暑假复习专题练习：二元一次方程组 2025-2026学年人教版 数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全维度训练，以“概念理解-解法迁移-应用创新”为主线，融合数学文化与实际问题，系统培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（如解的验证、方程变形）|代入验证法、参数求解技巧|从解的定义到方程变形，构建概念认知基础| |解法技巧|4题（如消元法、整体换元）|加减消元优化、换元思想迁移|从基本消元到复杂方程组转化，形成解法体系| |实际应用|3题（购物方案、工程问题）|建模分析、整数解筛选|从实际情境抽象等量关系，强化模型意识| |数学文化与创新|5题（《九章算术》、幻方、共轭方程组）|古算今用、新定义问题转化|融合数学史与创新题型，提升综合思维能力|

暑假复习专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．解方程组，则下列步骤可以消去未知数的是（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少？”若设每只雀，燕的重量各为x两，y两，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 6．已知关于、的方程组，当取不同实数时，下列结论正确的是（     ） A．的值与有关 B．方程组的解也是方程的解 C．当时， D．当是整数时，或可能不是整数 7．已知方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 8．国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中用算筹布列二元一次方程组，图1，图2中每行从左到右的算筹数依次表示，的系数及常数项．图1的算筹图对应的方程组是，图2的算筹图中的系数被墨水覆盖，其对应的方程组的解为，则被墨水所覆盖的图形是（     ） A． B． C． D． 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍且小于较小数的4倍，则这两个正整数中较大数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则___________． 12．已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为____________． 13．“欲穷千里目，更上一层楼”，如图用5个大小形状完全相同的长方形硬纸片紧挨着坐标轴摆成“阶梯”图案，已知，则点的坐标是________． 14．明代数学家程大位在《算法统宗》一书中记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少配成完？”意思是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，为使制成的笔管与笔套正好配套（1个笔管配1个笔套），应安排制作笔管和笔套的短竹各多少根？设应安排制作笔管的短竹x根，制作笔套的短竹y根，根据题意可列方程组为___________． 15．已知关于、的二元一次方程组的解、满足，则的值为___________． 16．通过课本数学活动：二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于，的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为___________． 三、解答题 17．解下列方程组： (1) (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中，满足方程组，点和点分别在x轴和y轴上． (1)求，两点的坐标并描出它们； (2)移动点，当最小时，连接，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当点到轴的距离为时，求三角形的面积． 19．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 20．【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 21．有一个游戏，规则如下：甲、乙、丙、丁四人围坐一圈，每人各抽取一张数字互不相同的正整数卡牌．每个人分别和左右两位相邻的同学比对卡牌数字，按以下规则计算每一次比对的结果： ①若自身数字小于对方数字，先计算大数减小数，再将差值乘2； ②若自身数字大于对方数字，直接计算大数减小数． 最后，每个人把和左边、右边邻座各自比对算出的结果相加，然后报出相加后的值． 例：如图1，若四位同学分别抽到：、、、，甲同学所报数字为：，乙同学所报数字为：． (1)求图1中丙同学所报的数； (2)如图2，若甲、乙、丙、丁抽到数字分别为：、、、，且．已知乙报出数字7，丙报出数字6，求、的值； (3)如图3，若甲、乙、丙、丁所报数字分别为：、、、，已知四位同学抽到的数字之和为41，且甲抽到的数字不是最小的，问甲同学抽到的卡牌数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假复习专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B B C B B C 1．D 【分析】将已知的方程组解代入各选项方程，验证等式是否成立即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项方程： 选项A：方程左边，右边，左边右边，则A不符合题意； 选项B：方程左边，右边，左边右边，则B不符合题意； 选项C：左边，右边，左边右边，则C不符合题意 选项D：左边，右边，左边右边，则D符合题意． 2．C 【分析】根据方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 3．B 【分析】先设未知数，根据总费用列出方程，再结合两种商品都要买的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】设购买笔记本本，圆珠笔支，其中均为正整数， 由题意得： 整理得： ∵为正整数， ∴是整数， 又是奇数， ∴必为偶数， ∵， ∴， 解得， 结合是正偶数，可得的取值为，共种，即共有种购买方案． 4．D 【分析】要消去未知数，需使两个方程变形后的系数互为相反数或相等，再通过加减消去即可． 【详解】解：A、由得，不能消去未知数，故不符合题意； B、由得，不能消去未知数，故不符合题意； C、由得，不能消去未知数，故不符合题意； D、由得，能消去未知数，故符合题意． 5．B 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两． ∵五只雀、六只燕共重16两， ∴可得第一个方程 ． ∵互换其中一只后， 4只雀加1只燕的重量等于剩余5只燕加1只雀的重量， ∴可得第二个方程 ． 因此符合题意的方程组为． 6．B 【分析】先利用消元法解二元一次方程组，用表示出和，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：， 得， 得，， 解得， 把代入②得，， 整理得， 方程组的解为， 对选项A：，是定值，与无关，A错误； 对选项B：，满足方程，B正确； 对选项C：当时，代入得，整理得，解得，C错误； 对选项D：当是整数时，，都一定是整数，D错误． 7．C 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将所求方程组中的和看作整体，对应原方程组的未知数，即可求解． 【详解】解：∵已知方程组的解是， 待解方程组与原方程组结构完全相同， ∴可得， 解方程组得． 8．B 【分析】根据图1中竖、横的数量关系列式，再根据二元一次方程组的解代入计算得到，由此即可． 【详解】解：图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是， ∴设遮住的图为， ∴图2用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是， ∵图2所表示的方程组的解为， ∴， 解得，， ∴图2所表示的方程组的解为， ∴， 解得：， ∴的系数是． 9．B 【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等进行分析即可． 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 10．C 【分析】设较大数为，较小数为，根据题意得，按照更相减损术的步骤逐步推导，联立方程即可求解得较大数的值． 【详解】解：设较大正整数为，较小正整数为， ， ，，， 第一步：计算，得到两个数，， 第二步：计算，得到两个数，， 第三步：计算，得到两个数，， 第四步：计算， 四步运算后求得最大公约数为， ∴，， 两式相加得， 代入得， 即两个正整数中较大数为． 11．/ 【分析】将看作已知数，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：已知二元一次方程， 移项得， 系数化为得． 12． 3 【分析】将方程组的两个方程相加，整理出关于k的表达式，结合已知，即可求解k的值． 【详解】解：， 由得，， 整理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 13． 【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再结合点B所在的位置，即可得出点B的坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得， ∴， ∴点B的坐标为 ． 14． 【分析】根据“有83000根短竹”可得方程；根据“每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，制成的笔管与笔套正好配套（1个笔管配1个笔套）”可得方程． 【详解】解：设应安排制作笔管的短竹x根，制作笔套的短竹y根，根据题意得： ． 15． 【分析】先将不含的两个方程联立组成新的二元一次方程组，求解得到和的值，再代入原方程组含的方程中，即可求出的值． 【详解】解：联立不含的方程得， 两式相加得， 解得， 将代入得， 解得， 将代入得，， 整理得， 解得． 16． 【分析】把方程组化为，根据题意可得关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解满足，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵关于，的二元一次方程的图象和关于，的二元一次方程的图象的交点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解满足，解得， ∴关于，的方程组的解为． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． （2）解：， 整理，得 得， 解得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． 18．(1)点，点 (2) (3)三角形的面积为或 【分析】（1）解方程组求出、的值即可得到点、的坐标； （2）根据点、、的坐标可得：，，，根据梯形的面积公式求出结果即可； （3）因为点到轴的距离为，所以点的坐标是或，分情况求出的面积。 【详解】（1）解：方程组， 可得：， 点的坐标是，点的坐标是； 图略； （2）解：如下图所示， 在轴上，且最短， 轴，则轴， 点的坐标是， ，， 点的坐标是， ， 四边形的面积为：； （3）解：如下图所示， 点到轴的距离为，且点在轴上， 点的坐标为或， 由（2）得点， 或， 或， 的面积为或． 19．(1) (2)， (3) 【分析】（1）由共轭二元一次方程的定义直接求解即可； （2）由共轭二元一次方程组的定义列方程组求解即可； （3）由阅读材料中的方法类比求解即可． 【详解】（1）解：由共轭二元一次方程的定义可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：关于，的方程组为共轭方程组， 则由共轭方程组定义可得， ； （3）解：， ②①得，所以③， ③得④， ①④得，从而得， 所以原方程组的解是． 20．(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 21．(1)4 (2) (3)10 【分析】（1）根据题目的规则列式计算即可； （2）根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）由规则可知：抽到最小卡牌的同学报的数必为偶数，而甲抽到的数字不是最小的，则丁抽到最小数，设甲乙丙丁分别为，，，，根据丁报出的数列方程可判定，奇偶性相同，进而由乙报的数是3，说明的大小必是，之间，且，中必有一个为，一个是，代入与四个数和为列方程组求解可得，则可求，验证保留符合题意的解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 解得且检验符合题意； （3）解：由规则可知：抽到最小卡牌的同学报的数必为偶数， 而甲抽到的数字不是最小的， ∴丁抽到最小数， 设甲乙丙丁分别为，，，， ， ， 为偶数， ，奇偶性相同， 若，则乙报出的数是为偶数， 若，则乙报出的数是也为偶数， 而乙报的数是3，说明的大小必是，之间， 且，中必有一个为，一个是． 代入 解方程组 得 或 经检验，时甲报出的数是，不合题意舍去， ∴甲抽到的数为10． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $