第五单元 常见的数量关系（知识清单）数学西南大学版四年级上册（新教材）

该小学数学单元知识清单系统梳理了“常见的数量关系”单元内容，涵盖四大核心基础数量关系模型、乘法估算策略及两步计算应用题三大知识范畴，搭建了从基础公式记忆到估算策略运用再到复杂问题解决的递进式学习支架。 清单通过“知识点+题型+练习”三级架构呈现知识体系，如将购物、行程等模型公式及变形归类梳理，用“估大估小策略口诀”强化估算应用，培养学生模型意识和运算能力。题型标注“重点”并配例题解析，如两步计算应用题分连乘、归一、归总类型，帮助学生系统掌握，教师可直接用于复习教学，提升课堂效率。

第五单元 常见的数量关系 单元知识清单讲义 知识点一：核心基础数量关系（熟记） 1. 购物模型 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 2. 行程模型 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 3. 工作模型 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 4. 产量模型 总产量=单产量×数量 单产量=总产量÷数量 数量=总产量÷单产量 知识点二：乘法估算（重点：估大、估小策略） 1. 估算方法：把乘数看成接近的整十、整百数口算。 解决“钱够不够、座位够不够、能不能装下”实际问题，不能盲目估算，要选择估大或者估小。 2. 策略口诀： 判断够不够、能不能容纳 （1）想要证明钱一定够 / 位置一定够：把数量、单价往大估 如果估出来的总价＜所带钱 → 实际花费更少，肯定够 （2）想要证明钱不够 / 位置不够：把数量、单价往小估 如果估出来的总价＞所带钱 → 实际花费更多，肯定不够 知识点 三：两步计算应用题 1. 连乘问题（两步乘法） 特点：先求出中间份数，再求总数 数量关系：每份数 × 第一层份数 × 第二层份数 = 总数 2. 归一问题（乘除两步，单一量不变） 核心：先求每份有多少（单一量） ①正归一：先求单一量 → 单一量 × 份数 = 总数 ②反归一：先求单一量 → 总数 ÷ 单一量 = 份数 3. 归总问题（乘除两步，总量不变） 核心：先求出总数量 单一量 × 份数 = 总量 → 总量 ÷ 新单一量 = 新份数· 题型1：乘法数量关系的基础应用（重点） 【例1】（1）钢笔的售价是每支15元，单价每支15元可以写成( )，购买20支这样的钢笔一共需( )元。 【答案】 15元/支 300 【分析】单价通常写成“金额/单位”的形式；计算总价时，依据关系式“总价＝单价×数量”进行计算。 【详解】15×20＝300（元） 钢笔的售价是每支15元，单价每支15元可以写成15元/支，购买20支这样的钢笔一共需300元。 （2）一辆汽车2小时行驶了120千米，平均每小时行驶多少千米？2小时指的是( )，120千米指的是( )，这辆汽车平均每小时行驶( )千米，也可写成( )。 【答案】 时间 路程 60 60千米/时 【解析】略 【练1】（1）妈妈买3箱牛奶花了177元，每箱牛奶( )元，列式计算所依据的数量关系是( )。 【答案】 59 总价÷数量＝单价 【分析】由题意得，妈妈买3箱牛奶花了177元。其中，177元是总价，3箱是牛奶的数量，求每箱牛奶多少元，就是求牛奶的单价，直接用177除以3即可解答。其中依据的数量关系是：总价÷数量＝单价。 【详解】177÷3＝59（元） 妈妈买3箱牛奶花了177元，每箱牛奶59元，列式计算所依据的数量关系是总价÷数量＝单价。 （2）小明一家自驾外出旅游，平均车速108千米/时，一共行驶11小时到达目的地，他们一共行驶了( )千米；解答这个问题用到的数量关系式是( )。 【答案】 1188 路程＝速度×时间 【分析】根据路程＝速度×时间，用汽车行驶的平均速度乘一共行驶的时间即可求出小明一家驾车行驶的路程，据此解答即可。 【详解】108×11＝1188（千米） 即小明一家自驾外出旅游，平均车速108千米/时，一共行驶11小时到达目的地，他们一共行驶了1188千米；解答这个问题用到的数量关系式是路程＝速度×时间。 题型2：估算（重点） 【例2】绿雅小学组织203名学生去科技馆参观，门票每张48元，买门票大约需要( )元。 【答案】9600 【分析】根据总价＝单价×数量，用每张门票的价钱乘学生人数，求出买门票的总钱数，计算时先把203看成200，据此解答。 【详解】48×203≈48×200＝9600（元） 【练2】一头大象一天要吃202千克食物，动物园里有31头大象，一天准备6000千克食物够吗？ 【答案】不够 【分析】先根据每头大象每天吃的食物重量乘大象的头数，列式并采用估算法计算需要的重量，再与准备的食物重量进行比较，若需要的重量大于准备的重量，则说明准备的食物不够。 【详解】202×31≈6000（千克） 200×30＝6000（千克） 所202×31＞6000 答：一天准备6000千克食物不够。 题型3：问题提出 【例3】（1）随着公众生态环境保护意识的提升，原来越多的人自觉成为绿色行动的践行者。星期天，小明和爸爸骑自行车去奶奶家，去时小明以138米/分的速度骑了35分钟到达奶奶家。原路返回时他只用了30分钟。小明返回时的平均速度是多少？ 【答案】161米/分 【分析】用去时小明的骑行速度乘35分钟，求出到达奶奶家的距离，再用到达奶奶家的距离除以原路返回时用的时间，即可求出小明返回时的平均速度是多少，据此解答即可。 【详解】138×35＝4830（米） 4830÷30＝161（米/分） 答：小明返回时的平均速度是161米/分。 （2）学校组织研学活动，每个年级有3个班，每个班有42名学生，两个年级一共多少名学生参加？ 【答案】252名 【分析】根据题意，每个年级有3个班，每个班有42名学生，用42乘3即可求出一个年级有多少人；要求两个年级共有多少人，只要用一个年级的人数乘2即可，据此解答。 【详解】 （名） 答：两个年级一共有252名学生参加。 【练 3】（1）一工程队维修一条乡村公路，原计划每天修路160米，15天可以完成。因工作需要，要求8天完成，实际平均每天修路多少米？ 【答案】 300米 【分析】根据题目可得：原计划每天修路160米，15天可以完成，用得出这条乡村公路的总长度；再用总长度除以实际需要的天数，得到实际平均每天修路的米数。 【详解】 （米） 答：实际平均每天修路300米。 （2）为了满足学校师生对人工智能知识学习的需求，提升大家的科技素养，学校图书馆新购入一批关于AI的专业书籍。已知每个书架有4层，每层可以放28本书。五个这样的书架可以摆放多少本书籍？ 【答案】560本 【分析】根据题意，先用每层可以放书籍的本数乘每个书架的层数，求出每个书架可以放多少本书籍，再乘书架的个数即可求出5个这样的书架可以摆放多少本书籍。 【详解】28×4×5 ＝112×5 ＝560（本） 答：五个这样的书架可以摆放560本书籍。 1．有48名同学乘车秋游，有6辆小客车，每辆小客车可坐5人。小美列的算式是48－6×5，她第二步解决的问题是（     ）。 A．6辆小客车坐多少人 B．5辆小客车坐多少人 C．还剩多少人没坐上车 D．还需要多少辆小客车 【答案】C 【分析】根据题意，小美列的算式是48－6×5，先算：6辆小客车坐的人数，6×5＝30（人）；再用总人数减去6辆小客车坐的人数求出还剩多少人没坐上车，即48－30＝18（人）；据此解答。 【详解】由分析知：第一步先算6辆小客车坐的人数，第二步算的是还剩下没有坐上车的人数。 故答案为：C 2．下面选项中，（    ）是求总价的。 A．一个书包105元，买12个这样的书包一共多少元 B．学校买了3箱同样的粉笔，花了540元，每箱粉笔多少元 C．王叔叔买苹果花了72元，每千克苹果8元，他买了多少千克 【答案】A 【分析】（1）总价＝单价×数量，已知105元是单价，12个是数量，求12个书包的钱是求总价； （2）单价＝总价÷数量，已知540元是总价，3箱是数量，求每箱粉笔的价钱是求单价； （3）数量＝总价÷单价，已知72元是总价，8元是单价，求买了多少千克是求数量。 【详解】A．根据分析可知，一个书包105元，买12个这样的书包一共多少元是求总价。 B．根据分析可知，学校买了3箱同样的粉笔，花了540元，每箱粉笔多少元是求单价。 C．根据分析可知，王叔叔买苹果花了72元，每千克苹果8元，他买了多少千克是求数量。 故答案为：A 3．声音在空气中传播的速度是每秒340米，可以写成( )；蝴蝶飞行的速度可达到每分150米，可以写成( )。 【答案】 340米/秒 150米/分 【解析】略 4．填一填。 速度（千米/时） 60 100 114 时间（时） 27 5 13 路程（千米） 3000 200 【答案】见详解 【分析】根据时间×速度＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度的关系式算出得数，填表即可。 【详解】 速度（千米/时） 60 100 40 114 时间（时） 27 30 5 13 路程（千米） 1620 3000 200 1482 5．将下表补充完整。 种类 儿童三轮车 儿童自行车 儿童四轮车 儿童滑板车 每辆价格/元 175 336 572 102 卖出数量/辆 10 12 20 11 一共收入/元 【答案】1750；4032；11440；1122 【分析】每件商品的价钱，叫做单价；买了多少，叫做数量；一共用的钱，叫做总价。总价＝单价×数量，依此列式并根据三位数乘两位数的计算法则计算即可。 【详解】175×10＝1750（元） 336×12＝4032（元） 572×20＝11440（元） 102×11＝1122（元），即填表如下： 种类 儿童三轮车 儿童自行车 儿童四轮车 儿童滑板车 每辆价格/元 175 336 572 102 卖出数量/辆 10 12 20 11 一共收入/元 1750 4032 11440 1122 6．一列动车从徐州到云南行驶了11小时，平均速度大约是205千米/时，这列动车一共行驶多少千米？使用的数量关系式是（    ）。 请根据条件和问题继续完成填空。 【答案】速度×时间＝路程； 1；10；2050；11 【分析】速度×时间＝路程，速度是205千米/时，时间是11小时，依此再根据三位数乘两位数的计算法则进行填空即可。 【详解】使用的数量关系式是速度×时间＝路程； 205×1＝205（千米） 205×10＝2050（千米） 205×11＝2255（千米），即填空如下： 7．学校要为三、四年级每个班购买一套142元的文学经典图书，三、四年级共25个班。请问3500元够吗？小明和小兰用不同的方法来解决这个问题，( )的方法是正确的。 【答案】小兰 【分析】用一套文学经典图书的价格142元乘班级数25个班即可求出一共需要的钱数，列式为：142×25； 小明是把142估成140再计算，但是没有考虑把142估成140是估小了，积也变小了，用估算的结果直接进行比较，是错误的；小兰是先比较142与140的大小，再用140乘35求出积是3500，得出实际的积要比3500大，是正确的。 【详解】由分析可知，小明和小兰用不同的方法来解决这个问题，小兰的方法是正确的。 8．一个书架有5层，每层放16本书，11个这样的书架一共放( )本书。 【答案】880 【分析】用每层放书的本数乘一个书架的层数，再乘书架的个数即可求出一共放书的本数。 【详解】16×5×11=880（本） 9．魔方被誉为“三大益智玩具”之首，还原魔方能增强空间想象力和逻辑思维力。四（1）班和四（2）班网购了同样的魔方，四（1）班买了37个，四（2）班买了45个，已知四（1）班比四（2）班少花了120元，这种魔方的单价是( )元/个。 【答案】15 【分析】总价＝单价×数量，单价＝总价÷数量。四（1）班比四（2）班少花了120元，因为四（1）班比四（2）班少买了（45－37）个魔方。120元除以（45－37）个，即可算出这种魔方的单价是几元/个。 【详解】120÷（45－37） ＝120÷8 ＝15（元/个） 魔方被誉为“三大益智玩具”之首，还原魔方能增强空间想象力和逻辑思维力。四（1）班和四（2）班网购了同样的魔方，四（1）班买了37个，四（2）班买了45个，已知四（1）班比四（2）班少花了120元，这种魔方的单价是15元/个。 10．工厂生产玩具，每小时生产60个，生产了5小时后还剩200个未完成，这批玩具一共有( )个。 【答案】500 【分析】根据题意，每小时生产的数量乘生产时间即可求出已经生产的玩具数量，已经生产的玩具个数加上未完成的200个即可求出这批玩具的总数。据此解答。 【详解】60×5＋200 300＋200 ＝500（个） 所以这批玩具一共有500个。 11．李老师用400元买了5个足球，每个足球80元。 【答案】见详解 【分析】根据公式：总价＝单价×数量，单价＝总价÷数量，数量＝总价÷单价。 【详解】单价：每个足球80元（单个商品的价格）；   数量：5个足球（购买的商品个数）；   总价：400元（购买商品的总花费）。 然后对应算式和所求内容： 80×5＝400（元）：是单价×数量，求的是总价；   • 400÷5＝80（元）：是总价÷数量，求的是单价；   400÷80＝5（个）：是总价÷单价，求的是数量。   所以正确的对应应该是： 12．随着科技的发展，中国的高铁已成为“世界之最”。林林乘坐动车从昆明去长沙，花了5小时，平均每小时行驶280千米。返回时，他改坐高铁，只要花4个小时。 （1）从昆明到长沙一共要行驶多少千米？ （2）高铁平均每小时行驶多少千米？ 【答案】（1）1400千米 （2）350千米 【分析】（1）去时花了5小时，每小时行驶280千米，根据路程＝速度×时间，用280乘5即可求出从昆明到长沙的路程； （2）返回时用了4小时，再根据 速度＝路程÷时间，用从昆明到长沙的路程除以4，即可求出高铁平均每小时行驶多少千米。 【详解】（1）280×5＝1400（千米） 答：从昆明到长沙一共要行驶1400千米。 （2）1400÷4＝350（千米/时） 答：高铁平均每小时行驶350千米。 13．李阿姨买了5千克苹果，一共花了70元。张老师也想买12千克同样的苹果，需要付多少元？ 【答案】168元 【分析】根据单价＝总价÷数量，求出每千克苹果的单价，再用每千克苹果的单价乘张老师也想买同样苹果的质量，即可求出需要付多少元。 【详解】70÷5×12 ＝14×12 ＝168（元） 答：需要付168元。 14．在拆除城市中心的高层建筑时，经常用到爆破楼体的技术。在一次爆破中，张师傅准备点燃一根长640毫米的引线来引爆炸药，引线每秒燃烧8毫米。张师傅点燃引线后以6米/秒的速度跑向距离爆炸点450米的安全区域，这次爆破张师傅会有危险吗？ 【答案】不会有危险。 【详解】判断张师傅是否会有危险，要计算出引线燃烧的时间，再算出在该时间内张师傅跑的路程，如果大于安全区域的距离，那么就不会有危险，反之就有危险。引线燃烧的时间＝引线的长度÷引线燃烧的速度，即（秒），张师傅在80秒内奔跑的距离＝引线燃烧的时间×张师傅奔跑的速度，即（米），再比较即可。 （秒）   （米）    不会有危险。 15．包装一个小礼盒需要31厘米长的彩带，现有320个这样的小礼盒，估一估，准备90米的彩带够吗？ 【答案】不够 【分析】31厘米≈30厘米，320个≈300个，用包装一个小礼盒大约需要30厘米乘大约300个小礼盒，可求得一共大约需要多少厘米的彩带。将90米换算成厘米，与之比较大小，即可确定准备90米的彩带够不够。 【详解】31×320≈30×300＝9000（厘米） 90米＝9000厘米 因为31与320均估小了，所以31×320＞9000。 答：准备90米的彩带不够。 16．周末小恒经常到距家900米的科技馆去参观，他平时步行每分走60米。今天小恒出发5分后，发现忘带学生证，于是跑回家里拿，然后又跑去科技馆，结果和平时用的时间相同。小恒今天的平均速度是多少？ 【答案】100米/分 【分析】首先根据时间＝路程÷速度，求出平时小恒去科技馆所用的时间。今天小恒出发5分钟后又跑回家，这相当于比平时多走了出发5分钟的路程的2倍，然后再从家跑到科技馆，总路程发生了变化，但所用时间与平时相同，据此可求出今天的平均速度。 【详解】平时所用时间：（分钟） 今天多走的路程： （米） 今天走的总路程：（米） 今天的平均速度：（米/分） 答：小恒今天的平均速度是100米/分。 17．周末，小华一家和小天一家一起去游乐园玩。游乐园的门票规定如下： 个人票：成人票150元/人，儿童票60元/人。 团体票：（10人及以上）：每人100元。 现在有成人4人，儿童6人，怎样买票最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】买4张成人票，6张儿童票最省钱；最少需要960元（答案不唯一） 【分析】根据题意，买票的方案有两种，第一种方案是成人和儿童分别购买各自的票；第二种方案是按团体票购买；根据单价×数量＝总价，计算两种方案的总费用，选择更省钱的方案。 【详解】方案一： （4×150）＋（6×60） ＝600＋360 ＝960（元） 方案二： （4＋6）×100 ＝10×100 ＝1000（元） 960元＜1000元 答：买4张成人票，6张儿童票最省钱，最少需要960元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 常见的数量关系 单元知识清单讲义 知识点一：核心基础数量关系（熟记） 1. 购物模型 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 2. 行程模型 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 3. 工作模型 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 4. 产量模型 总产量=单产量×数量 单产量=总产量÷数量 数量=总产量÷单产量 知识点二：乘法估算（重点：估大、估小策略） 1. 估算方法：把乘数看成接近的整十、整百数口算。 解决“钱够不够、座位够不够、能不能装下”实际问题，不能盲目估算，要选择估大或者估小。 2. 策略口诀： 判断够不够、能不能容纳 （1）想要证明钱一定够 / 位置一定够：把数量、单价往大估 如果估出来的总价＜所带钱 → 实际花费更少，肯定够 （2）想要证明钱不够 / 位置不够：把数量、单价往小估 如果估出来的总价＞所带钱 → 实际花费更多，肯定不够 知识点 三：两步计算应用题 1. 连乘问题（两步乘法） 特点：先求出中间份数，再求总数 数量关系：每份数 × 第一层份数 × 第二层份数 = 总数 2. 归一问题（乘除两步，单一量不变） 核心：先求每份有多少（单一量） ①正归一：先求单一量 → 单一量 × 份数 = 总数 ②反归一：先求单一量 → 总数 ÷ 单一量 = 份数 3. 归总问题（乘除两步，总量不变） 核心：先求出总数量 单一量 × 份数 = 总量 → 总量 ÷ 新单一量 = 新份数· 题型1：乘法数量关系的基础应用（重点） 【例1】（1）钢笔的售价是每支15元，单价每支15元可以写成( )，购买20支这样的钢笔一共需( )元。 （2）一辆汽车2小时行驶了120千米，平均每小时行驶多少千米？2小时指的是( )，120千米指的是( )，这辆汽车平均每小时行驶( )千米，也可写成( )。 【练1】（1）妈妈买3箱牛奶花了177元，每箱牛奶( )元，列式计算所依据的数量关系是( )。 （2）小明一家自驾外出旅游，平均车速108千米/时，一共行驶11小时到达目的地，他们一共行驶了( )千米；解答这个问题用到的数量关系式是( )。 题型2：估算（重点） 【例2】绿雅小学组织203名学生去科技馆参观，门票每张48元，买门票大约需要( )元。 【练2】一头大象一天要吃202千克食物，动物园里有31头大象，一天准备6000千克食物够吗？ 题型3：问题提出 【例3】（1）随着公众生态环境保护意识的提升，原来越多的人自觉成为绿色行动的践行者。星期天，小明和爸爸骑自行车去奶奶家，去时小明以138米/分的速度骑了35分钟到达奶奶家。原路返回时他只用了30分钟。小明返回时的平均速度是多少？ （2）学校组织研学活动，每个年级有3个班，每个班有42名学生，两个年级一共多少名学生参加？ 【练 3】（1）一工程队维修一条乡村公路，原计划每天修路160米，15天可以完成。因工作需要，要求8天完成，实际平均每天修路多少米？ （2）为了满足学校师生对人工智能知识学习的需求，提升大家的科技素养，学校图书馆新购入一批关于AI的专业书籍。已知每个书架有4层，每层可以放28本书。五个这样的书架可以摆放多少本书籍？ 1．有48名同学乘车秋游，有6辆小客车，每辆小客车可坐5人。小美列的算式是48－6×5，她第二步解决的问题是（     ）。 A．6辆小客车坐多少人 B．5辆小客车坐多少人 C．还剩多少人没坐上车 D．还需要多少辆小客车 2．下面选项中，（    ）是求总价的。 A．一个书包105元，买12个这样的书包一共多少元 B．学校买了3箱同样的粉笔，花了540元，每箱粉笔多少元 C．王叔叔买苹果花了72元，每千克苹果8元，他买了多少千克 3．声音在空气中传播的速度是每秒340米，可以写成( )；蝴蝶飞行的速度可达到每分150米，可以写成( )。 4．填一填。 速度（千米/时） 60 100 114 时间（时） 27 5 13 路程（千米） 3000 200 5．将下表补充完整。 种类 儿童三轮车 儿童自行车 儿童四轮车 儿童滑板车 每辆价格/元 175 336 572 102 卖出数量/辆 10 12 20 11 一共收入/元 6．一列动车从徐州到云南行驶了11小时，平均速度大约是205千米/时，这列动车一共行驶多少千米？使用的数量关系式是（    ）。 请根据条件和问题继续完成填空。 7．学校要为三、四年级每个班购买一套142元的文学经典图书，三、四年级共25个班。请问3500元够吗？小明和小兰用不同的方法来解决这个问题，( )的方法是正确的。 8．一个书架有5层，每层放16本书，11个这样的书架一共放( )本书。 9．魔方被誉为“三大益智玩具”之首，还原魔方能增强空间想象力和逻辑思维力。四（1）班和四（2）班网购了同样的魔方，四（1）班买了37个，四（2）班买了45个，已知四（1）班比四（2）班少花了120元，这种魔方的单价是( )元/个。 10．工厂生产玩具，每小时生产60个，生产了5小时后还剩200个未完成，这批玩具一共有( )个。 11．李老师用400元买了5个足球，每个足球80元。 12．随着科技的发展，中国的高铁已成为“世界之最”。林林乘坐动车从昆明去长沙，花了5小时，平均每小时行驶280千米。返回时，他改坐高铁，只要花4个小时。 （1）从昆明到长沙一共要行驶多少千米？ （2）高铁平均每小时行驶多少千米？ 13．李阿姨买了5千克苹果，一共花了70元。张老师也想买12千克同样的苹果，需要付多少元？ 14．在拆除城市中心的高层建筑时，经常用到爆破楼体的技术。在一次爆破中，张师傅准备点燃一根长640毫米的引线来引爆炸药，引线每秒燃烧8毫米。张师傅点燃引线后以6米/秒的速度跑向距离爆炸点450米的安全区域，这次爆破张师傅会有危险吗？ 15．包装一个小礼盒需要31厘米长的彩带，现有320个这样的小礼盒，估一估，准备90米的彩带够吗？ 16．周末小恒经常到距家900米的科技馆去参观，他平时步行每分走60米。今天小恒出发5分后，发现忘带学生证，于是跑回家里拿，然后又跑去科技馆，结果和平时用的时间相同。小恒今天的平均速度是多少？ 17．周末，小华一家和小天一家一起去游乐园玩。游乐园的门票规定如下： 个人票：成人票150元/人，儿童票60元/人。 团体票：（10人及以上）：每人100元。 现在有成人4人，儿童6人，怎样买票最省钱？最少需要多少钱？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $