3.4 力的合成和分解 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦高中物理“力的合成和分解”核心知识点，从合力与分力的定义及关系出发，通过平行四边形定则、三角形法则构建基础，延伸到正交分解、按效果分解、多解极值问题，结合共点力平衡及实验探究，形成完整学习支架。 资料以11类题型系统整合知识，通过典例与变式题强化科学推理和模型建构，如按效果分解分析榫卯结构受力，实验探究验证平行四边形定则培养科学探究能力。课中助力教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，提升物理观念应用能力。

第三章 第4节 力的合成和分解 内 容 导 航 题型1 合力与分力的定义及关系 题型2 力的平行四边形定则 题型3 合力的取值范围 题型4 成特殊角度的两个力的合力的计算 题型5 三角形法则及多边形法则 题型6 正交分解法 题型7 按力的效果进行分解 题型8 力的分解过程中多解和极值的问题 题型9 力的合成与分解的应用 题型10 共点力的平衡问题及求解 题型11 探究两个互成角度的力的合成规律 考 点 演 练 题型1 合力与分力的定义及关系 解｜题｜知｜识 1．合力与分力 （1）定义：一个力（F）作用的效果跟几个力（F1、F2…）共同作用的效果相同，这个力（F）叫做那几个力的合力．那几个力叫做这个力的分力． （2）关系：等效替代关系（注意不是物体又多受了一个合力）． 【典例1】若两个共点力F1、F2的合力为F，则以下说法中正确的是（　　） A．合力F一定大于任何一个分力 B．合力F的大小可能等于F1，也可能等于F2 C．合力F的大小随F1、F2间夹角的增大而增大 D．当某个分力增大时，合力也一定增大 【答案】B 【解答】解：AB、一个合力与几个分力共同作用的效果相同，但合力的大小不一定大于任何一个分力的大小，可以小于分力，也可以等于分力，故A错误，B正确； CD、合力F的大小随F1、F2间的夹角的增大而减小，合力的范围在两个分力之差与之和之间，比如一个分力大小为5N，另外一个分力大小为3N，这两个力的方向相反，则合力为2N，如果3N的分力增大为4N，则合力变为了1N，合力反而减小，故CD错误。 故选：B。 【变式1】已知两个力的合力为10N，其中一个力为F1＝6N，则另一个分力F2的范围是（　　） A．6N≤F2≤10N B．0N≤F2≤10N C．4N≤F2≤10N D．4N≤F2≤16N 【答案】D 【解答】解：有两个共点力的合力大小为10N，若其中一个力为F1＝6N，根据平行四边形定则可知，另一个分力的大小应在4N≤F≤16N范围，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式2】下面关于合力和分力关系的叙述中，正确的是（　　） A．两个力的合力一定大于其中任意一个分力 B．3N、6N、7N三个共点力的合力的最小值为2N C．两个分力的大小不变，夹角在0～180°之间变化，夹角越大，其合力越小 D．两个分力F1和F2的夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就一定增大 【答案】C 【解答】解：A．不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误； B．3N、6N合力最大值为9N，最小值为3N，范围为3N～9N，7N在范围内，所以三力合力最小值为0，故B错误； C．两个共点力的夹角在0～180°之间变化时，其合力随两力夹角的增大而减小，故C正确； D．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，当F2与F1反向时且F1大于F2，则合力F会减小，故D错误。 故选：C。 题型2 力的平行四边形定则 解｜题｜知｜识 1.力的合成 （1）定义：求几个力的合力的过程叫做力的合成． （2）力的合成的依据 作用效果相同（等效） （3）求合力的方法（实验探索） 思想：等效代换 结论：平行四边形定则 以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个力邻边的对角线就代表合力的大小和方向． 2．平行四边形定则 （1）定义：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则． （2）方法： ①作图法： 根据相同的标度，以共点的两个力为邻边作平行四边形，这两力所夹的对角线表示合力的大小和方向，如图所示． 注意：作图时合力与分力的比例应相同．虚、实线应分清．作图法简便、直观、实用，但不够精确． ②解析法： F＝，tanα＝； 当θ＝0°时，同向的两力的合力大小F＝F1+F2； θ＝90°时，互相垂直的两力的合力大小F＝； θ＝180°时，反向的两力的合力大小F＝|F1﹣F2|． 由此可知两共点力的合力F的范围为：|F1﹣F2|≤F≤F1+F2，合力随夹角θ的增大而减小． 合力可以大于、等于或小于分力，甚至为零． 若F1＝F2且θ＝120°时，有合力F＝F1＝F2． （3）多力合成如果需要求三个或三个以上共点力的合力，可先求其中任意两个力的合力F12，再求F12与第三个力的合力F合，依此类推． 【典例1】射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为（cos53°＝0.6）（　　） A．53° B．127° C．143° D．106° 【答案】D 【解答】解：以箭与弓弦交点作为受力对象，根据图乙可知F1＝F2， 由力的合成法则，得：F1cos +F2cos ＝F 则：＝0.6； 解得：α＝106°，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式1】明代宋应星在《天工开物》一书中描述了测量弓力的方法：“以足踏弦就地，秤钩搭挂弓腰，弦满之时，推移秤锤所压，则知多少。”如图所示，假设弓满时，弓弦弯曲的夹角为θ，秤钩与弦之间的摩擦不计，弓弦的拉力即弓力，满弓时秤钩的拉力大小为F，则下列说法正确的是（　　） A．F一定，θ越小，弓力越大 B．θ一定，弓力越大，F越小 C．弓力一定，θ越大，F越大 D．θ一定，F越大，弓力越大 【答案】D 【解答】解：将秤钩的拉力沿两侧弦的方向分解如图所示，设弦的拉力（弓力）为F′，则：F＝2F′cos，可得：F′＝； A、由公式：F′＝可知，当F一定时，θ越小，弓力越小，故A错误； B、由公式：F＝2F′cos，可知，θ一定，弓力越大，F越大，故B错误； C、由公式：F＝2F′cos，可知弓力一定，θ越大，F越小，故C错误； D、由公式：F′＝，可知θ一定，F越大，弓力越大，故D正确。 故选：D。 【变式2】下列关于力的合成与分解的说法中正确的有（　　） A．若两分力的大小不变，两分力之间的夹角越大，合力F就越大 B．合力F总比两分力F1和F2中的任何一个力都大 C．已知合力和两个分力的方向，分解结果是唯一的 D．两个分力的夹角一定，只让其中的某个分力增大，则合力一定增大 【答案】C 【解答】解：A．令两分力间的夹角为θ，如图所示 则有 F2＝+﹣2F1F2cos（π﹣θ）＝+﹣2F1F2cosθ 其中 0≤θ≤π 可知，若两分力的大小不变，两分力之间的夹角越大，合力F就越小，故A错误； B．根据合力与分力的关系，将平行四边形转化为三角形，根据边角关系，可知合力F可能比两分力F1和F2中的任何一个力都大，可能比两分力F1和F2中的任何一个力都小，也可能与两分力F1和F2大小相等，故B错误； C．力的分解遵循平行四边形定则，已知合力和两个分力的方向，即已知平行四边形的两邻边与对角线方向，就能够确定该平行四边形，可知已知合力和两个分力的方向，分解结果是唯一的，故C正确； D．令两分力间的夹角为θ，如图所示 若θ、F1一定，则有 F＝＝ 若图中初始位置的夹角α为锐角，当增大F2时，夹角α逐渐增大至π，可知合力F先减小后增大，故D错误。 故选：C。 【变式3】漫画中的大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为F，绳与水平方向的夹角为θ．若将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为（　　） A．Fsinθ B．Fcosθ C． D． 【答案】A 【解答】解：将F分解为水平方向和竖直方向，根据平行四边形定则，竖直方向上分力Fx＝Fsinθ．故A正确，B、C、D错误。 故选：A。 题型3 合力的取值范围 解｜题｜知｜识 合力大小的计算公式为：F＝ 其中F1和F2表示两个分力的大小，F表示合力的大小，θ表示两个分力之间的夹角。θ的取值范围是0～180°。由此可知F的取值范围是： ①当θ＝0°时，两个分力方向相同，合力大小F＝F1+F2； ②θ＝180°时，两个分力方向相反，合力大小F＝|F1﹣F2|。 ③所以合力大小的取值范围为|F1﹣F2|≤F≤F1+F2 【典例1】物体同时受到同一光滑平面内三个力作用，物体在下列哪组力的作用下，可能做匀速直线运动（　　） A．7N，5N，3N B．5N，3N，9N C．2N，8N，15N D．12N，10N，1N 【答案】A 【解答】解：匀速直线运动的条件是物体所受合力为零，即三个力的大小需满足“任意两个力的合力范围包含第三个力”。 A.3N与5N的合力范围为|5N−3N|≤F合≤3N+5N，即2N≤F合≤8N。7N在此范围内，三力可平衡，合力为零，可能做匀速直线运动，故A正确； B.5N与3N的合力范围为2N≤F合≤8N，9N不在此范围内，无法平衡，故B错误； C.2N 与 8N 的合力范围为6N≤F合≤10N，15N不在此范围内，无法平衡，故C错误； D.10N与1N的合力范围为9N≤F合≤11N，12N不在此范围内，无法平衡，故D错误； 故选：A。 【变式1】如图所示，一物块放在水平桌面上，在水平方向受到F1＝10N，F2＝2N两个力作用，木块处于静止状态，若撤去力F1，则木块在水平方向受到的合力为（　　） A．10N，方向向左 B．6N，方向向右 C．2N，方向向左 D．零 【答案】D 【解答】解：一物块放在水平桌面上，在水平方向受到F1＝10N，F2＝2N两个力作用，木块处于静止状态， 木块在水平方向受三个力而平衡，则物块所受的摩擦力f＝F1﹣F2＝10N﹣2N＝8N， 物体处于静止状态，则说明物体受到的最大静摩擦力不小于8N，撤去F1后，外力为2N，故物体仍能处于平衡状态，即合力一定为0，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式2】关于力的合成与分解，下列说法正确的是（　　） A．两个力的合力可能小于任意一个分力 B．运动的物体不可能受到静摩擦力，静止的物体不可能受到滑动摩擦力 C．同一平面内有三个力，大小分别为3N、4N、5N，则这三个力的合力F的大小满足2N≤F≤12N D．在同一平面内将某个力F分解为大小确定且不共线的两个力，最多只有一种分解方法 【答案】A 【解答】解：A．两个力的合力，可能小于任一个分力，可以大于任何一个分力，可以等于任何一个分力，故A正确； B．运动的物体可以受静摩擦力，如与倾斜传送带保持相对静止，随传送带向上匀速运动的货物；静止的物体可以受滑动摩擦力，如木块在粗糙的桌面滑动，木块受到桌面的摩擦力作用，同时静止的桌面受到木块的摩擦力作用，故B错误； C．3N与4N的合力范围为1N到7N，5N在此合力范围内，故三个力的合力范围为0N到12N，故C错误； D．平面内将某个力F分解为大小确定且不共线的两个力，根据三角形定则，方向有可能不同，如图所示 可能有两种分解结果，故D错误。 故选：A。 【变式3】如图所示，一物体受到恒力F1作用，同时受到从0开始增大的F2作用，两力之间的夹角θ不变，则随着F2从0开始增大，物体受到的合力（　　） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．始终大于F1 D．始终小于F1 【答案】B 【解答】解： 由图分析可知：F2变大的过程中，合力垂直F2时最小，故合力先减小后增大；合力先比F1小，后比F1大，故ACD错误，B正确。 故选：B。 题型4 成特殊角度的两个力的合力的计算 解｜题｜知｜识 1.合力大小的计算公式为F＝，结合数学知识，当θ取一些特殊值时，可以很方便的求出一些力的合力。 2.如果F1＝F2 ①θ＝0°，F＝2F1； ②θ＝60°，F＝F1； ③θ＝90°，F＝F1； ④θ＝120°，F＝F1； ⑤θ＝180°，F＝0。 3.由此还可以知道，当两个力的大小确定时，夹角越大，合力越小。 【典例1】两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为120°时，合力大小为F；当它们的夹角为90°时，合力大小为（　　） A． B． C． D．F 【答案】C 【解答】解：当两个等大的力的夹角为120°时，合力为 F合＝2F1cos60°＝F1＝F 当两个力的夹角为90°时，根据勾股定理勾股定理得 解得：F合＝F 所以合力大小为。 故ABD错误 故选：C。 【变式1】如图所示在同一平面内的四个共点力F1＝20N、F2＝30N、F3＝22N、F4＝40N，方向如图所示，求它们的合力大小和方向。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要求写出求解过程﹣即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明） 【答案】这些力的合力大小为22N，方向F合与F4的方向成45°夹角如上所示。 【解答】解：因为F2和其它三个力不在一条直线上，可以先将F2沿F4的反方向分解为F2x＝F2sin37°＝30N×0.6＝18N，F1的方向分解为F2y＝F2cos37°＝30N×0.8＝24N， 然后对四个力分别在两个方向上求合力，在水平方向上，Fx＝F4﹣F2x＝40N﹣18N＝22N，方向水平向右，竖直方向上Fy＝F1+F2y﹣F3＝20N+24N﹣22N＝22N，方向竖直向下，则四个力的最终合力大小为F合＝＝N＝22N，作图如下 由几何关系tanθ＝＝＝1，则θ＝45°，即合力F合与F4的方向成45°夹角如上所示。 答：这些力的合力大小为22N，方向F合与F4的方向成45°夹角如上所示。 题型5 三角形法则及多边形法则 解｜题｜知｜识 1.定义：两共点力F1、F2的合力F与它们的夹角θ之间的关系可用如图所示的三角形和圆表示．合力F以O为起点，以用力F2的大小为半径的圆周上的点为终点，可知|F1﹣F2|≤F≤F1+F2； （2）关于三角形定则有以下几点说明： ①三角形定则只是一种运算方法，各有向线段的起点并不是该力的作用点．但各有向线段的方向一定与对应力的方向相同，长度也和对应力的大小成比例． ②与平行四边形定则一样，任何矢量的“和”及“差”运算都遵循三角形定则，因此也称之为矢量的三角形定则． ③可将三角形定则推广为矢量的多边形定则： 求三个力F1、F2、F3的合力，先利用三角形定则求F1、F2的合力F12，再据三角形定则将F12与F3合成得合力F，如图所示．可发现三个分力F1、F2、F3依次首尾相接，其合力F为从总的起点指向总的末端点的有向线段．依此类推，N个力的合力，就是将这N个力首尾相接，则从总的起点指向总的末端点的有向线段表示这N个力的合力．如图所示． ④一个重要结论：若一个物体在几个（三个以上）共点力的作用，且这几个力首尾相连可构成一个封闭的多边形，则这几个力的合力为零． 如图所示，F1、F2、F3三个力依次首尾相连构成一个封闭的三角形，所以这三个共点力合力为零． 虽然三角形定则是由平行四边形定则延伸出来的，但它在运用的过程中非常简洁、方便，同时也具有很强的灵活性． 【典例1】如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形（顶角为直角），下列四个图中，这三个力的合力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】在运用三角形定则对力进行合成与分解时，需做到首尾相接，本题三力合成可以先将任意两个力首尾相接，再使用平行四边形定则与第三个力合成 A．根据以上分析可知，F1为F2与F3的合力，合力大小为2F1 B．根据以上分析可知，F1、F2、F3这三个力“首尾”相连，合力为零，为最小值 C．根据以上分析可知，F2为F1与F3的合力，合力大小为2F2 D．根据以上分析可知，F3为F1与F2的合力，合力大小为2F3 根据以上分析，A，C，D错误，B正确 故选：B。 题型6 正交分解法 解｜题｜知｜识 1．力的分解 （1）力的分解定义：已知一个力求它的分力的过程叫力的分解． （2）力的分解法则：满足平行四边形定则． 2．正交分解法 将一个力（矢量）分解成互相垂直的两个分力（分矢量），即在直角坐标系中将一个力（矢量）沿着两轴方向分解，如果图中F分解成Fx和Fy，它们之间的关系为： Fx＝F•cosφ，① Fy＝F•sinφ，② F＝，③ tanφ＝，④ 正交分解法是研究矢量常见而有用的方法，应用时要明确两点， ①x轴、y轴的方位可以任意选择，不会影响研究的结果，但若方位选择的合理，则解题较为方便： ②正交分解后，Fx在y轴上无作用效果，Fy在x轴上无作用效果，因此Fx和Fy不能再分解． 【典例1】如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是（　　） A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力 B．物体受到mg，FN，F1，F2四个力作用 C．力FN，F1，F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同 D．FN和F2是作用力和反作用力 【答案】C 【解答】解：A．F1是使物体下滑的力，F2不是物体对斜面的压力，因为物体对斜面的压力受力物体是斜面，不是物体，而F2作用在物体上，故A错误； B．物体只受重力和支持力两个力作用，故B错误； C．物体的重力mg分解为F1、F2两个力，则力FN、F1、F2的三个力的作用效果与mg、FN两个力的效果相同，故C正确； D．FN和F2都作用在物体上，不是一对作用力和反作用力，FN与物体对斜面的压力是一对作用力与反作用力，故D错误。 故选：C。 【变式1】如图所示，拖拉机拉着耙耕地，拉力F与水平方向成α角，若将该力沿水平和竖直方向分解，则它的竖直方向的分力为（　　） A．Fsinα B．Fcosα C．Ftanα D．Fcotα 【答案】A 【解答】解：根据平行四边形定则，以F为对角线作平行四边形，如图。 则有F1＝Fsinα 故选：A。 题型7 按力的效果进行分解 解｜题｜知｜识 1.有些情况下正交分解法并不能使问题简化，需要按力的实际作用效果进行分解。分解的步骤如下： ①分析力的作用效果 ②据力的作用效果确定分力的方向；（画两个分力的方向） ③用平行四边形定则确定分力的大小； ④据数学知识求分力的大小和方向。 2.如下图：重力可以按照效果分解为挤压挡板的力和挤压斜面的力。 【典例1】如图甲所示是用刀具切硬物的情景，将刀刃放在硬物上，右手握住刀柄控制右侧刀面始终保持竖直，左手用力按压刀背使刀刃缓慢竖直切入硬物，刀刃切入硬物的横截面如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．刀具左侧对硬物的压力小于右侧对硬物的压力 B．刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬物的压力 C．刀具对硬物的作用力小于硬物对刀具的作用力 D．刀具对硬物的作用力大于硬物对刀具的作用力 【答案】B 【解答】解：对刀具的切割的状态作图 AB.根据力的作用效果分解，将力F分解成垂直于左斜面向左下方的F1和向右的水平分力F2，由直角三角形的知识可知，F1是直角三角形的斜边，F2是直角边，故F1大于F2，故A错误，B正确； CD.刀具对硬物的作用力和硬物对刀具的作用力是一对相互作用力，则这一对力大小相等，方向相反，故CD错误。 故选：B。 【变式1】榫卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为榫眼的凿削操作，图乙为截面图，凿子尖端夹角为θ，在凿子顶部施加竖直向下的力F时，其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2。不计凿子的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．F1＝F2 B．夹角θ越小，F1越小 C．F2＝Fsinθ D．夹角θ越小，凿子越容易凿入木头 【答案】D 【解答】解：A、由平衡条件和牛顿第三定律可知，凿子对木头的压力为竖直向下的F，作出力F分解的关系图，如图所示： 由图可知：F2＜F1，故A错误； BCD、根据几何关系可得：，，由此可知力F一定时，夹角θ越小，F1和F2均越大，凿子越容易凿进木头夹角；θ越大，F1和F2均越小，凿子越不容易凿进木头，故D正确，BC错误。 故选：D。 【变式2】（多选）筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的光滑小球，两根筷子与小球球心均在竖直平面内，两根筷子和竖直方向的夹角均为θ，下列说法正确的是（　　） A．两根筷子对小球的弹力均为 B．两根筷子对小球的弹力均为 C．若要以同样大小的弹力夹起一更重的光滑小球，则应增大夹角θ D．若要以同样大小的弹力夹起一更重的光滑小球，则应减小夹角θ 【答案】BC 【解答】解：对小球受力分析可知 2FNsinθ＝mg 可得两根筷子对小球的弹力均为 若要以同样大小的弹力夹起一更重的光滑小球，则应增大夹角θ，故AD错误，BC正确。 故选：BC。 题型8 力的分解过程中多解和极值的问题 解｜题｜知｜识 1.两个已知的力求合力，根据平行四边形定则可知，合力是唯一确定的。而给出合力，求分力的时候，可以分解出无数个平行四边形，所以有无数组解。而如果在分解时加以限制，分力的情况也会有所不同。 2.已知两分力求合力有唯一解，而求一个力的两个分力，如不限制条件有无数组解，如图（a）所示，力F可在不同方向上进行分解． 要得到唯一确定的解应附加一些条件： ①已知合力和两个分力的方向，可求得两个分力的大小． 图（b）所示把已知合力F分解成沿OA、OB方向的两个分力，可从F的矢端作OA、OB的平行线，画出力的平行四边形得两分力F1、F2． ②已知合力和一个分力的大小、方向，可求得另一个分力的大小和方向． 如图（c）已知合力F、分力F1，则连接合力F和分力F1的矢端，即可作出力的平行四边形得另一分力F2． ③已知合力、一个分力F1的方向与另一分力F2的大小，求F1的大小和F2的方向（无解、有一组解或两组解）． 如上图所示，已知力F、α（F1与F的夹角）和F2的大小，这时有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析，从力F的端点O作出分力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆． a．当F2＜Fsinα时，圆与F1无交点，说明此时无解，如图（a）所示． b．当F2＝Fsinα时，圆与F1相切，此时有一解，如图（b）所示． c．当F≥F2＞Fsinα时，圆与F1有两个交点，此时有两解，如图（c）所示． d．当F2＞F时，圆与F1作用线只有一个交点，此时只有一解，如图（d）所示． 【典例1】（多选）在把一个力F分解为两个分力F1和F2中，已知合力F＝40N，分力F1的方向与合力F的方向夹角为300，若F2取某一数值，可使F1有两个大小不同的数值，则F2的取值不可以的是（　　） A．15N B．20N C．25N D．30N 【答案】AB 【解答】解：如图所示， 当F2＝Fsin30°，解得F2＝20N时，F2、F1有惟一确定的值。 当F2＞20N时，如图中AD＝AC表示力F2的大小，则F1必有两解，即OC和OD分别为F1的对应值； 当F2增大到F2≥F时，则F1只有一解，所以F2的取值范围是20N＜F2＜40N，故AB错误，CD正确。 本题选不正确的，故选：AB。 【变式1】（多选）已知一个力F＝50N，把它分解为两个力，已知其中一个分力F1与F的夹角为30°，若要F1有两个取值，则分力F2的值可能为（　　） A．30N B．25N C． D．25N 【答案】AB 【解答】解：合力大小为50N，一个分力F1与合力方向的夹角是30°，根据点到直线的最小距离可知，当两个分力的方向垂直时，另一个分力F2最小，最小值为：F2＝Fsin30°＝50sin30°＝25N 但F2最小时是唯一解，所以若要F1有两个取值，则F2应大于25N；同时小于合力50N，故AB正确，CD错误。 故选：AB。 题型9 力的合成与分解的应用 解｜题｜知｜识 本考点针对比较复杂的题目，题目涉及到力的合成与分解的综合应用。 【典例1】两个分力分别为F1＝40N和F2＝24N，则合力与F1夹角的最大值是（　　） A．60° B．53° C．37° D．30° 【答案】C 【解答】解：根据两个力合成的三角形定则，以F1的箭头处为圆心，以F2的大小为半径作圆，当合力F与圆相切时，F与F1的夹角最大，如图所示 则有，可知α＝37°，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式1】明朝谢肇的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身，假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，则木楔两侧产生推力N的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的F和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给木楔的斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的力是相等的，力F的分解如图： 则F＝F1cos（90°﹣ ）+F2cos（90°﹣ ）＝2F1cos（90°﹣）＝2F1sin N＝F1 故得N＝，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式2】请阅读下述文字，完成下列小题。 “蜘蛛人”主要靠一根绳索把自己悬挂在几十层高的大厦外，清洗大厦的玻璃和外墙，成为扮靓城市的一道独特风景，如图所示。已知“蜘蛛人”的质量为m，当地的重力加速度为g。设绳索对其拉力大小为F1，竖直墙壁对其支持力大小为F2，不计他与墙壁间的摩擦力和绳索的重力。 “蜘蛛人”使用可吸附在竖直玻璃上的擦窗工具擦拭玻璃，如图所示。擦窗工具的质量为m0，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，则擦窗工具所受摩擦力（　　） A．方向竖直向上 B．方向水平向左 C．大小等于m0g D．大小等于 【答案】D 【解答】解：对擦窗工具进行正视图的受力分析如图所示： 水平方向上拉力F与擦窗工具所受滑动摩擦力f滑等大反向，竖直方向上重力m0g与擦窗工具所受静摩擦力f静等大反向，所以擦窗工具所受摩擦力方向如图中f所示，大小为f＝＝m0g 故ABC错误，D正确； 故选：D。 【变式3】如图所示，重力可忽略不计的直角三角形尖劈在力F的作用下镶嵌在墙面内（不计墙壁与尖劈的摩擦）。AC为直角三角形斜边，AC与AB之间的夹角为30°，则AC边受到墙面的垂直斜面方向压力F1，AB边受到的竖直方向压力F2大小分别为（　　） A．F1＝F B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据力的平行四边形定则可知力的矢量三角形如图所示 根据几何关系可知F1＝＝2F，，故ABD错误，C正确。 故选：C。 题型10 共点力的平衡问题及求解 解｜题｜知｜识 1.共点力 （1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。 （2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。 2.共点力平衡的条件 （1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。 （2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 3.对共点力平衡条件的理解及应用 合外力等于0，即F合＝0→正交分解法，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。 4.平衡条件的推论 （1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。 （3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n﹣1）个力的合力等大、反向。 5.解答共点力平衡问题的三种常用方法 6.平衡中的临界、极值问题 a.临界问题 （1）问题特点： ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 b.极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 7.“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型 （1）“活结”与“死结”模型 ①“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。 ②“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。 （2）“活杆”与“死杆”模型 ①“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 ②“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。 【典例1】请阅读下述文字，完成下列小题。 “蜘蛛人”主要靠一根绳索把自己悬挂在几十层高的大厦外，清洗大厦的玻璃和外墙，成为扮靓城市的一道独特风景，如图所示。已知“蜘蛛人”的质量为m，当地的重力加速度为g。设绳索对其拉力大小为F1，竖直墙壁对其支持力大小为F2，不计他与墙壁间的摩擦力和绳索的重力。 当“蜘蛛人”静止于某位置时，可简化为如图中所示的模型，此时绳索与竖直墙壁的夹角为θ。下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：AB、人受重力、绳的拉力F1和墙壁的支持力F2而平衡，如图： 根据共点力平衡条件，有： F2＝mgtanθ F1＝ 故ACD错误，B正确； 故选：B。 题型11 探究两个互成角度的力的合成规律 解｜题｜知｜识 一、实验目的 1．验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则． 2．培养学生应用作图法处理实验数据和得出结论的能力． 二、实验原理 （1）等效法：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的作用效果都是让同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点，所以一个力F′就是这两个力F1和F2的合力，作出力F′的图示，如图所示． （2）平行四边形法：根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示． （3）验证：比较F和F′的大小和方向是否相同，若在误差允许的范围内相同，则验证了力的平行四边形定则． 三、实验器材 方木板一块、白纸、弹簧测力计（两只）、橡皮条、细绳套（两个）、三角板、刻度尺、图钉（几个）、细芯铅笔． 四、实验过程 1．在水平桌面上平放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸固定在方木板上． 2．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系上细绳套． 3．用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，将结点拉到某一位置O，如图所示． 4．用铅笔描下O点的位置和两条细绳的方向，读出并记录两个弹簧测力计的示数． 5．用铅笔和刻度尺在白纸上从O点沿两条细绳的方向画直线，按一定的标度作出两个力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺和三角板作平行四边形，过O点的平行四边形的对角线即为合力F． 6．只用一个弹簧测力计，通过细绳把橡皮条的结点拉到同样的位置O，读出并记录弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度用刻度尺从O点作出这个力F′的图示． 7．比较F′与用平行四边形定则求出的合力 F的大小和方向，看它们在实验误差允许的范围内是否相等． 8．改变F1和F2的大小和方向，再做两次实验． 五、注意事项 1．同一实验中的两只弹簧测力计的选取方法是：将两只弹簧测力计调零后互钩对拉，若两只弹簧测力计在对拉过程中，读数相同，则可选；若读数不同，应另换，直至相同为止． 2．在同一次实验中，使橡皮条拉长时，结点O的位置一定要相同． 3．用两只弹簧测力计钩住绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之间为宜． 4．读数时应注意使弹簧测力计与木板平行，并使细绳套与弹簧测力计的轴线在同一条直线上，避免弹簧测力计的外壳与弹簧测力计的限位卡之间有摩擦． 5．细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．不要直接沿细绳套的方向画直线，应在细绳套末端用铅笔画一个点，去掉细绳套后，再将所标点与O点连接，即可确定力的方向． 6．在同一次实验中，画力的图示所选定的标度要相同，并且要恰当选取标度，使所作力的图示稍大一些． 六、误差分析 1．误差来源：除弹簧测力计本身的误差外，还有读数误差、作图误差等． 2．减小误差的办法： （1）实验过程中读数时眼睛一定要正视弹簧测力计的刻度，要按有效数字和弹簧测力计的精度正确读数和记录． （2）作图时用刻度尺借助于三角板，使表示两力的对边一定要平行． 【典例1】某同学用如图所示的实验装置验证“力的平行四边形定则”。将弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M，弹簧测力计B的挂钩处系一细线，把细线的另一端系在弹簧测力计A下端细线上的O点处，手持弹簧测力计B水平向左拉，使O点缓慢地向左移动，且总保持弹簧测力计B的拉力方向不变，不计弹簧测力计所受的重力，两弹簧测力计的拉力均不超出它们的量程，则弹簧测力计A、B的示数FA、FB的变化情况是（　　） A．FA一直减小，FB一直增大 B．FA一直增大，FB一直增大 C．FA一直增大，FB先增大后减小 D．FA先减小后增大，FB一直增大 【答案】B 【解答】解：以O点为研究对象，其受力变化如同所示： 由图可知，开始时弹簧A处于竖直状态，其拉力大小等于Mg，B弹簧拉力为零，当O点左移时，弹簧A与竖直方向的夹角在增大，由受力图可知FA变大，FB变大，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式1】在验证力的平行四边形定则的实验中，某实验小组找到了两盒质量为50g的钩码、一个测力计、一张白纸、一个方木板、三个小定滑轮和三根轻质尼龙线。实验时在方木板上固定好白纸，方木板边缘上互成角度地固定三个小定滑轮，如图甲所示。将三根尼龙线的一端系在一起，另一端分别绕过三个小定滑轮，并在两根尼龙线下端挂上若干钩码，另一根尼龙线下端挂上测力计进行实验。 （1）关于该实验，下列说法正确的是 　C　 。（填正确答案选项）。 A．只需要记录钩码的个数N1、N2和测力计的示数F B．OA和OB间的夹角必须成钝角 C．应调节定滑轮高度使细线与木板均平行 D．方木板一定要水平放置 （2）某次实验中测力计的示数如图乙所示，此时对应的拉力为 　4.00　 N。然后取单位长度的线段表示一定大小的力，以所挂钩码对应的力为邻边作平行四边形，若在实验误差允许的范围内，平行四边形对角线的长度与测力计的示数对应的长度大致相等，且平行四边形的对角线与 　OC　 （填OA、OB或OC）大致在一条直线上，则力的平行四边形定则可得到验证。 【答案】（1）C；（2）4.00，OC。 【解答】解：（1）A．还需要记录绳子的方向，即记录三个力的方向，故A错误； B．OA和OB间的夹角可以是钝角，也可以是锐角或直角，为了让实验结果具有普遍性，角度最好多选取，多验证，故B错误； C．如果细线与木板不平行，三个力不在同一平面内，误差增大，故C正确； D．满足细线与木板均平行，木板有一定倾角也是可以的，因为三个力始终在同一平面内，故D错误。 故选：C。 （2）弹簧测力计的最小精度为0.1N，指针正好指在“4”刻度处，读数要估读到最小精度的下一位，所以读数为4.00N。 细线OA、OB上的拉力合成的合力应该与细线OC上的拉力等大、反向，所以填OC。 故答案为：（1）C；（2）4.00，OC。 过 关 验 收 1．如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成襄片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L（弹性限度内），则发射过程中襄片对弹丸的最大作用力为（　　） A． B． C．kL D．2kL 【答案】B 【解答】解：根据胡克定律知，每根橡皮条的最大弹力 F＝k（1.5L﹣L）＝0.5kL 设此时两根橡皮条与合力的夹角分别为θ，根据几何关系知 根据平行四边形定则知，弹丸被发射过程中所受的最大作用力 故ACD错误，B正确。 故选：B。 2．如图所示，五个共点力的合力为0，现在保持其他力不变，进行如下操作，其中正确的是（　　） A．如果撤去F1，物体所受合力大小为2F1，方向和F1方向相反 B．如果将F2减半，合力大小为 C．如果将F3逆时针旋转90°，合力大小将变为2F3 D．如果将F5逆时针旋转180°，合力大小将变为3F5 【答案】B 【解答】解：A、物体在五个共点力作用下保持平衡，F1与其余四个力的合力大小相等，方向相反。如果撤去F1，物体所受的合力大小为F1，方向和F1方向相反，故A错误。 B、物体在五个共点力作用下保持平衡，F2与其余四个力的合力大小相等，方向相反。如果将F2减半，物体不再平衡，合力大小为：F＝F2﹣F2＝F2，故B正确； C、物体在五个共点力作用下保持平衡，F3与其余四个力的合力大小相等，方向相反。如果将F3逆时针旋转90°，根据平行四边形定则，合力为：F＝F3，故C错误； D、物体在五个共点力作用下保持平衡，F5与其余四个力的合力大小相等，方向相反。如果将F5逆时针旋转180°，合力大小将变为：F＝F5+F5＝2F5，故D错误； 故选：B。 3．如图所示，竖直墙面上有一只壁虎沿水平直线加速运动，此过程中壁虎受到摩擦力的方向是（　　） A．斜向右上方 B．斜向左上方 C．水平向左 D．竖直向上 【答案】B 【解答】解：由于壁虎向左做匀加速直线运动，即壁虎所受合力水平向左，在竖直平面内壁虎受重力、摩擦力，由平行四边形定则可知，摩擦力方向斜向左上方，故ACD错误，B正确。 故选：B。 （多选）4．下面关于力的描述，错误的是（　　） A．运动的物体不可能受到静摩擦力的作用 B．合力不可能跟分力大小相等 C．弹力的施力物体是发生形变的物体 D．只有相互接触的物体之间，才能有力的作用 【答案】ABD 【解答】解：A．运动的物体可能受到静摩擦力的作用，比如物体随倾斜传送带一起向上匀速运动，物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用，故A错误； B．合力可能与分力大小相等，也可能大于分力大小，或者小于分力大小，故B错误； C．弹力的施力物体是发生形变的物体，故C正确； D．没有相互接触的物体之间，也可以存在力的作用，比如磁铁之间的作用力，故D错误。 本题选错误的， 故选：ABD。 （多选）5．如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板做匀速直线运动，物体与顶板间动摩擦因数为μ，则物体受到摩擦力大小为（　　） A．Fcosθ B．Fsinθ C．μ（Fsinθ﹣mg） D．μ（mg﹣Fsinθ） 【答案】AC 【解答】解：对物体受力分析，将推力F正交分解，如图 根据共点力平衡条件 水平方向 Fcosθ﹣f＝0 则物体受到摩擦力大小f＝Fcosθ．故选A。 竖直方向 Fsinθ﹣N﹣mg＝0 摩擦力大小 f＝μN＝μ（Fsinθ﹣mg），故选C。 故选：AC。 （多选）6．根据高中物理所学的知识判断，下列说法中正确的是（　　） A．双手分别用10N的力拉住弹簧秤两端并保持静止，则弹簧秤示数为10N B．大小分别为5N、7N和9N的三个力合成，其合力F大小的范围为3N≤F≤21N C．同一个物体从长春移到广州，其所受重力将不变 D．若分力F1、F2中的一个增大，合力F不一定增大 【答案】AD 【解答】解：A．双手分别用10N的力拉住弹簧秤两端并保持静止，则弹簧秤示数为一端所受拉力的大小为10N，故A正确； B．根据矢量三角形法则，5N、7N和9N的三个力构成的力最小值为0，故B错误； C．长春比广州离赤道远，从长春移到广州重力加速度将减小，所以重力将减小，故C错误； D．若两分力方向相同，则分力中的一个增大，合力增大，若两个分力反向，则分力中的一个增大，合力可能增大也可能减小，故D正确。 故选：AD。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 第4节 力的合成和分解 内 容 导 航 题型1 合力与分力的定义及关系 题型2 力的平行四边形定则 题型3 合力的取值范围 题型4 成特殊角度的两个力的合力的计算 题型5 三角形法则及多边形法则 题型6 正交分解法 题型7 按力的效果进行分解 题型8 力的分解过程中多解和极值的问题 题型9 力的合成与分解的应用 题型10 共点力的平衡问题及求解 题型11 探究两个互成角度的力的合成规律 考 点 演 练 题型1 合力与分力的定义及关系 解｜题｜知｜识 1．合力与分力 （1）定义：一个力（F）作用的效果跟几个力（F1、F2…）共同作用的效果相同，这个力（F）叫做那几个力的合力．那几个力叫做这个力的分力． （2）关系：等效替代关系（注意不是物体又多受了一个合力）． 【典例1】若两个共点力F1、F2的合力为F，则以下说法中正确的是（　　） A．合力F一定大于任何一个分力 B．合力F的大小可能等于F1，也可能等于F2 C．合力F的大小随F1、F2间夹角的增大而增大 D．当某个分力增大时，合力也一定增大 【变式1】已知两个力的合力为10N，其中一个力为F1＝6N，则另一个分力F2的范围是（　　） A．6N≤F2≤10N B．0N≤F2≤10N C．4N≤F2≤10N D．4N≤F2≤16N 【变式2】下面关于合力和分力关系的叙述中，正确的是（　　） A．两个力的合力一定大于其中任意一个分力 B．3N、6N、7N三个共点力的合力的最小值为2N C．两个分力的大小不变，夹角在0～180°之间变化，夹角越大，其合力越小 D．两个分力F1和F2的夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就一定增大 题型2 力的平行四边形定则 解｜题｜知｜识 1.力的合成 （1）定义：求几个力的合力的过程叫做力的合成． （2）力的合成的依据 作用效果相同（等效） （3）求合力的方法（实验探索） 思想：等效代换 结论：平行四边形定则 以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个力邻边的对角线就代表合力的大小和方向． 2．平行四边形定则 （1）定义：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则． （2）方法： ①作图法： 根据相同的标度，以共点的两个力为邻边作平行四边形，这两力所夹的对角线表示合力的大小和方向，如图所示． 注意：作图时合力与分力的比例应相同．虚、实线应分清．作图法简便、直观、实用，但不够精确． ②解析法： F＝，tanα＝； 当θ＝0°时，同向的两力的合力大小F＝F1+F2； θ＝90°时，互相垂直的两力的合力大小F＝； θ＝180°时，反向的两力的合力大小F＝|F1﹣F2|． 由此可知两共点力的合力F的范围为：|F1﹣F2|≤F≤F1+F2，合力随夹角θ的增大而减小． 合力可以大于、等于或小于分力，甚至为零． 若F1＝F2且θ＝120°时，有合力F＝F1＝F2． （3）多力合成如果需要求三个或三个以上共点力的合力，可先求其中任意两个力的合力F12，再求F12与第三个力的合力F合，依此类推． 【典例1】射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为（cos53°＝0.6）（　　） A．53° B．127° C．143° D．106° 【变式1】明代宋应星在《天工开物》一书中描述了测量弓力的方法：“以足踏弦就地，秤钩搭挂弓腰，弦满之时，推移秤锤所压，则知多少。”如图所示，假设弓满时，弓弦弯曲的夹角为θ，秤钩与弦之间的摩擦不计，弓弦的拉力即弓力，满弓时秤钩的拉力大小为F，则下列说法正确的是（　　） A．F一定，θ越小，弓力越大 B．θ一定，弓力越大，F越小 C．弓力一定，θ越大，F越大 D．θ一定，F越大，弓力越大 【变式2】下列关于力的合成与分解的说法中正确的有（　　） A．若两分力的大小不变，两分力之间的夹角越大，合力F就越大 B．合力F总比两分力F1和F2中的任何一个力都大 C．已知合力和两个分力的方向，分解结果是唯一的 D．两个分力的夹角一定，只让其中的某个分力增大，则合力一定增大 【变式3】漫画中的大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为F，绳与水平方向的夹角为θ．若将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为（　　） A．Fsinθ B．Fcosθ C． D． 题型3 合力的取值范围 解｜题｜知｜识 合力大小的计算公式为：F＝ 其中F1和F2表示两个分力的大小，F表示合力的大小，θ表示两个分力之间的夹角。θ的取值范围是0～180°。由此可知F的取值范围是： ①当θ＝0°时，两个分力方向相同，合力大小F＝F1+F2； ②θ＝180°时，两个分力方向相反，合力大小F＝|F1﹣F2|。 ③所以合力大小的取值范围为|F1﹣F2|≤F≤F1+F2 【典例1】物体同时受到同一光滑平面内三个力作用，物体在下列哪组力的作用下，可能做匀速直线运动（　　） A．7N，5N，3N B．5N，3N，9N C．2N，8N，15N D．12N，10N，1N 【变式1】如图所示，一物块放在水平桌面上，在水平方向受到F1＝10N，F2＝2N两个力作用，木块处于静止状态，若撤去力F1，则木块在水平方向受到的合力为（　　） A．10N，方向向左 B．6N，方向向右 C．2N，方向向左 D．零 【变式2】关于力的合成与分解，下列说法正确的是（　　） A．两个力的合力可能小于任意一个分力 B．运动的物体不可能受到静摩擦力，静止的物体不可能受到滑动摩擦力 C．同一平面内有三个力，大小分别为3N、4N、5N，则这三个力的合力F的大小满足2N≤F≤12N D．在同一平面内将某个力F分解为大小确定且不共线的两个力，最多只有一种分解方法 【变式3】如图所示，一物体受到恒力F1作用，同时受到从0开始增大的F2作用，两力之间的夹角θ不变，则随着F2从0开始增大，物体受到的合力（　　） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．始终大于F1 D．始终小于F1 题型4 成特殊角度的两个力的合力的计算 解｜题｜知｜识 1.合力大小的计算公式为F＝，结合数学知识，当θ取一些特殊值时，可以很方便的求出一些力的合力。 2.如果F1＝F2 ①θ＝0°，F＝2F1； ②θ＝60°，F＝F1； ③θ＝90°，F＝F1； ④θ＝120°，F＝F1； ⑤θ＝180°，F＝0。 3.由此还可以知道，当两个力的大小确定时，夹角越大，合力越小。 【典例1】两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为120°时，合力大小为F；当它们的夹角为90°时，合力大小为（　　） A． B． C． D．F 【变式1】如图所示在同一平面内的四个共点力F1＝20N、F2＝30N、F3＝22N、F4＝40N，方向如图所示，求它们的合力大小和方向。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要求写出求解过程﹣即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明） 题型5 三角形法则及多边形法则 解｜题｜知｜识 1.定义：两共点力F1、F2的合力F与它们的夹角θ之间的关系可用如图所示的三角形和圆表示．合力F以O为起点，以用力F2的大小为半径的圆周上的点为终点，可知|F1﹣F2|≤F≤F1+F2； （2）关于三角形定则有以下几点说明： ①三角形定则只是一种运算方法，各有向线段的起点并不是该力的作用点．但各有向线段的方向一定与对应力的方向相同，长度也和对应力的大小成比例． ②与平行四边形定则一样，任何矢量的“和”及“差”运算都遵循三角形定则，因此也称之为矢量的三角形定则． ③可将三角形定则推广为矢量的多边形定则： 求三个力F1、F2、F3的合力，先利用三角形定则求F1、F2的合力F12，再据三角形定则将F12与F3合成得合力F，如图所示．可发现三个分力F1、F2、F3依次首尾相接，其合力F为从总的起点指向总的末端点的有向线段．依此类推，N个力的合力，就是将这N个力首尾相接，则从总的起点指向总的末端点的有向线段表示这N个力的合力．如图所示． ④一个重要结论：若一个物体在几个（三个以上）共点力的作用，且这几个力首尾相连可构成一个封闭的多边形，则这几个力的合力为零． 如图所示，F1、F2、F3三个力依次首尾相连构成一个封闭的三角形，所以这三个共点力合力为零． 虽然三角形定则是由平行四边形定则延伸出来的，但它在运用的过程中非常简洁、方便，同时也具有很强的灵活性． 【典例1】如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形（顶角为直角），下列四个图中，这三个力的合力最小的是（　　） A． B． C． D． 题型6 正交分解法 解｜题｜知｜识 1．力的分解 （1）力的分解定义：已知一个力求它的分力的过程叫力的分解． （2）力的分解法则：满足平行四边形定则． 2．正交分解法 将一个力（矢量）分解成互相垂直的两个分力（分矢量），即在直角坐标系中将一个力（矢量）沿着两轴方向分解，如果图中F分解成Fx和Fy，它们之间的关系为： Fx＝F•cosφ，① Fy＝F•sinφ，② F＝，③ tanφ＝，④ 正交分解法是研究矢量常见而有用的方法，应用时要明确两点， ①x轴、y轴的方位可以任意选择，不会影响研究的结果，但若方位选择的合理，则解题较为方便： ②正交分解后，Fx在y轴上无作用效果，Fy在x轴上无作用效果，因此Fx和Fy不能再分解． 【典例1】如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是（　　） A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力 B．物体受到mg，FN，F1，F2四个力作用 C．力FN，F1，F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同 D．FN和F2是作用力和反作用力 【变式1】如图所示，拖拉机拉着耙耕地，拉力F与水平方向成α角，若将该力沿水平和竖直方向分解，则它的竖直方向的分力为（　　） A．Fsinα B．Fcosα C．Ftanα D．Fcotα 题型7 按力的效果进行分解 解｜题｜知｜识 1.有些情况下正交分解法并不能使问题简化，需要按力的实际作用效果进行分解。分解的步骤如下： ①分析力的作用效果 ②据力的作用效果确定分力的方向；（画两个分力的方向） ③用平行四边形定则确定分力的大小； ④据数学知识求分力的大小和方向。 2.如下图：重力可以按照效果分解为挤压挡板的力和挤压斜面的力。 【典例1】如图甲所示是用刀具切硬物的情景，将刀刃放在硬物上，右手握住刀柄控制右侧刀面始终保持竖直，左手用力按压刀背使刀刃缓慢竖直切入硬物，刀刃切入硬物的横截面如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．刀具左侧对硬物的压力小于右侧对硬物的压力 B．刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬物的压力 C．刀具对硬物的作用力小于硬物对刀具的作用力 D．刀具对硬物的作用力大于硬物对刀具的作用力 【变式1】榫卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为榫眼的凿削操作，图乙为截面图，凿子尖端夹角为θ，在凿子顶部施加竖直向下的力F时，其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2。不计凿子的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．F1＝F2 B．夹角θ越小，F1越小 C．F2＝Fsinθ D．夹角θ越小，凿子越容易凿入木头 【变式2】（多选）筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的光滑小球，两根筷子与小球球心均在竖直平面内，两根筷子和竖直方向的夹角均为θ，下列说法正确的是（　　） A．两根筷子对小球的弹力均为 B．两根筷子对小球的弹力均为 C．若要以同样大小的弹力夹起一更重的光滑小球，则应增大夹角θ D．若要以同样大小的弹力夹起一更重的光滑小球，则应减小夹角θ 题型8 力的分解过程中多解和极值的问题 解｜题｜知｜识 1.两个已知的力求合力，根据平行四边形定则可知，合力是唯一确定的。而给出合力，求分力的时候，可以分解出无数个平行四边形，所以有无数组解。而如果在分解时加以限制，分力的情况也会有所不同。 2.已知两分力求合力有唯一解，而求一个力的两个分力，如不限制条件有无数组解，如图（a）所示，力F可在不同方向上进行分解． 要得到唯一确定的解应附加一些条件： ①已知合力和两个分力的方向，可求得两个分力的大小． 图（b）所示把已知合力F分解成沿OA、OB方向的两个分力，可从F的矢端作OA、OB的平行线，画出力的平行四边形得两分力F1、F2． ②已知合力和一个分力的大小、方向，可求得另一个分力的大小和方向． 如图（c）已知合力F、分力F1，则连接合力F和分力F1的矢端，即可作出力的平行四边形得另一分力F2． ③已知合力、一个分力F1的方向与另一分力F2的大小，求F1的大小和F2的方向（无解、有一组解或两组解）． 如上图所示，已知力F、α（F1与F的夹角）和F2的大小，这时有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析，从力F的端点O作出分力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆． a．当F2＜Fsinα时，圆与F1无交点，说明此时无解，如图（a）所示． b．当F2＝Fsinα时，圆与F1相切，此时有一解，如图（b）所示． c．当F≥F2＞Fsinα时，圆与F1有两个交点，此时有两解，如图（c）所示． d．当F2＞F时，圆与F1作用线只有一个交点，此时只有一解，如图（d）所示． 【典例1】（多选）在把一个力F分解为两个分力F1和F2中，已知合力F＝40N，分力F1的方向与合力F的方向夹角为300，若F2取某一数值，可使F1有两个大小不同的数值，则F2的取值不可以的是（　　） A．15N B．20N C．25N D．30N 【变式1】（多选）已知一个力F＝50N，把它分解为两个力，已知其中一个分力F1与F的夹角为30°，若要F1有两个取值，则分力F2的值可能为（　　） A．30N B．25N C． D．25N 题型9 力的合成与分解的应用 解｜题｜知｜识 本考点针对比较复杂的题目，题目涉及到力的合成与分解的综合应用。 【典例1】两个分力分别为F1＝40N和F2＝24N，则合力与F1夹角的最大值是（　　） A．60° B．53° C．37° D．30° 【变式1】明朝谢肇的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身，假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，则木楔两侧产生推力N的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2】请阅读下述文字，完成下列小题。 “蜘蛛人”主要靠一根绳索把自己悬挂在几十层高的大厦外，清洗大厦的玻璃和外墙，成为扮靓城市的一道独特风景，如图所示。已知“蜘蛛人”的质量为m，当地的重力加速度为g。设绳索对其拉力大小为F1，竖直墙壁对其支持力大小为F2，不计他与墙壁间的摩擦力和绳索的重力。 “蜘蛛人”使用可吸附在竖直玻璃上的擦窗工具擦拭玻璃，如图所示。擦窗工具的质量为m0，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，则擦窗工具所受摩擦力（　　） A．方向竖直向上 B．方向水平向左 C．大小等于m0g D．大小等于 【变式3】如图所示，重力可忽略不计的直角三角形尖劈在力F的作用下镶嵌在墙面内（不计墙壁与尖劈的摩擦）。AC为直角三角形斜边，AC与AB之间的夹角为30°，则AC边受到墙面的垂直斜面方向压力F1，AB边受到的竖直方向压力F2大小分别为（　　） A．F1＝F B． C． D． 题型10 共点力的平衡问题及求解 解｜题｜知｜识 1.共点力 （1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。 （2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。 2.共点力平衡的条件 （1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。 （2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 3.对共点力平衡条件的理解及应用 合外力等于0，即F合＝0→正交分解法，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。 4.平衡条件的推论 （1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。 （3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n﹣1）个力的合力等大、反向。 5.解答共点力平衡问题的三种常用方法 6.平衡中的临界、极值问题 a.临界问题 （1）问题特点： ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 b.极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 7.“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型 （1）“活结”与“死结”模型 ①“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。 ②“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。 （2）“活杆”与“死杆”模型 ①“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 ②“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。 【典例1】请阅读下述文字，完成下列小题。 “蜘蛛人”主要靠一根绳索把自己悬挂在几十层高的大厦外，清洗大厦的玻璃和外墙，成为扮靓城市的一道独特风景，如图所示。已知“蜘蛛人”的质量为m，当地的重力加速度为g。设绳索对其拉力大小为F1，竖直墙壁对其支持力大小为F2，不计他与墙壁间的摩擦力和绳索的重力。 当“蜘蛛人”静止于某位置时，可简化为如图中所示的模型，此时绳索与竖直墙壁的夹角为θ。下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 题型11 探究两个互成角度的力的合成规律 解｜题｜知｜识 一、实验目的 1．验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则． 2．培养学生应用作图法处理实验数据和得出结论的能力． 二、实验原理 （1）等效法：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的作用效果都是让同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点，所以一个力F′就是这两个力F1和F2的合力，作出力F′的图示，如图所示． （2）平行四边形法：根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示． （3）验证：比较F和F′的大小和方向是否相同，若在误差允许的范围内相同，则验证了力的平行四边形定则． 三、实验器材 方木板一块、白纸、弹簧测力计（两只）、橡皮条、细绳套（两个）、三角板、刻度尺、图钉（几个）、细芯铅笔． 四、实验过程 1．在水平桌面上平放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸固定在方木板上． 2．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系上细绳套． 3．用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，将结点拉到某一位置O，如图所示． 4．用铅笔描下O点的位置和两条细绳的方向，读出并记录两个弹簧测力计的示数． 5．用铅笔和刻度尺在白纸上从O点沿两条细绳的方向画直线，按一定的标度作出两个力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺和三角板作平行四边形，过O点的平行四边形的对角线即为合力F． 6．只用一个弹簧测力计，通过细绳把橡皮条的结点拉到同样的位置O，读出并记录弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度用刻度尺从O点作出这个力F′的图示． 7．比较F′与用平行四边形定则求出的合力 F的大小和方向，看它们在实验误差允许的范围内是否相等． 8．改变F1和F2的大小和方向，再做两次实验． 五、注意事项 1．同一实验中的两只弹簧测力计的选取方法是：将两只弹簧测力计调零后互钩对拉，若两只弹簧测力计在对拉过程中，读数相同，则可选；若读数不同，应另换，直至相同为止． 2．在同一次实验中，使橡皮条拉长时，结点O的位置一定要相同． 3．用两只弹簧测力计钩住绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之间为宜． 4．读数时应注意使弹簧测力计与木板平行，并使细绳套与弹簧测力计的轴线在同一条直线上，避免弹簧测力计的外壳与弹簧测力计的限位卡之间有摩擦． 5．细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．不要直接沿细绳套的方向画直线，应在细绳套末端用铅笔画一个点，去掉细绳套后，再将所标点与O点连接，即可确定力的方向． 6．在同一次实验中，画力的图示所选定的标度要相同，并且要恰当选取标度，使所作力的图示稍大一些． 六、误差分析 1．误差来源：除弹簧测力计本身的误差外，还有读数误差、作图误差等． 2．减小误差的办法： （1）实验过程中读数时眼睛一定要正视弹簧测力计的刻度，要按有效数字和弹簧测力计的精度正确读数和记录． （2）作图时用刻度尺借助于三角板，使表示两力的对边一定要平行． 【典例1】某同学用如图所示的实验装置验证“力的平行四边形定则”。将弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M，弹簧测力计B的挂钩处系一细线，把细线的另一端系在弹簧测力计A下端细线上的O点处，手持弹簧测力计B水平向左拉，使O点缓慢地向左移动，且总保持弹簧测力计B的拉力方向不变，不计弹簧测力计所受的重力，两弹簧测力计的拉力均不超出它们的量程，则弹簧测力计A、B的示数FA、FB的变化情况是（　　） A．FA一直减小，FB一直增大 B．FA一直增大，FB一直增大 C．FA一直增大，FB先增大后减小 D．FA先减小后增大，FB一直增大 【变式1】在验证力的平行四边形定则的实验中，某实验小组找到了两盒质量为50g的钩码、一个测力计、一张白纸、一个方木板、三个小定滑轮和三根轻质尼龙线。实验时在方木板上固定好白纸，方木板边缘上互成角度地固定三个小定滑轮，如图甲所示。将三根尼龙线的一端系在一起，另一端分别绕过三个小定滑轮，并在两根尼龙线下端挂上若干钩码，另一根尼龙线下端挂上测力计进行实验。 （1）关于该实验，下列说法正确的是 　 　 。（填正确答案选项）。 A．只需要记录钩码的个数N1、N2和测力计的示数F B．OA和OB间的夹角必须成钝角 C．应调节定滑轮高度使细线与木板均平行 D．方木板一定要水平放置 （2）某次实验中测力计的示数如图乙所示，此时对应的拉力为 　 　 N。然后取单位长度的线段表示一定大小的力，以所挂钩码对应的力为邻边作平行四边形，若在实验误差允许的范围内，平行四边形对角线的长度与测力计的示数对应的长度大致相等，且平行四边形的对角线与 　 　 （填OA、OB或OC）大致在一条直线上，则力的平行四边形定则可得到验证。 过 关 验 收 1．如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成襄片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L（弹性限度内），则发射过程中襄片对弹丸的最大作用力为（　　） A． B． C．kL D．2kL 2．如图所示，五个共点力的合力为0，现在保持其他力不变，进行如下操作，其中正确的是（　　） A．如果撤去F1，物体所受合力大小为2F1，方向和F1方向相反 B．如果将F2减半，合力大小为 C．如果将F3逆时针旋转90°，合力大小将变为2F3 D．如果将F5逆时针旋转180°，合力大小将变为3F5 3．如图所示，竖直墙面上有一只壁虎沿水平直线加速运动，此过程中壁虎受到摩擦力的方向是（　　） A．斜向右上方 B．斜向左上方 C．水平向左 D．竖直向上 （多选）4．下面关于力的描述，错误的是（　　） A．运动的物体不可能受到静摩擦力的作用 B．合力不可能跟分力大小相等 C．弹力的施力物体是发生形变的物体 D．只有相互接触的物体之间，才能有力的作用 （多选）5．如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板做匀速直线运动，物体与顶板间动摩擦因数为μ，则物体受到摩擦力大小为（　　） A．Fcosθ B．Fsinθ C．μ（Fsinθ﹣mg） D．μ（mg﹣Fsinθ） （多选）6．根据高中物理所学的知识判断，下列说法中正确的是（　　） A．双手分别用10N的力拉住弹簧秤两端并保持静止，则弹簧秤示数为10N B．大小分别为5N、7N和9N的三个力合成，其合力F大小的范围为3N≤F≤21N C．同一个物体从长春移到广州，其所受重力将不变 D．若分力F1、F2中的一个增大，合力F不一定增大 学科网（北京）股份有限公司 $