第九章 平面直角坐标系暑假复习专题 2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系核心知识，通过围棋棋盘、学校示意图等生活情境与梯度问题设计，强化几何直观与运算能力，适配暑假复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|象限点判断、坐标确定、平移规律|第2题结合北京四中校区坐标，体现空间观念| |填空题|6|点到坐标轴距离、图形平移、面积计算|第11题以围棋棋盘定位，培养抽象能力| |解答题|7|动点问题、新定义“等差点”、综合计算|第22题引入“等差点”概念，发展创新意识；第23题动点面积探究，强化推理能力|

暑假复习专题：第九章 平面直角坐标系 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（     ） A． B． C． D． 2．如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知点在轴上，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．已知点和点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 6．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，直线过点且平行于轴，点的坐标为，根据图中点的位置，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 12．点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 13．已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 14．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为____． 15．如图，在平面直角坐标系中，y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，则右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是________． 16．如图，已知点，，，则三角形的面积为_______． 三、解答题 17．已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 18．如图为某校的平面示意图，每个小正方形的边长都是1个单位长度，若以正东为x轴的正方向，正北为y轴的正方向建立平面直角坐标系，得到教学楼的坐标是，篮球馆的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，其原点为__________的位置； (2)请直接写出足球场、图书馆和校门的坐标； (3)如果1个单位长度是150米，则图书馆与足球场之间的距离为__________米． 19．在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，． (1)若三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标为，请画出平移后的三角形． (2)若三角形内部一点的坐标为，则平移后点的对应点的坐标是_________； (3)已知点在轴上，且三角形的面积为，直接写出点的坐标为_________． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)求的面积． (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 21．在平面直角坐标系中，有一点 (1)若点在轴上，求的值； (2)若，且轴，求出点的坐标； (3)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 22．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离之差的绝对值等于点到轴、轴的距离之差的绝对值，则称两点互为“等差点”．例如．点与点到轴、轴的距离之差的绝对值都等于1．它们互为“等差点”． (1)下列各点中，与互为“等差点”的有________________． ①；②；③． (2)若点与点互为“等差点”，求的值． 23．如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)________；________． (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒． 问：是否存在这样的t，使得与的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C C A D D A B 1．C 【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限的点横、纵坐标均小于0， 对于A选项，横、纵坐标均大于0，不符合题意； 对于B选项，横坐标大于0，纵坐标小于0，不符合题意； 对于C选项，横、纵坐标均小于0，符合题意； 对于D选项，横坐标大于0，纵坐标等于0，不符合题意． 2．D 【详解】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系： 北京四中道元校区的坐标为 ． 3．C 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0的性质，列方程求解的值即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴，解得． 4．C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段长度计算，当两点横坐标相等时，线段平行于轴，线段长度为两点纵坐标差的绝对值． 【详解】∵点坐标为，点坐标为，两点横坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴线段的长度为． 5．C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 6．A 【详解】解：∵点向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合， ∴，， 即点的坐标为. 7．D 【分析】利用与轴平行的直线的点坐标特征（纵坐标相等）、点到轴的距离相等及两点互异的坐标特征（横坐标互为相反数），求、的值，进而得点坐标． 【详解】解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 8．D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标．根据点在的右侧，可知，根据点在的上方，轴的下方，可知． 【详解】解：如图所示， 点在的右侧， ， 又点在的上方，轴的下方， ． 故选：D． 9．A 【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 长方形的周长为， 解得． 10．B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 11． 【分析】根据已有点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，画出坐标系，如图所示： 由图可知：黑棋①的坐标为． 12．或 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，根据距离相等列方程求解，再计算点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 又点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，，，此时点坐标为； 当时，，，此时点坐标为． ∴点的坐标是或． 13．7 【分析】由轴可得、两点纵坐标相等，据此可求出的值，再计算线段的长度． 【详解】解：∵轴，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ，纵坐标相等，即， 将代入坐标，可得点坐标为，点坐标为， ∴ 线段的长为． 14．或/或 【分析】将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，轴，从而可求得的长；再由点C的坐标及轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据，可得关于m的方程，解得m的值即可． 【详解】解：将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：    ∵点，点， ∴轴， ∴， ∵点，轴， ∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标为m， ∵， ∴， ∴或7． ∴点D的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键． 15． 【分析】本题主要考查了平移的特点，解题的关键是根据题意得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案．先根据左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案，再求出右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标即可． 【详解】解：因为题图中y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，且左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是， ∴左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案， ∴右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是，即． 故答案为：． 16． 【分析】根据可得三角形的面积． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴ ． 17．(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在x轴上得到，求出，从而得到点A的坐标； （2）根据点A在过点且与x轴平行的直线上得到，求出，从而得到点A的坐标． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 18．(1)；食堂 (2)足球场，图书馆，校门 (3)900 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图书馆与足球场之间的距离为米． 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点和点的坐标可得平移方式，由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可． （2）根据点和点的坐标可得平移方式，由平移方式可得答案； （3）根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵三角形内部一点的坐标为， ∴平移后点的对应点的坐标是； （3）解：由（1）得， ∵点在轴上，且三角形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为或， ∴点的坐标为或． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积公式及坐标与图形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点的坐标分别为，点的坐标为，求出，得出，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点M的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：依题意，设点M的坐标为， 则：， ∵， ， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在轴上的点的坐标特点： （1）在轴上的点纵坐标为，据此列出方程求解即可； （2）平行于轴的直线上的点横坐标相同，据此求出的值即可求出点的坐标； （3）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点到两坐标轴的距离，再根据点到两坐标轴的距离之和为建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在轴上， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴点与点的横坐标相同， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在第一象限， ∴， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．(1)①③ (2)或 【分析】（1）根据“等差点”的定义进行解答即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵到x轴的距离为5，到y轴的距离为2， ∴到x轴，y轴距离之差的绝对值为； ①∵到x轴的距离为7，到y轴的距离为4， ∴到x轴，y轴距离之差的绝对值为； ∴与互为“等差点”； ②∵到x轴的距离为1，到y轴的距离为3， ∴到x轴，y轴距离之差的绝对值为； ∴与不互为“等差点”； ③∵到x轴的距离为6，到y轴的距离为3， ∴到x轴，y轴距离之差的绝对值为； ∴与互为“等差点”； 故答案为：①③． （2）解：由题意可以分两种情况： ①当时，，此方程无解． ②当时，解得或． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，点到两坐标轴的距离，解题的关键是理解题意，准确计算． 23．(1)6；8；24； (2)存在时，使得与的面积相等； (3)，证明如下： ∵x轴轴， ∴，， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴ ∴ ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴，， ∴即． 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：由题意可知，； ∴，， 由时， ∴存在时,使得与的面积相等． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $