：如图可知：，，故选项B的结论不正确； ∴，故选项A的结论不正确； ∵， ∴，故选项C的结论不正确； ∵， ∴实数在数轴上的对应点到在数轴上的对应点的距离大于实数在数轴上的对应点到在数轴上的对应点的距离， 即，故选项D的结论正确． 5．C 【分析】因为要判断每个选项的正误，所以需分别对每个选项运用不等式的基本性质或举反例验证．对于选项A，若要判断且时，是否成立，可通过举反例，比如选取具体数值代入验证关系是否成立．对于选项B，若，需考虑负数的情况，通过举反例判断是否恒成立．对于选项C，因为，根据不等式两边乘正数不等号方向不变的性质，推导和是否成立．对于选项D，因为、、、都是负数且，，根据不等式两边乘负数不等号方向改变的性质，推导和的大小关系，或举反例验证． 【详解】选项A：可举反例：，满足, ， 但， ∴A错误． 选项B：可举反例：，满足， 但，， ∴B错误． 选项C：已知，所有数均为正数： ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∴， ∴C正确． 选项D：负数中，数值越大绝对值越小， 可举反例：， 满足条件， 但， ∴D错误 ． 6．A 【分析】由题可知两次就停止，则有第一次结果15，第二次结果15，由此可得关于x的一元一次不等式组，解之即可得． 【详解】解：由题可得 解得：． 7．A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 8．D 【分析】设甲将数字3抄成参数a，先分别解两个不等式，再根据不等式组无解得到a的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：设甲将数字3抄成了，得到甲所用的不等式组为 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 选项中只有满足，因此甲将3抄成了5． 9．C 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集中的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解： 移项合并同类项得 系数化为1得 两边同乘2得 整理得 系数化为1得 ∴ 不等式组的解集为 ∴ 不等式组的整数解为 整数解之和为 10．C 【分析】设一颗玻璃球的体积为，根据放四颗球水没有满，放五颗球水满溢出建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积为， 由题意得，， 解得， ∴一颗玻璃球的体积在以上，以下． 11． 【分析】根据点在x轴的负半轴上，可得，且，即可求解． 【详解】解：∵点在x轴的负半轴上， ∴，且， 解得：，且， ∴． 12． 【分析】经过个月小霞的存款超过小明，根据题意得，然后解不等式即可． 【详解】解：经过个月小霞的存款超过小明， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴至少经过个月小霞的存款超过小明． 13． 【分析】根据不等式的解集得出，解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为， ∴， 解得：． 14． 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再结合恰好有2个正整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有个正整数解， ∴不等式组的个正整数解为，， ∴， 解得． 15．当时，；当时， 【分析】先由不等式解集得到，再对分类讨论，去绝对值计算即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得， 当，即时，则； 当，即时，则； 当，即时，则； 当时，；当时，． 16．2 【分析】用加减消元法将用来表示即可求解． 【详解】解：， 将得，， ∵， ∴， 解得：， 则的最大值为：． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解一元一次不等式，再依据解集在数轴上画出对应图像． （2）分别求解不等式组里两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组解集，找出范围内全部整数解，最后相加算出整数解的和． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 在数轴上表示解集略； （2）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组解集为， ∴整数解为 ，，，，， ∴所有整数解的和为． 18．；；；． 【详解】略 19．(1)平均每分钟分解碳水化合物，分解脂肪； (2)至少需要安排分钟进行跳绳 【分析】（1）设平均每分钟分解碳水化合物，分解脂肪，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设跳绳分钟，则快走分钟，由此列不等式求解，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设平均每分钟分解碳水化合物，分解脂肪， 根据题意得， 解得， 答：平均每分钟分解碳水化合物，分解脂肪； （2）解：设跳绳分钟，则快走分钟， 根据题意得， 解得， 答：至少需要安排分钟进行跳绳． 20．(1) (2) 【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围即可； （2）解二元一次方程组，建立一元一次不等式组，仿照阅读材料求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ． 且， 同理可得 由①②得， 即． （2）解：解方程组，得， ， ， ， ，， ， 解得，即， 则， ． 21．(1)1； (2) (3) 【分析】（1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； （2）解：， ，． ∵， ． 解得； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $