奥数培优专题04 小数除法的算理与循环小数（讲义）2026-2027学年五年级上册数学人教版

本讲义聚焦小数除法算理与循环小数核心知识点，系统梳理除数是整数的算理、除数是小数的商不变转化、循环小数读写、有限与无限小数区分及商的变化规律，构建“算理转化—分类认知—规律应用”学习支架，为后续混合运算与方程学习奠基。 资料以知识体系表格梳理、解题方法口诀记忆为特色，融入转化、极限等奥数思维，通过分层精练与易错指南，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

专题四 小数除法的算理与循环小数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：除数是整数的小数除法算理 3 考点二：除数是小数的除法（商不变的规律转化） 4 考点三：循环小数的认识与简便写法 5 考点四：有限小数与无限小数的区分 7 考点五：商的变化规律与除数大于 / 小于 1 的关系 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：商的小数点未与被除数对齐，位置错误 9 易错点 2：除数小数点移动，被除数不同步扩大 9 易错点 3：循环节判断错误，简便写法标注不规范 10 易错点 4：混淆有限与无限小数的判断标准 10 易错点 5：除数大小与商的关系搞反，忽略 “0 除外” 前提 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、基础夯实篇（8 题） 11 二、能力进阶篇（7 题） 11 三、思维跃迁篇（5 题） 12 第五部分 精准解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版五年级上册第三单元的计算核心培优内容，围绕小数除法的算理本质、循环小数认知与商的变化规律展开，涵盖除数是整数的除法算理、除数小数的商不变转化、循环小数读写、有限与无限小数分类、商的变化规律五大考点，建立 “算理转化 — 分类认知 — 规律应用 — 巧算拓展” 的完整计算体系，掌握转化归一、循环周期、规律推导等核心方法，深化对除法运算的本质理解，为后续小数四则混合运算与方程学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 除数是整数的小数除法算理 计数单位平均分的算理，商的小数点对齐规则，除到末尾补 0 续除 计数单位法、分步除商法 商的小数点未与被除数对齐；除到末尾有余数忘记补 0 续除 除数是小数的除法转化 商不变规律的应用，小数点同步移动，位数不足补 0 转化归一法、移位对齐法 只移动除数小数点，被除数不同步扩大；位数不足漏补 0 循环小数的认识与写法 循环小数定义，循环节识别，简便写法规范 循环标注法、周期识别法 循环节判断错误；简便写法多点、漏点圆点 有限小数与无限小数区分 小数按位数分类，循环小数与无限小数的从属关系 分类判别法、从属梳理法 误以为小数位数多就是无限小数；认为无限小数都是循环小数 商的变化规律与大小比较 除数与 1 的大小关系对商的影响，商不变规律，被除数除数同向 / 反向变化的商变化 规律判断法、分步递推法 与乘法规律混淆，变化方向搞反；忽略 “被除数 0 除外” 的前提 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 计数单位法 除数是整数的算理题 拆小数为计数单位→整数除法平均分→还原为小数结果 小数整算再还原，小数点对齐是关键 转化归一法 除数是小数的除法题 看除数小数位数→同步移小数点→转成整数除法计算 除数变整数，被除数同步移，商不变，好计算 循环标注法 循环小数读写题 找重复数字组→确定循环节→首尾打点简便写 循环节，首尾点，不用个个都打点 分类判别法 小数分类判断题 看小数部分位数是否有限→无限的再判断是否循环 有限数得清，无限数不完，循环有规律 规律判断法 商的大小比较题 看除数与 1 的关系→对应判断商与被除数大小→验证 除大商变小，除小商变大，除 1 不变化 三、奥数思维提升 1. 转化思想：小数除法整数化 核心要点：除数是小数的除法，可以利用商不变的规律，把除数和被除数同时扩大相同倍数，将除数转化为整数，变成已经学过的除数是整数的除法。把陌生新知转化为熟悉旧知，是小数除法算理的核心思想。 示例：计算 7.65÷0.85，把除数 0.85 乘 100 变成 85，被除数 7.65 也同时乘 100 变成 765，原式转化为 765÷85，完全变成整数除法，用已有知识就能解决。 2. 极限思想：循环小数的无限性与规律性 核心要点：循环小数的小数位数是无限的，永远写不完，但它的数字排列有固定周期，并非杂乱无章。无限的位数中蕴含着有限的循环规律，通过周期规律就能精准推算任意数位的数字，体现极限思想。 示例：循环小数 0.364364…，小数位无限延伸，但每 3 位一循环，不用写出所有数字，通过除法求余数就能知道第 100 位、第 1000 位的数字，用有限的规律把握无限的序列。 3. 分类思想：小数的系统层级划分 核心要点：以 “小数部分位数是否有限” 为统一标准，将小数分为有限小数、无限小数两大类；无限小数再按 “是否有循环节” 细分为循环小数和无限不循环小数。分类标准统一、层级清晰，结果不重不漏，是分类思想在数系中的典型应用。 示例：2.5 是有限小数；5.333… 是无限小数里的循环小数；3.1415926… 是无限不循环小数。所有小数都能归入对应类别，边界清晰、分类严谨。 4. 函数思想：除数与商的反向对应关系 核心要点：被除数固定不变时，除数的大小直接决定商的大小，除数越大商越小，除数越小商越大，二者反向对应变化。这种一个量变化、另一个量随之按固定规律反向变化的对应关系，是基础的反比例函数思想。 示例：被除数都是 10，除数从 1 变成 0.5，商从 10 变成 20；除数从 1 变成 2，商从 10 变成 5。除数变化方向和商的变化方向始终相反，一一对应。 5. 推理思想：商不变规律的递推应用 核心要点：根据商不变的基本规律，可以推理出除数是小数的计算方法，也能推导被除数、除数同时变化时商的最终变化。每一步推理都有规律依据，层层递进，培养严谨的逻辑推理能力。 示例：已知被除数和除数同时乘 10 商不变，可以推出同时乘 100、同时除以 10 商也不变；进一步可以推出，被除数乘 10、除数乘 100，商就会缩小到原来的十分之一，由基础规律递推出复杂变化的结果。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：除数是整数的小数除法算理 典型例题 1（基础型）—— 计数单位算理理解 题目：结合计数单位的知识，说明 22.4÷4 的计算道理。 思路点拨： ① 22.4 的计数单位是 0.1，22.4 里面包含 224 个 0.1； ② 把 224 个 0.1 平均分成 4 份，每份得到 56 个 0.1； ③ 56 个 0.1 对应数值就是 5.6，因此 22.4÷4=5.6。 【答案】 【知识点睛】除数是整数的小数除法，本质是计数单位的平均分，商的小数点必须与被除数的小数点对齐。 典型例题 2（提高型）—— 余数补 0 续除 题目：计算 28÷16，并说一说余数后补 0 的计算依据。 思路点拨： ① 按整数除法计算，28÷16 商 1 余 12，整数部分除完； ② 根据小数的性质，在余数后补 0 继续除，120 个 0.1 除以 16，商 7 个 0.1，余 8 个 0.1； ③ 再次补 0，80 个 0.01 除以 16 商 5 个 0.01，最终结果为 1.75。 【答案】 【知识点睛】除到被除数末尾仍有余数时，可在余数后添 0 继续除，依据是小数的基本性质。 典型例题 3（奥数型）—— 被除数看错的错中求解 题目：小明计算一道小数除法时，把被除数的小数点向右看错了一位，得到的商是 15，正确的商应该是多少？ 思路点拨： ① 被除数小数点右移一位，被除数扩大到原来的 10 倍，除数不变，商也同步扩大到原来的 10 倍； ② 错误的商 15 是正确商的 10 倍； ③ 求正确的商反向缩小：15÷10=1.5。 【答案】 【知识点睛】除数不变时，商与被除数变化同向；已知错商求正确商，反向还原即可。 考点二：除数是小数的除法（商不变的规律转化） 典型例题 1（基础型）—— 基本转化计算 题目：计算 7.65÷0.85，说一说计算的依据是什么。 思路点拨： ① 根据商不变的规律，除数和被除数同时乘 100，把除数转化为整数； ② 原式转化为 765÷85，按整数除法计算； ③ 计算得 9，依据是：被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商不变。 【答案】 【知识点睛】除数是小数的除法，核心是利用商不变规律转化为除数是整数的除法，小数点移动位数必须同步。 典型例题 2（提高型）—— 位数不足补 0 题目：计算 12.6÷0.28 思路点拨： ① 除数 0.28 是两位小数，要变成整数需乘 100，被除数 12.6 也要同时乘 100； ② 12.6 乘 100 是 1260，小数位数不足时在末尾补 0 占位，转化为 1260÷28； ③ 计算得 45。 【答案】 【知识点睛】被除数的小数位数比除数少时，移动小数点后要在被除数末尾补 0 补足位数。 典型例题 3（奥数型）—— 商不变凑整巧算 题目：用简便方法计算：3.2÷0.25 思路点拨： ① 0.25 乘 4 可以凑成 1，利用商不变规律，被除数和除数同时乘 4； ② 原式转化为：； ③ 计算得 12.8。 【答案】 【知识点睛】除数是 0.25、0.125 等特殊数时，利用商不变规律把除数凑成 1，计算更简便。 考点三：循环小数的认识与简便写法 典型例题 1（基础型）—— 循环小数识别与简写 题目：指出下列小数中的循环小数，写出循环节，并用简便写法表示：5.333…、7.14545…、3.1415926… 思路点拨： ① 循环小数定义：小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现； ② 5.333… 是循环小数，循环节是 3，简便写法：； ③ 7.14545… 是循环小数，循环节是 45，简便写法：；3.1415926… 无重复数字，不是循环小数。 【答案】循环小数：（循环节 3）、（循环节 45）；3.1415926… 不是循环小数 【知识点睛】简便写法只在循环节的首位和末位数字上面点圆点，中间数字不用打点。 典型例题 2（提高型）—— 计算结果用循环小数表示 题目：计算 28÷18，结果用循环小数表示。 思路点拨： ① 按整数除法计算：28÷18 商 1 余 10； ② 补 0 继续除，100÷18 商 5 余 10，余数重复出现 10，商就会重复出现 5； ③ 因此结果是循环小数，写作。 【答案】 【知识点睛】除法计算中，当余数重复出现时，商就会开始循环，此时可停止计算写出循环小数。 典型例题 3（奥数型）—— 循环数位周期推算 题目：循环小数的小数部分第 100 位上的数字是几？ 思路点拨： ① 先确定循环节：“364” 三个数字为一组循环，周期是 3； ② 计算 100 里包含几组循环：组……1 个，余数是 1； ③ 余数为 1，对应循环节的第一个数字，也就是 3。 【答案】 【知识点睛】循环数位问题，先找周期，再用除法求余数，余数对应循环节第几位，无余数对应最后一位。 考点四：有限小数与无限小数的区分 典型例题 1（基础型）—— 基础分类判断 题目：将下列小数分类：2.5、0.333…、3.1415、6.7272…、8.9 有限小数：；无限小数： 思路点拨： ① 分类标准：小数部分位数有限的是有限小数，位数无限的是无限小数； ② 2.5、3.1415、8.9 的小数部分位数可数，是有限小数； ③ 0.333…、6.7272… 的小数部分无限延伸，是无限小数，也属于循环小数。 【答案】有限小数：2.5、3.1415、8.9；无限小数：0.333…、6.7272… 【知识点睛】循环小数都属于无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 典型例题 2（提高型）—— 化有限小数的规律 题目：判断：分母是 25 的最简分数，一定能化成有限小数。（ ） 思路点拨： ① 最简分数化有限小数的规律：分母的质因数只有 2 和 5，就能化成有限小数； ② 25=5×5，质因数只有 5，符合条件； ③ 因此分母是 25 的最简分数一定能化成有限小数，说法正确。 【答案】 【知识点睛】判断分数能否化成有限小数，先约分成最简分数，再看分母的质因数是否只有 2 和 5。 典型例题 3（奥数型）—— 从属关系辨析 题目：判断：无限小数一定是循环小数。（ ） 思路点拨： ① 无限小数分为循环小数和无限不循环小数两类； ② 例如 3.1415926… 是无限小数，但没有循环节，不是循环小数； ③ 因此无限小数不一定是循环小数，说法错误。 【答案】 【知识点睛】循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数，二者是包含与被包含的关系。 考点五：商的变化规律与除数大于 / 小于 1 的关系 典型例题 1（基础型）—— 商与被除数的大小比较 题目：不计算，在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”： 4.5÷0.9 ○ 4.5；7.2÷1.2 ○ 7.2 思路点拨： ① 第一题：除数 0.9＜1，被除数（0 除外）除以小于 1 的数，商大于被除数； ② 第二题：除数 1.2＞1，被除数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于被除数； ③ 根据规律直接填写符号。 【答案】； 【知识点睛】被除数不为 0 时，除数＜1，商＞被除数；除数＞1，商＜被除数；除数 = 1，商 = 被除数。 典型例题 2（提高型）—— 双变量商的变化 题目：两个数相除，被除数扩大到原来的 10 倍，除数缩小到原来的，商会怎么变化？ 思路点拨： ① 第一步：除数不变，被除数扩大 10 倍，商同步扩大 10 倍； ② 第二步：被除数不变，除数缩小到，商反而扩大 10 倍； ③ 总变化：倍，商扩大到原来的 100 倍。 【答案】扩大到原来的 100 倍 【知识点睛】商与被除数变化同向，与除数变化反向；多个变化分步判断，再叠加总效果。 典型例题 3（奥数型）—— 除数看错的错中求解 题目：小马虎计算小数除法时，把除数的小数点向右看错了一位，得到的商是 3.6，正确的商应该是多少？ 思路点拨： ① 除数小数点右移一位，除数扩大到原来的 10 倍，被除数不变，商反而缩小到原来的； ② 错误的商 3.6 是正确商的； ③ 正确的商：。 【答案】 【知识点睛】被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小相同倍数；反向还原时要乘对应倍数。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：商的小数点未与被除数对齐，位置错误 错误示例：计算小数除以整数时，商的小数点随意点写，不与被除数的小数点上下对齐。 正确分析：小数除以整数，商的小数点必须和被除数的小数点对齐，这是计数单位一一对应的必然要求。 修正方法：整数部分除完立刻点小数点，对齐被除数小数点的位置，再继续除小数部分。 易错点 2：除数小数点移动，被除数不同步扩大 错误示例：计算除数是小数的除法，只把除数变成整数，被除数不变，导致商的大小改变。 正确分析：必须依据商不变规律，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同的位数。 修正方法：先看除数有几位小数，就把除数和被除数的小数点同时向右移几位，位数不够时在被除数末尾补 0。 易错点 3：循环节判断错误，简便写法标注不规范 错误示例：把 7.14545… 的循环节当成 145，或者在所有数字上都点圆点。 正确分析：循环节是小数部分依次不断重复出现的最短数字组，简便写法只在循环节的首位和末位上面各点一个圆点。 修正方法：先找出重复出现的最短数字组作为循环节，首尾打点，中间数字不用打点。 易错点 4：混淆有限与无限小数的判断标准 错误示例：认为小数部分数字多的就是无限小数，或者误以为循环小数是有限小数。 正确分析：有限和无限的区分标准是小数部分的位数是否有限，和数字多少无关；循环小数位数无限，属于无限小数。 修正方法：看小数末尾有没有省略号，或者能否数清小数位数，能数清的是有限，无限延伸的是无限。 易错点 5：除数大小与商的关系搞反，忽略 “0 除外” 前提 错误示例：认为除数大于 1，商就大于被除数，和乘法的大小规律混淆。 正确分析：除法规律和乘法相反，除数大于 1 商更小，除数小于 1 商更大；且所有规律都有被除数不为 0 的前提。 修正方法：记口诀 “除大商小，除小商大”，和乘法 “乘大积大” 对比区分，同时注意 0 的特殊情况。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 除数是整数的小数除法，商的小数点要和______的小数点对齐。 2. 计算除数是小数的除法，要利用______的规律，把除数转化为整数再计算。 3. 小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的________。 4. 小数按小数部分的位数可以分为________小数和______小数。 5. 判断：被除数（0 除外）除以 0.5，商一定大于被除数。（ ） 6. 循环小数 5.2727… 的循环节是________，用简便写法表示为________。 7. 判断：无限小数一定比有限小数大。（ ） 8. 被除数不变，除数扩大到原来的 10 倍，商________到原来的________。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 用竖式计算：25.5÷5；12.6÷0.28 10. 不计算，在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”： 3.6÷1.1○3.6　　0.72÷0.8○0.72　　5.4÷1○5.4 11. 将下列小数填入对应类别：3.8、0.1616…、4.2525、6.777…、9.12345 有限小数：________；循环小数：________；无限小数：________ 12. 用简便方法计算：4.8÷0.125 13. 判断：循环小数的小数部分位数是无限的。（ ） 14. 计算 10÷3.3，结果用循环小数表示。 15. 被除数扩大到原来的 100 倍，除数扩大到原来的 10 倍，商怎么变化？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 循环小数的小数部分第 50 位上的数字是几？前 50 位数字的和是多少？ 17. 小明计算一道小数除法时，把被除数的小数点向左看错了一位，得到的商是 0.8，正确的商应该是多少？ 18. 不计算，把下面的算式按得数从大到小排列： 、、、 19. 一道除法算式的商是 2.4，如果被除数乘 10，除数除以 10，此时的商是多少？ 20. 先找规律，再填数： 　　　　 ________　　________ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】被除数 思路点拨： ① 除数是整数的小数除法，商的小数点必须与被除数的小数点对齐。 【知识点睛】小数除法的基本书写规则，对应计数单位的一致性。 2. 【答案】商不变 思路点拨： ① 除数是小数的除法，核心依据就是商不变的规律，同步扩大转化为整数除法。 【知识点睛】除数是小数的除法的算理依据。 3. 【答案】循环节 思路点拨： ① 依次不断重复出现的数字，叫做循环节，是循环小数的核心组成部分。 【知识点睛】循环节的基本定义。 4. 【答案】有限；无限 思路点拨： ① 按照小数部分的位数是否有限，小数分为有限小数和无限小数两大类。 【知识点睛】小数的基础分类标准。 5. 【答案】 思路点拨： ① 0.5＜1，被除数不为 0 时，除以小于 1 的数，商大于被除数。 【知识点睛】商与被除数的大小比较规律。 6. 【答案】27； 思路点拨： ① 重复出现的数字组是 27，即循环节为 27； ② 简便写法在循环节首位 2 和末位 7 上分别打点。 【知识点睛】循环节的识别与简便写法规范。 7. 【答案】 思路点拨： ① 小数的大小和位数多少无关，例如 0.333…＜2.5，无限小数不一定更大。 【知识点睛】有限与无限小数的大小辨析。 8. 【答案】缩小；（或十分之一） 思路点拨： ① 被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小到原来的几分之一。 【知识点睛】商的变化基本规律。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】5.1；45 思路点拨： ① 25.5÷5：整数部分商 5，点小数点后十分位商 1，结果 5.1； ② 12.6÷0.28：同步扩大 100 倍转化为 1260÷28，计算得 45。 【知识点睛】两类小数除法的基础计算。 10. 【答案】＜；＞；＝ 思路点拨： ① 除数 1.1＞1，商小于被除数； ② 除数 0.8＜1，商大于被除数； ③ 除数等于 1，商等于被除数。 【知识点睛】商与被除数大小比较的规律应用。 11. 【答案】有限小数：3.8、4.2525、9.12345；循环小数：0.1616…、6.777…；无限小数：0.1616…、6.777… 思路点拨： ① 小数部分位数可数的是有限小数； ② 有循环节的无限小数是循环小数，所有循环小数都属于无限小数。 【知识点睛】小数的分类与从属关系。 12. 【答案】38.4 思路点拨： ① 利用商不变规律，被除数和除数同时乘 8，把 0.125 凑成 1； ② 原式转化为。 【知识点睛】除数为 0.125 的凑整巧算。 13. 【答案】 思路点拨： ① 循环小数的小数部分会不断重复延伸，位数是无限的。 【知识点睛】循环小数的基本属性。 14. 【答案】 思路点拨： ① 同步扩大 10 倍转化为 100÷33； ② 计算后余数重复出现 1，商循环出现 03，结果为。 【知识点睛】除数是小数的除法与循环小数表示。 15. 【答案】扩大到原来的 10 倍 思路点拨： ① 被除数扩大 100 倍，商先扩大 100 倍；除数扩大 10 倍，商再缩小到； ② 总变化：，商扩大到原来的 10 倍。 【知识点睛】双向变化的商变化规律综合应用。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】第 50 位是；前 50 位数字和是 思路点拨： ① 循环节为 “275”，周期为 3，组……2 个，余数为 2，对应循环节第 2 位数字 7； ② 每组数字和：，16 组总和：； ③ 加上余下的 2 个数字：。 【知识点睛】循环小数的周期问题与数字和计算，注意余数对应的是循环节第几位数字。 17. 【答案】8 思路点拨： ① 被除数小数点左移一位，被除数缩小到原来的，商也缩小到原来的； ② 错误的商 0.8 是正确商的； ③ 正确的商：。 【知识点睛】被除数看错的错中求解逆向还原。 18. 【答案】 思路点拨： ① 被除数相同，除数越小，商越大； ② 比较除数大小：； ③ 商的大小顺序与除数顺序相反。 【知识点睛】被除数相同时，商的大小与除数大小成反比。 19. 【答案】240 思路点拨： ① 被除数乘 10，商乘 10；除数除以 10，商再乘 10； ② 商总共乘； ③ 最终商：。 【知识点睛】被除数、除数反向变化的商叠加计算。 20. 【答案】； 思路点拨： ① 规律：除数都是 11，被除数乘几，循环节就乘 9 的几倍，循环节为两位； ② 4÷11 的循环节是 4×9=36，即； ③ 7÷11 的循环节是 7×9=63，即。 【知识点睛】除数为 11 的循环小数规律探究。 学科网（北京）股份有限公司 $