2.1.1 等式的性质与方程的解集 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章2.1.1等式的性质与方程的解集同步练，含填空（8题）、选择（4题）、解答（4题），分层覆盖基础概念到综合应用，梯度合理且适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等式性质、方程解集概念|填空1-4直接考查定义，选择9-12辨析性质应用，强化符号意识| |中档层|因式分解、常规解方程|填空5-8结合因式分解，解答13-14规范解题步骤，提升运算能力| |提升层|含参数方程讨论、根的情况分析|解答15-16探究参数对解集影响，培养推理意识与创新思维|

第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 等式的两条基本性质：（1）等式的两边同时加上（或减去）__________，等式仍然成立；（2）等式的两边同时乘__________，或除以__________，等式仍然成立。 2. 方程的解集是指__________。 3. 由等式 能否一定推出 ？（填“能”或“不能”），理由是。 4. 方程 的解集为__________。 5. 因式分解：__________。 6. 方程 的解集为__________。 7. 关于 的方程 ，当 ， 时，方程的解集为__________。 8. 关于 的方程 ，当 ， 时，方程的解集为__________。 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 下列等式变形中，正确的是（　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 方程 的解集书写正确的是（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 11. 若关于 的方程 的解集为 ，则（　） A. 　　　B. 　　　C. 为任意实数　　　D. 12. 关于 的方程 ，若其解集为 ，则（　） A. ，　　　B. ， C. ，　　　D. ， 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 解下列方程，并用集合表示其解集。 （1）； （2） 。 14.（本题10分） 用因式分解法解下列方程，并写出解集。 （1）； （2）。 15. （本题14分） 解关于 的方程 ，并根据 、 的取值讨论其解集。 16.（本题14分） 已知关于 的方程 。 （1）若方程有一个根为 ，求实数 的值，并求出方程的解集； （2）若方程有两个相等的实数根，求实数 的值，并求出方程的解集。 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】同一个数（或同一个整式）；同一个数（或同一个整式）；同一个不为零的数（或同一个不为零的整式） 【解析】等式的基本性质：（1）两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；（2）两边同时乘同一个数（或整式），或除以同一个不为零的数（或整式），等式仍然成立。 第2题（4分） 【答案】方程所有解组成的集合 【解析】方程的解集是方程所有解组成的集合，用集合语言表达，体现高中与初中的区别。 第3题（4分） 【答案】不能；当 时， 恒成立，但 与 不一定相等 【解析】等式 两边同除以 必须要求 ，若 ，则不能推出 。 第4题（4分） 【答案】 【解析】，，，解集为 。 第5题（5分） 【答案】 【解析】十字相乘：。 第6题（5分） 【答案】 【解析】由第5题 ，解得 或 ，解集为 。 第7题（5分） 【答案】 【解析】当 ， 时，方程化为 ，任意实数都满足，解集为 。 第8题（5分） 【答案】 【解析】当 ， 时，方程化为 ，无解，解集为 。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 D B B B 第9题（4分） 【解析】A中 时不能推出 ；B中需 才可推出；C中 ；D中若 ，则 ，正确。故选D。 第10题（4分） 【解析】，，根据集合互异性，解集为 。故选B。 第11题（4分） 【解析】方程 的解集为 ，说明方程有唯一解，需 。若 ，方程化为 ，无解，解集为 ，与题意不符。故选B。 第12题（4分） 【解析】方程 解集为 ，即任意实数都是解，需 且 。故选B。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 （1）。 ，。…………（3分） 解集为 。…………（2分） （2）。 ，。…………（3分） 解集为 。…………（2分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 （1）。 因式分解得 。…………（2分） 或 。…………（2分） 解集为 。…………（1分） （2）。 ，。…………（2分） 或 。…………（2分） 解集为 。…………（1分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 解关于 的方程 。（1分） ① 当 时，两边同除以 ，得 ，解集为 。…………（4分） ② 当 时，方程化为 。 若 ，任意实数都是解，解集为 。…………（4分） 若 ，方程无解，解集为 。…………（4分） 综上：当 时，解集为 ； 当 ， 时，解集为 ； 当 ， 时，解集为 。…………（1分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 （1）将 代入方程 ： ，即 ，解得 。…………（4分） 当 时，方程化为 ，， 或 ，解集为 。…………（3分） （2）方程有两个相等的实数根，则判别式 ： 。…………（4分） 解得 。…………（1分） 当 时，方程化为 ，， ，解集为 。…………（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $