5.1.1 方程 第1课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的“方程”概念，通过登山问题情境导入，先引导学生用算术方法解决，再过渡到设未知数、列方程的代数方法，搭建从算式到方程的学习支架，帮助学生理解方程意义及列方程步骤。 其亮点在于以实际问题为载体，通过分析行程、购物、面积等问题中的数量关系，培养学生的抽象能力、推理意识和模型意识。例如登山问题中设时间为x，根据甲队距大本营距离等于乙队距大本营距离列方程，体现用数学眼光观察现实世界。学生能感受方程的工具性，教师可借助情境和步骤引导提升教学效率。

从算式到方程 第 1 节 第5章 第1课时 方程 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步.能根据现实情境理解方程的意义 使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程,认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,初步体会建立数学模型的思想. 3 能针对具体问题通过寻找相等关系列出方程,初步感受方程是刻画实际问题的工具 能根据现实情境理解方程的意义. 重点 根据实际问题列出方程 难点 重 难 点 创设情境 登 山 问 题 创设情境 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗? 本章我们将学习一种新的方法来解决这个问题，通过列方程来解决这个问题 (3-1)÷(1.2-0.8)=5(h). 创设情境 方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工具 实际问题 常用字母表示其中的未知数 列出方程表示相等关系 分析问题中的数量关系 解方程求出未知数 获得实际问题答案 怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？ 本章研究的主要问题： 通过解决本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用一元一次方程解决问题的方法。 创设情境 (1)此题中涉及哪些量,这些量之间有什么关系?哪些是未知量，哪些是已知量? (2)你认为应引进什么样的未知量?如何表示这个问题中的相等关系? (3)你所表示的相等关系的依据是什么? 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 思 考 未知量 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 新知讲授 探究点1 认识方程 讨 论 (1)此题中涉及哪些量,这些量之间有什么关系?哪些是已知量，哪些是未知量? 行程问题：路程=速度×时间 已知量 甲队的速度1.2 km/h 乙队的速度0.8 km/h 行进的时间 甲队行进的路程 乙队行进的路程 (2)你认为可以将哪个未知量用字母先表示? 甲乙两队同时出发，所以两队从出发到相遇行进时间相同，所以可以将行进时间设为x h 新知讲授 探究点1 认识方程 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 讨 论 （3）设两队行进的时间为x h，完成下列填空 甲队行进的路程可以表示为　 　　　km, 乙队行进的路程可以表示为　　 　km; 甲队距离大本营　　　　km，乙队距离大本营　　　　km. 1.2x km 0.8x km (1.2x + 1) (0.8x + 3) （4）当甲队追上乙队时有怎样的相等关系 甲队距离大本营的距离=乙队距离大本营的距离 1.2x + 1= 0.8x + 3 转化为代数式 含有未知数的等式 新知讲授 探究点1 认识方程 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 讨 论 （5）你能用数线图表示当甲队追上乙队时的相等关系吗？ 设两队行进的时间为x h， 1 km 3 km 一号营地 二号营地 大本营 甲追上乙 V甲= 1.2 km/h V乙= 0.8 km/h 甲出发点 乙出发点 1.2xkm 0.8x km 追上时甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程 新知讲授 探究点1 认识方程 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 设两队行进的时间为x h，由题意可得： 1.2x + 1 = 0.8x + 3 方 程 通过本章的学习 ， 我们将能够从这个含有未知数 狓 的等式中解出未知数的值x ＝５ ， 从而求出 ５ｈ 后甲队追上乙队 ． 能求出未知数x的值吗？ 新知讲授 探究点2 寻找等量关系及列方程 讨 论 1.用买12个大水杯的钱,可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元? 已知量 未知量 大水杯数量12个 小水杯数量16个 大水杯单价 小水杯单价 购买大水杯的金额 购买小水杯的金额 购物问题：数量×单价=金额 数量关系： 大水杯的单价比小水杯的单价多5元 买12个大水杯的钱与买16个小水杯的钱相等 新知讲授 探究点2 寻找等量关系及列方程 讨 论 1.用买12个大水杯的钱,可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元? (2)题目中的等量关系为:　　　 　 ;  (3)根据等量关系你列的等式为:　　　 　.  买12个大水杯的钱=买16个小水杯的钱 12x = 16( x-5 ) 单价（元/个） 数量（个） 金额（元） 大水杯 小水杯 （1）若设大水杯的单价为x元,则：  x x-5 12 16 12x 16( x-5 ) 由这个含有未知数 x 的等式可以求出大水杯的单价 ， 进而可以求出小水杯的单价 ． (2)长方形的面积可以表示为　　　 . 由此你得到的等式是　　 　.  新知讲授 探究点2 寻找等量关系及列方程 2.如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4 000 mm2,长和宽的比为8∶5，这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米? 讨 论 面积问题：长方形面积=长×宽 (1)设纪念币的长为x mm, 则纪念币的宽为　　　　mm;  由这个含有未知数 x 的等式可以求出这枚纪念币的长 ， 进而可以求出纪念币的宽 ． 新知讲授 探究点2 寻找等量关系及列方程 讨 论 1.2x + 1 = 0.8x + 3 3x = 4( x-5 ) 说一说这些式子的共同特征是什么？ 共同特征 含有字母，表示未知数 表示相等关系的等式 方 程 在问题中先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 方程定义： 含有未知数的等式称为方程 提示：等号两边分别叫作等式的左边和右边. 新知讲授 比较：列算式和列方程 列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难. 列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便. 从算式到方程是数学的进步！ 探究点2 寻找等量关系及列方程 新知讲授 探究点2 寻找等量关系及列方程 数学史话 在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元”““物元”等表示未知数，17 世纪，法国数学家笛卡儿最早使用 x，y，z 等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今. 未知数的表示 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题。我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 典例评析 例 1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80人，这所学校有多少名学生？ 解：设这所学校有 x 名学生 .有题意可得： 女生数为 0.52x . 男生数为 (1-0.52)x . 0.52x -(1-0.52)x = 80 女生 全体学生数的 52% 全体学生数的 48% 男生 等量关系：女生人数-男生人数= 80人 分析 典例评析 例 1 根据下列问题，设未知数并列出方程： x m x m 列得方程 x2 + 5x = 500 5 m （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. 解：设正方形绿地的边长为 x m. 扩大后的绿地总面积为(x2+5x) m2. 正方形面积与增加的面积和 扩大后的绿地总面积 你能解释这些方程的左边､右边各表示什么意思吗 新知讲授 探究点2 寻找等量关系及列方程 实际问题 方程 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 归 纳 分析实际问题中的数量关系利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法,这个过程可以表示为 列方程解决实际问题的步骤： ①设未知数(用字母) ②找等量关系(表示出相关的量) ③列出方程 新知巩固 教材P113 根据下列问题，设未知数并列出方程： 1. 甲种铅笔每支 1.4 元，乙种铅笔每支 1.8 元，用 23 元钱买这两种铅笔，一共买了 15 支，两种铅笔各买了多少支？ 解：设甲种铅笔买了 x 支，则乙种铅笔买了(15-x)支. 列得方程 1.4x + 1.8(15-x) = 23. 新知讲授 教材P113 2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计). 解：设截下的那段电线的长度为 x m.由题意可得： 90-x = 40 + x 长 90 m 长 40 m x m x m 新知巩固 教材P113 3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 解：设内沿小圆的半径是 r cm. 列得方程： π×102 - πr2 = 200. 检测反馈 1. 下列式子属于方程的是(　　) A. x＋5 B. x－10＝3 C. 5＋6＝11 D. x÷12＞20 B 2. 列等式表示“x的2倍与10的和等于18”，下列正确的是(　　) A. 2x＋18＝10 B. 2x＋10＝18 C. 2(x＋10)＝18 D. x＋12＝18 B 3. 如图，某广场有一块半径为8 m的圆形花圃，准备在中间修建一个正方形的水池，其余部分种植月季花，若种植面积为120 m2，设正方形的边长为x m，则可列出的方程是 . 64π－x2＝120　 检测反馈 拓展提升 1.古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？设有车x辆，则根据题意，可列出方程是(　　) A. 3(x＋2)＝2x－9 B. 3(x＋2)＝2x＋9 C. 3(x－2)＝2x－9 D. 3(x－2)＝2x＋9 D 2. 如图，在一张长、宽分别为50 cm和30 cm的长方形纸板的四个角处剪去四个边长为x cm的小正方形.若要使长方形纸板剩余面积为300 cm2，则可 列方程为 ⁠. 50×30－4x2＝300　 拓展提升 真题感知 1（2026·揭阳月考）下列各式中： ① x=0；② 2x>3；③ x²+x-2=0；④ + 2 = 0；⑤3x-2； ⑥ 2x = x-1；⑦ x-y=0； ⑧ xy=4，是方程的有 （ ） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 C 2. (2026•钦州期末)已知2a＝b＋1，则下列等式中不成立的是(　　) A. 2a－b＝1 B. a＝ C. 4a＝2b＋2 D. 2a－3＝b－3 D 课堂小结 定 义 方程 ①等式； ②含有未知数． 要 点 含有未知数的等式 列方程解决实际问题的步骤 ①设未知数(用字母) ②找等量关系(表示出相关的量) ③列出方程 课后练习 1. 列等式表示： （1）比 a 大 5 的数等于 8； （2）b 的三分之一等于 9； （3）x 的 2 倍与 10 的和等于 18； （4）x 的三分之一与 y 的差等于 6； （5）比 a 的 3 倍大 5 的数等于 a 的 4 倍； （6）比 b 的一半小 7 的数等于 a 与 b 的和. （1）a + 5 = 8 （3）2x + 10 = 18 （5）3a + 5 = 4a 习题 5.1 课本p118页 课后练习 2. 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： （1） （2） （3） x + 2 x + 3 x 周长是14 x° x° (3x)° x-1 x 面积是6 x + x + 2 + x + 3 = 14 3x + x + x = 180 习题 5.1 课本p118页 课后练习 5. 某校七年级（1）班共有学生 48 人，其中女生人数比 男生人数的 多 3，这个班有男生多少人？ 解：设这个班有男生 x 人,根据题意，得: 6. 把 10000 元奖学金按照两种奖项奖给 20 名学生， 其中一等奖每人 800 元，二等奖每人 400 元. 获得 一等奖的学生有多少人？ 解：设获得一等奖的学生有 x 人. 根据题意，得 800x + 400(20-x)＝ 10000. 习题 5.1 课本p118页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $