第十章 二元一次方程组 暑假复习专题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 暑假复习专题聚焦二元一次方程组，融合《张丘建算经》《孙子算经》等古代数学典籍、冬奥会吉祥物及阶梯电价等现实情境，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|方程定义、解的概念|第10题以《张丘建算经》牧羊问题考查数学建模| |填空|6|参数求解、非负性应用|第15题《孙子算经》马瓦问题传承数学文化| |解答|8|实际应用、几何问题|23题铁容器加工综合考查方程应用与空间观念，24题阶梯电价联系社会热点|

暑假复习专题：第十章 二元一次方程组 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 4．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 6．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 8．辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 10．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A．B． C． D． 二、填空题 11． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 12．已知方程组的解x、y之和为2，则__． 13．已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ． 14．已知，则的值为___________． 15．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 16．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形）．若，则一个小长方形的面积为_____． 三、解答题 17．解方程组 (1) (2) 18．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 19．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3950元，其中冰墩墩、雪容融的进价分别为35元/个、30元/个，求冰墩墩、雪容融各购进多少个？ 20．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 21．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 22．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 23．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 24．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C D C B A B 1．C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 2．B 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 3．D 【分析】将方程的解代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得． 4．C 【分析】若消去未知数，则运算后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件． 【详解】解：，得： ， 整理得：， 消去了未知数， 的系数为， 即． 5．C 【分析】设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．利用整体思想，通过方程组变形直接求解的值． 【详解】解：设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．根据题意得 将第一个方程两边乘2，得． 减去第二个方程，得． 整理得． 6．D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 7．C 【分析】设，，根据，结合图形可列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：如图，标注字母， 由题意设，，则，，， 由题意可得， 解得， ∴， ∴长方形的周长是． 8．B 【分析】设长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出关于，的二元一次方程组，解方程组得出，再结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 9．A 【分析】根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等得出，和为，进而得出每行第一个数分别为、、，即可得出，可得二元一次方程组，解方程组求出，的值即可得出答案． 【详解】解：∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等， ∴，每行每列及对角线上三个方格中的数字和为， ∴第一行第一个数为， 第二行第一个数为， 第三行第一个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得：． 10．B 【详解】解：∵甲得乙9只羊后，甲的羊数为只，乙的羊数为只，此时甲羊数是乙的2倍， ∴． ∵乙得甲9只羊后，乙的羊数为只，甲的羊数为只，此时两人羊数相等， ∴． 联立得方程组． 11． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且， 解得． 12． 【分析】已知方程组的解满足，结合第一个方程可先求出和的值，再代入第二个方程计算求出． 【详解】解：由题意得：方程， 将代入方程得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 再把、代入方程得：， 解得：． 13． 【分析】设，，对比两个方程组的结构，利用换元法得到关于的方程组，求解即可． 【详解】解：设，， 则方程组可化为方程组， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解满足， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解为． 14．8 【分析】绝对值与平方数均具有非负性，两个非负数相加等于0，则各自为0，据此列出二元一次方程组，解方程组求出、的值，再计算． 【详解】解：，，且， ， 解得， ． 15． 【分析】根据总马匹数和总瓦数两个等量关系，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹．由题意可得 ． 16． 【分析】设一个小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组，求解即可； 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， ， ， 整理，得， 解得， 故； 17．(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 18．(1)② (2)三 (3)解：， 由①得③， 将③代入②，得， 去括号，得，解得， 将代入①得，解得， 所以该方程组的解为． 【分析】（1）根据题意即可得到答案； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略． 19．购进冰墩墩70个，雪容融50个 【分析】设购进冰墩墩x个，雪容融y个，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：设购进冰墩墩x个，雪容融y个， 依题意得， 解得， 故购进冰墩墩70个，雪容融50个． 20． 【分析】先根据甲的解求出的值，根据乙的解求出的值，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴，， 解得，， ∴原方程组为， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 21．(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 22．(1)该方程组的解与具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得， 将代入得， 解得， ∵， ∴该方程组的解与具有“邻好关系”； (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义判断即可得出结果； （2）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∵关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得． 23．(1) (2)加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个 (3)最多可以加工成个铁盒 【分析】（1）根据题意可知竖式铁容器由4个长方形铁片和1个正方形铁片组成，横式铁容器由3个长方形铁片和2个正方形铁片组成，即可得到答案； （2）根据竖式铁容器需要的长方形铁片数量加上横式铁容器需要的长方形铁片数量等于，竖式铁容器需要的正方形铁片数量加上横式铁容器需要的正方形铁片数量等于列二元一次方程组求解即可； （3）先假设35张铁板只有每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片这两种情况，再根据非整数的部分确定有几张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，从而解决问题． 【详解】（1）解：竖式铁容器由4张长方形铁片和1张正方形铁片组成， 横式铁容器由3张长方形铁片和2张正方形铁片组成， ∴加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张． （2）解：设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个， 根据题意列式，得， 解得， ∴加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个． （3）解：设张铁板做张长方形铁片，张铁板做张正方形铁片， 则可列式为， 解得， 则张铁板可做长方形铁片（张）， 张铁板可做正方形铁片（张）， 剩下的1张铁板可做长方形铁片1张和正方形铁片2张， 此时，长方形铁片为（张），正方形铁片为（张）， 长方形的铁片数量刚好是正方形铁片数量的2倍， ∴最多可以做长方体铁容器（个）． 24．(1)96元 (2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度 (3)442元 【分析】（1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，根据方女士和李先生家的电费建立方程组求解即可； （3）根据所给收费标准列式求解即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：王先生家5月份应交电费96元． （2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 依题意，得， 解得． 答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度． （3）解：（元）． 答：何女士家5月份应交电费442元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $