第03讲 圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以圆的方程为核心，通过基础题型→重难创新→真题实战的三阶训练，系统覆盖从概念到应用的全链条，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|33题|覆盖圆的标准方程、一般方程等8类基础题型，结合圆拱桥建模|从圆的方程形式（标准/一般）到二元二次方程条件，再到点与圆位置关系，形成概念→判定→应用逻辑链| |重难·创新演练|14题|融合阿波罗尼斯圆、光线反射等新情境，联动向量、抛物线综合命题|在基础上拓展对称、最值、轨迹问题，通过跨知识综合提升数学语言表达与问题转化能力| |真题·实战演练|4题|聚焦圆心距离、面积参数、几何概型等高频考点|对接高考命题趋势，强化圆心坐标、半径计算等核心技能，培养数据意识与模型观念|

第03讲 圆的方程 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 圆的标准方程 2 题型02 圆的一般方程 4 题型03 二元二次方程表示圆的条件 6 题型04 点与圆的位置关系 7 题型05 圆过定点问题 8 题型06 与圆有关的对称问题 10 题型07 与圆相关的最值问题 12 题型08 圆的轨迹问题 14 重难·创新演练 17 真题·实战演练 27 模拟·基础演练 考查重点：圆标准方程与一般方程求法、二元二次方程构成圆的参数判定、点和圆位置关系、圆恒过定点求解、圆关于直线、点对称变换、弦长与距离类最值、动点轨迹方程推导、结合抛物线与圆拱桥实际建模计算。 题型01 圆的标准方程 1.已知，，则以为直径的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程. 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 故选：A 2.（2026·贵州遵义·模拟）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即，化简得, 解得，代入方程得,则圆的标准方程为. 故选：A. 3．已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解. 【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则，所以圆的标准方程为. 故选：A. 4.已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为_________． 【答案】 【分析】利用待定系数法即可联立方程求解，或者利用几何法，求解圆心为两条直线的交点，即可求解. 【详解】（方法一）设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为． 由题意可得方程组．解此方程组，得，故所求圆的方程为． 故答案为：. 5.（2026广东广州·模拟）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 题型02 圆的一般方程 6．（2026·山西晋中·模拟）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由，得，可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 7.（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得，则所求圆的方程为. 8.设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 9．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．    设圆拱所在的圆的方程是．因为A，B，P在此圆上，故有 解得故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式，结合图形解得. 故支柱的长为． 10.已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【详解】（1）解：设圆C的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为， （2）解：由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即． ∴圆的标准方程为． 题型03 二元二次方程表示圆的条件 11.“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 12. “”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 13.已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围. 【详解】圆的标准方程为：，故即或， 故选：D. 题型04 点与圆的位置关系 14.点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆，可得：，解得， 又在圆外，所以，得，所以k的取值范围为. 故选：C 15.已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得，所以. 故选：B 16.已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依据点与圆的位置关系推断出点到圆心距离与半径的关系，进而判断充分性与必要性. 【详解】点到圆心距离.点到圆心距离.先判断充分性. 因点在圆外，故，即，故，即点在圆外.故“点在圆外”是“点在圆外”的充分条件.再判断必要性.因点在圆外，故，但不能判断与的大小关系.故“点在圆外”不是“点在圆外”的必要条件.综上，“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 故选：. 17.若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于点在圆的外部，圆的半径需大于0，将点代入圆的方程列出不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：圆的标准方程为，则， 若点在圆的外部，则， 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 题型05 圆过定点问题 18.若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 19.对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，，所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 20.在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得，展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 题型06 与圆有关的对称问题 21．若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为 因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为即 故选：C 22.已知圆：，则圆关于直线的对称圆的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】根据题意，设要求圆的圆心为，其坐标为， 圆：，即，其圆心为，半径， 与关于直线对称，则有，解得， 则要求圆的圆心为，半径，其方程为； 故选：． 23．（多选题）圆（　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABD 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由圆的性质求解. 【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为. 由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确； 因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误； 因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确； 故选：ABD 24．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据对称分析可知圆的圆心坐标为，半径为1，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆关于直线对称，则圆的圆心坐标为，半径为1， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 题型07 与圆相关的最值问题 25.（2026·江西吉安·一模）已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】判断原点与圆的位置关系，再由最小需有直线，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由，即原点在已知圆内部，且圆心，， 若原点为，要使最小，则圆心到直线的距离最大，此时直线， 而，所以最小. 26.（2026·河北衡水·一模）若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 【答案】C 【分析】利用换元法转化为圆的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解. 【详解】令，，所以，则. 因为，所以，则（，）， 则点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分， 则表示点到坐标原点的距离，由图可知，该距离的最大值为， 此时，，即，，所以的最大值为. 27.已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.    故选：A． 28.（多选）（2026·湖北·三模）已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 【答案】BCD 【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断． 【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为，整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为，圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内，所以圆为的内切圆，故C正确；对于D，设，因为，，三点，所以， ，因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 29.在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 【答案】 【分析】利用两点距离公式求得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，易得点到直线的最大距离，从而求得面积的最大值. 【详解】设点，由可得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又直线与轴重合，所以点到直线的最大距离为圆的半径，所以面积的最大值为. 故答案为：. 题型08 圆的轨迹问题 30.在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点，因为，所以，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以点到直线的最大距离． 故选：B． 31（2025·北京东城·模拟预测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最小值为， 故选：A 32.（多选）已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上存在点M，使得 D．在C上存在点N，使得 【答案】ABD 【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为；利用定点到圆上点距离的最大值和最小值即可知在C上存在点D，使得D到点的距离为3，分别设出两点坐标，写出对应表达式并与C的方程联立解得不存在点M，使得，存在点N，使得. 【详解】对于A，设点，，由，得，化简得，即，故A正确； 对于B，由A可知曲线C的方程表示圆心为，半径为4的圆，圆心与点的距离为， 则点与圆上的点的距离的最小值为，最大值为， 而，故B正确； 对于C，设，由得， 又，联立方程消去得， 再代入得无解，故C错误； 对于D，设，由得， 又，联立方程消去得， 再代入得，所以存在点满足条件，故D正确． 故选：ABD 33.（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点），直角顶点的轨迹方程为（且）． 重难·创新演练 设题创新: 融合阿波罗尼斯圆，结合光线反射、新定义距离、羽毛球曲线复合图形命题，联动向量、三角函数、等和线、几何概型综合求解，直线与圆中点弦、存在性恒成立多选项辨析，圆与抛物线、曲线交点外接圆综合运算。 1． “”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 2．【新角度】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 3.【新考法】已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上，设直线OM（O为原点）斜率为， 由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时， 则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或， 所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为. 故选：B 4．【新思维】（2026·江苏连云港·模拟）已知，，是平面内一动点，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：根据题意，先求出点的轨迹方程为，由题意可设，，根据向量相等坐标关系得解；解法二：根据题意，先求出点的轨迹方程为，设斜率为且与圆相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，结合等和线定理即可求解. 【详解】解法一：设，则， 整理得，即， 由题意可设，，得， 又，， 由，得， 则，， 得， 所以的取值范围为. 解法二：（等和线）设，则， 整理得，即， 因为直线的斜率为， 设斜率为且与圆相切的直线方程为， 所以，所以，所以的取值范围为. 5．【新情境】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得，所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 6．（2026·山西临汾·模拟）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线中得出，从而将目标转化为求二次函数的最小值. 【详解】可化为，故圆心为，因直线经过圆心，则， 则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为，故其最小值为. 故选：B 7．【新考法】（2026·四川达州·模拟））在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 8. 【新情境】（2026·河北秦皇岛·模拟）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 9．（多选）（2026·山东烟台·模拟）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，，点在圆内部，选项A正确；， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即，以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由，得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 10．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【分析】先求出圆 的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由 恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【详解】圆 的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆 上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以.又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若 恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得，解得或，所以D正确. 11.（2025·陕西西安·模拟预测）已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去可得关于的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线代入圆的方程，化简得到关于的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结果. 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得，即， 再将代入，即可得到， 对比，可得，解得，所以圆的方程为， 配方可得，则圆的半径为，所以外接圆的面积为. 故答案为：. 12．【新考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为____ __． 【答案】 【分析】设点，由题设等式代入坐标化简即得点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设点，由可得， 两边平方，得，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因抛物线的焦点为，则， 根据圆的几何性质可知， P到抛物线的焦点F的最小距离为. 13．【新情境】（2026·安徽·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点. （1）求a，r的值； （2）设，M为曲线C上的动点，求的最小值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据点的坐标求出抛物线方程，进而得到点A，B的坐标，最后求出圆的半径. （2）设，根据的取值范围，分类讨论取值，再求出最小值. 【详解】（1）∵将点的坐标代入，可得a=1，∴抛物线. 又∵的图象与x轴交于点，∴， 把点A，B的坐标代入半圆，可得r=1. （2）设，∵，∴. ∵当时，，∴， ∴当时，； ∵当时，，∴， ∴当时，.∵<，∴的最小值为. 14．【新定义】平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离，几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：，平方化简可得：，解得：或，即， 所以直线方程为：或. 真题·实战演练 高频考点：圆心坐标与半径求解、圆心到直线距离计算、圆面积与方程参数互求、圆环区域几何概型、圆与抛物线交点直线距离计算。 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解. 【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角， 结合对称性可得所求概率. 故选：C.      3．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为，，解得． 故答案为： 4．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即，故原点到直线的距离为， 故答案为： 11 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 圆的方程 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 圆的标准方程 2 题型02 圆的一般方程 2 题型03 二元二次方程表示圆的条件 3 题型04 点与圆的位置关系 3 题型05 圆过定点问题 4 题型06 与圆有关的对称问题 4 题型07 与圆相关的最值问题 4 题型08 圆的轨迹问题 5 重难·创新演练 6 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：圆标准方程与一般方程求法、二元二次方程构成圆的参数判定、点和圆位置关系、圆恒过定点求解、圆关于直线、点对称变换、弦长与距离类最值、动点轨迹方程推导、结合抛物线与圆拱桥实际建模计算。 题型01 圆的标准方程 1.已知，，则以为直径的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 2.（2026·贵州遵义·模拟）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4.已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为_________． 5.（2026广东广州·模拟）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 题型02 圆的一般方程 6．（2026·山西晋中·模拟）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 7.（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 8.设实数，圆的面积为，则 ． 9．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 10.已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 题型03 二元二次方程表示圆的条件 11.“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 12. “”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13.已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 点与圆的位置关系 14.点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15.已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 16.已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17.若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 题型05 圆过定点问题 18.若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 19.对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 20.在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 题型06 与圆有关的对称问题 21．若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 22.已知圆：，则圆关于直线的对称圆的方程是(    ) A. B. C. D. 23．（多选题）圆（　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 24．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 . 题型07 与圆相关的最值问题 25.（2026·江西吉安·一模）已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 26.（2026·河北衡水·一模）若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 27.已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 28.（多选）（2026·湖北·三模）已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 29.在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 题型08 圆的轨迹问题 30.在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 31（2025·北京东城·模拟预测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 32.（多选）已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上存在点M，使得 D．在C上存在点N，使得 33.（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 重难·创新演练 设题创新: 融合阿波罗尼斯圆，结合光线反射、新定义距离、羽毛球曲线复合图形命题，联动向量、三角函数、等和线、几何概型综合求解，直线与圆中点弦、存在性恒成立多选项辨析，圆与抛物线、曲线交点外接圆综合运算。 1． “”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．【新角度】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 3.【新考法】已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．【新思维】（2026·江苏连云港·模拟）已知，，是平面内一动点，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．【新情境】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西临汾·模拟）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 7．【新考法】（2026·四川达州·模拟））在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 8. 【新情境】（2026·河北秦皇岛·模拟）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026·山东烟台·模拟）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 10．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 11.（2025·陕西西安·模拟预测）已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 12．【新考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为____ __． 13．【新情境】（2026·安徽·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点. （1）求a，r的值； （2）设，M为曲线C上的动点，求的最小值. 14．【新定义】平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 真题·实战演练 高频考点：圆心坐标与半径求解、圆心到直线距离计算、圆面积与方程参数互求、圆环区域几何概型、圆与抛物线交点直线距离计算。 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 4．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $