第03讲 导数与函数的极值、最值（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数与函数极值、最值为核心，构建从基础求解到综合应用的系统性训练，融合数形结合与分类讨论，培养数学思维与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|52题|导函数图像判极值、极值（点）求解、含参逆向计算、实际应用建模|从概念（图像）到基本求解，再到逆向问题，形成“概念-求解-应用”逻辑链| |重难·创新演练|8题|新定义转化、零点与恒成立综合、知识迁移|结合新考法拓展，提升临场理解与综合解题能力| |真题·实战演练|7题|高频考点突破（参数讨论、数形结合）|对接高考命题趋势，强化核心素养应用|

第03讲 导数与函数的极值、最值 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 （导）函数图象与极值 2 题型02 求函数的极值（点） 6 题型03 已知函数的极值（点）求参数 9 题型04 已知极值（点）个数求参数 12 题型05 求不含参函数的最值 17 题型06 导数在解决实际问题中的应用 21 题型07 根据函数的最值求参数 27 题型08 求含参函数的极值和最值 31 题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题 35 题型10 恒成立问题 40 重难·创新演练 45 真题·实战演练 52 模拟·基础演练 考查重点：本模块围绕导数极值、最值展开，重点依托导函数图像判断极值，掌握极值、最值常规求解与含参逆向计算；结合实际应用、零点、恒成立综合题型，考查构造转化与分类讨论，突出数形结合与综合运算能力。 题型01 （导）函数图象与极值 1．（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 2．已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】由题意可知函数在上单调递增，在上单调递减，极大值点为，极小值点为， 所以的两根为，，且， 所以，所以， 由题意可得函数与轴的交点位于轴的正半轴，所以. 综上，，，，. 3．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 4．（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 5．（多选）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ）    A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 【答案】BC 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为，结合A可得，故B项正确； 对于C项，又为二次函数，根据三次函数的图象可知. 因为函数在以及处取得极值， 故，故， 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或. 由图象知，当时，. 又的解集为，所以由可得； 由图象知，当时，. 又的解集为. 所以由可得. 所以，的解集是，故D项错误. 故选：BC. 题型02 求函数的极值（点） 6．请写出函数的一个极值点_________． 【答案】（或） 【详解】对函数求导，根据乘积求导法则得：， 令，解得或. 当时，当时，故是极大值点； 当时，当时，故是极小值点. 综上，和均为函数的极值点，写出一个即可. 7．已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 由或，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为：. 8．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 函数在处取得极小值，极小值. （2）可知， 当时，在上恒成立，即在上单调递增，此时不存在最小值， 当时，令，即，解得， 则当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值， 最小值， 令函数，则， 可知函数在上单调递减，可知时，，且， 所以存在，使， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为时，，， 所以在时，，所以实数a的取值范围为. 9．，下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【答案】D 【详解】， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则0不是极值点，A错误； 是极小值点，B错误； 是极大值点，C错误； 是极大值点，D正确． 10．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（     ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】A 【详解】， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，设其根为，其中， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以为函数的极值点，且， 由已知， 题型03 已知函数的极值（点）求参数 11．已知函数为其一个极值点，且，则______． 【答案】4 【详解】由，求导得， 为其一个极值点，，解得， ，此时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以满足条件，又， ，解得． 故答案为：4． 12．已知函数在处取得极值，则的值为_______. 【答案】-2 【详解】由题，因为在处取得极值，所以， 所以，此时，为增函数， 令，所以当时，；当时，， 所以函数在处取得极值，故. 13．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 14．已知函数在处取得极值0，则______. 【答案】24 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 15．已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； (2)写出当时函数的单调区间； 【答案】(1) (2)的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题可得，即，所以， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以； 又极小值为，所以，所以， 所以. （2）函数的定义域为， ， 当时，的两根为，且， 所以当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 题型04 已知极值（点）个数求参数 16．已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有且只有1个极值点， 当时，没有极值点； 当时，，取，得到， 当时，函数为二次函数，则，故， 综上所述：. 故选：C. 17．若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为函数在区间内存在2个极值点， 所以在区间内有两个解. 即在区间内有两个解. 设，，， 当时，，函数在上为增函数； 当时，，函数在上为减函数， 又，，，则，如图所示.    由图知，当且仅当时，函数与函数有两个交点， 此时即在区间内有两个解，故实数a的取值范围为. 故选：B 18．对任意，函数不存在极值点的充要条件是________. 【答案】 【详解】，, 由于函数不存在极值点， 无实根或有两个相等的实根. ①时，原方程化为，不成立，原方程无解，符合题意； ②时，为一元二次方程， 故,解得： 综上所述， 故答案为： 19．已知函数是一个奇函数 (1)若的最小值为，求的单调区间； (2)若不存在极值，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和；单调递减区间为； (2) 【分析】 【详解】（1）因为是一个奇函数， 所以， 又因为， 由，可得，解得， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为； （2）由题意可得， ， 所以， 所以， 由题意可得不存在变号零点， 当时，不存在变号零点，满足题意； 当时，存在变号零点，不满足题意； 综上，当不存在极值时，. 20．已知函数． (1)若存在两个极值点，求实数的取值范围； (2)设函数，且在上有个零点，若，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由，得， 因为方程有两个不等实根， 即方程有两个不等实根， 所以，即， 即的取值范围为； （2）由，得，即， 设函数， 则， 设函数，则，函数为增函数， 因为，，， 所以，且， 当时，，， 当时，，， 所以当时，取得极大值，也为最大值， 且极大值为， 因为， 所以当在上有个零点时，． 21．已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则. 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， ，即时，，得证. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）， 令， ①当时，在上无极值点，不符合题意； ②当时，，即在上单调递减，且. 取，其中. 显然，， 则. 由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得. 当时，，即；当时，，即. 此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意. 综上，. 题型05 求不含参函数的最值 22．已知函数，，则函数的最大值为__________. 【答案】 【详解】由函数，得， 令，解得或者， 列表： 所以是函数在上唯一极大值点，也是最大值点， 因此函数的最大值为. 23．函数的最小值为______. 【答案】 【详解】求导得：， 所以时，，此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以. 即该函数的最小值为 24．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数有极小值，记的极小值为，证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 当时，单调递减；当时，单调递增， 因此． （2）证法1：函数的定义域为． 当时，在上单调递减，无极小值，不符合题意； 当时，令，解得． 当时，单调递减；当时，单调递增． 因此函数有极小值，极小值为，故． 令，则在上单调递增． 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当时，单调递减；当时，单调递增， 因此，故． 证法2：函数的定义域为． 当时，在上单调递减，无极小值，不符合题意； 当时，令，解得． 当时，单调递减；当时，单调递增． 因此函数有极小值，极小值为，故． 由（1）知，即，当且仅当时取等号． 令，则． 令，则． 当时，单调递减；当时，单调递增． 因此，即，当且仅当时取等号， 由于等号不能同时取到，因此，即． 证法3：函数的定义域为． 当时，在上单调递减，无极小值，不符合题意； 当时，令，解得． 当时，单调递减；当时，单调递增． 因此函数有极小值，极小值为，故． 要证，即证． 令，则．当时，单调递减； 当时，单调递增．因此，当且仅当时取等号．故，即， ，即，当且仅当时取等号， 因此，原不等式成立． 证法4：函数的定义域为． 当时，在上单调递减，无极小值，不符合题意； 当时，令，解得． 当时，单调递减；当时，单调递增． 因此函数有极小值，极小值为，故． 令，则．当时，单调递减； 当时，单调递增．因此，当且仅当时取等号． 故，即． 令，则． 令，则．当时，单调递减； 当时，单调递增． 因此，即，当且仅当时取等号， 因此，即． 25．已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) （或等价形式） (3) 【分析】 【详解】（1）已知，则， 进而. （2）令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. （3）由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 26．已知函数（a为常数），若曲线在点处的切线垂直于直线． (1)求a的值； (2)求的单调区间和最值． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；最小值为1，无最大值 【分析】 【详解】（1），，， 由曲线在点处的切线垂直于直线 ， 所以两条直线的斜率乘积为，又直线 的斜率为， 所以 ，解得； （2）由（1）知，所以，， 因为 ，所以为偶函数； 当时， ，令，， 因为，所以在上单调递增， 且，，所以在上单调递增， 又是偶函数，所以在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，，当时，； 所以当时，为函数的最小值，无最大值. 题型06 导数在解决实际问题中的应用 27．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，它的值是固定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，______． 【答案】 【详解】已知圆锥的母线长是，高为， 由题意可知，所以，其中是圆锥底面圆的半径， 则圆锥体积，对求导得， 令，即，解得，即， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在时取极大值，也是最大值， 因此当盖子体积最大时，. 28．如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为______. 【答案】 【详解】设该容器的底面边长为，则该容器的高为， 设该容器的容积为，则该容器的容积． 设函数，得． 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则，所以. 29．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 【答案】 【分析】先分析水平平面内的硬管极限长度：即将走廊的水平截面看作 “直角拐角”（左侧宽米，右侧宽1米）；再求的最小值：即水平方向能通过的最长硬管长度；最后结合高度求空间极限长度：即走廊高度为6米，硬管需同时满足“水平长度≤8”和“高度≤6”，因此空间中硬管的极限长度为“水平极限长度与高度构成的空间对角线”，计算出实际长度即可. 【详解】设硬管与左侧走廊水平方向的夹角为，则水平方向硬管长度为：， 则， 令，得，即， 所以，即，代入得： 水平极限长度：， 空间极限长度==10， 因为实际长度为极限长度的0.8倍，所以. 故的值是8. 故答案为：. 30．某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【答案】24.30 【详解】设利润， 则设， 当时，， 则， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值. 当时，此时， 则， 则，令，得， 当时，，此时单调递减， 所以. 又因，所以生产万台设备时，全年利润最大. 故答案为：. 31．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. (1)建立关于的函数，并求的最大值； (2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵底边长为，高为， . ， ， 令，即，解得（舍去. 当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 可得. （2）盒子的表面积， 由，得，即， 代入表面积公式得，则. 令，得，即，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，表面积最小. 32．为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． (1)将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； (2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)当销售单价为（千元）时，利润最大；当销售单价为（千元）时，利润最小 【分析】 【详解】（1）由题意：. （2）因为， 设， 则， 因为，所以，所以函数在上单调递增. 又， ，又， 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又，， . 所以当销售单价（千元）时，利润最大；当销售单价（千元）时，利润最小． 题型07 根据函数的最值求参数 33．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 34．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 35．已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【详解】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 36．函数在上的最大值是1，则在上的最小值是______． 【答案】 【详解】，则， 令，得或. 当时，，则为增函数； 当时，，则为减函数. ∴当时，取得最大值为，得， 又，. ∴在上的最小值是. 37．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，故，在上单调递增， 当时，令得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可得：若，则在上单调递增，最小值为，与矛盾， 若，则的极小值点为， ①当，即时，在上单调递增，最小值为，与矛盾， ②当，即时，在上单调递减，最小值为，解得，满足， ③当，即时，最小值为，解得，即，但，不满足，故舍去， 综上，. 38．设函数（为常数）． (1)若在上是增函数，求a的取值范围； (2)是否存在a，使得当时，有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）由题意， 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 即，则， 令，， 因为在上单调递增，所以， 因此，则a的取值范围是. （2）假设存在a，使得当时，有最大值. 当时，在上是增函数，则，解得（舍）， 当时，令，解得， 因为，所以， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以， 则，解得，又，得， 所以存在，使得当时，有最大值. 题型08 求含参函数的极值和最值 39．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 40．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 41．已知函数为上的奇函数. (1)确定的值并求出函数的值域 (2)若函数，讨论的极值取得情况. 【答案】(1)， (2)当时，无极值；当时，在处取得极大值，无极小值 【分析】 【详解】（1）因为函数为上的奇函数，由，， 此时，显然为奇函数.所以 ， 的值域为 （2）由（1）得：， 定义域为，， 当时，在上单调递减，无极值； 当时得， 当时，;当时，, 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，；无极小值 42．设函数． (1)当时，求的最小值； (2)求在上的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得最小值，最小值为. （2）由函数，可得， 令，即，解得， 若，即时，，在上单调递增，无极值； 若时，即时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，取得极小值，无极大值. 综上可得，当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 43．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题 44．已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 【答案】 【详解】的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 当时，，所以在上存在一个零点， 因为，所以在上也存在一个零点. 综上，. 45．已知函数，若函数有2个零点，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】当时，，则， 令，解得，，解得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，，，当时，， 当时，，则， 令，解得，，解得， 所以当时，单调递增,当时，单调递减， 当时，，，当时，， 作出函数的大致图象，如图所示： 因为函数有2个零点，所以与的图象有2个交点， 由图知和，即实数的取值范围为. 46．已知函数（是自然对数底数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】． 【详解】当 时，由得. 要使该零点满足 ，需满足即. 所以函数在区间 上恰有一个零点，当且仅当 ． 当 时，由得. 设，则. 因为 ，，，所以 的符号由 决定． 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． 所以 在 处取得最小值，且. 于是：当 时，方程 有两个不等实根． 当 时，方程 有一个实根． 当 时，方程 无实根． 所以函数在区间 上有两个零点，当且仅当 ． 由题意，函数在定义域上有三个零点，所以必须同时满足： 在区间 上有一个零点，且在区间 上有两个零点． 因此解得. 故实数 的取值范围是 ． 47．已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数求导得，已知是极值点， 则，解得． 当时，， 当时，；当时，，故是极小值点，符合题意． 故． （2）已知有两个零点，即方程有两个正实数根， 则， 设，问题转化为与的交点个数， 令，则， ，令，得， 当时，，单调递减； 当且时，，单调递增； 当时，在处取得极小值，， 故在处取得极小值，为； 当和时，； 当时，且单调递增，故单调递增且， 故方程最多有一个零点； 要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即． 48．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当时，在上有0个零点；当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 当时，，得， 令，即，解得； 令，即，解得， 则当时，单调递增； 令，即，解得， 则当时，单调递减； 所以当时，函数取极小值，无极大值； （2）由得方程， 令，则函数零点的个数就是与交点的个数， 由（1）可知当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，；； 当时，，所以， 画出函数的图象如下： 由图可知，当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点． 所以当时，在上有0个零点； 当时，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点． 题型10 恒成立问题 49．已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 50．设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，的定义域为，值域为，不恒成立，不合题意； 当时，函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，不合题意； 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以的最大值为. 51．已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）已知函数，求导得 ， 由题意，得且 ， 所以，． （2）由（1）可知，， 由，得 ， 又，所以 ， 设，， 又，，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为． 52．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，试确定的零点个数； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)1个 (3). 【分析】 【详解】（1）求导得：， 当时，对 恒成立，故 ， 所以在 上单调递增； 当 时， 若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增； （2）当 时，由（1）知 在 单调递增，最多只有1个零点； 因为，， 根据零点存在定理，存在唯一使得 ， 故 的零点个数为 ； （3）整理不等式， 设， 求导得 ， 当 时，，故在 单调递增， 所以的最小值为， 要使恒成立，只需,即， 故的取值范围为 . 53．已知，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】 【详解】（1）∵函数的定义域是，． 令，得，解得， 的单调递减区间是． 令，得，解得，的单调递增区间是． 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是． （2），恒成立，恒成立． ，在上恒成立． 设，则． 令，得，（舍去）． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ∴当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 54．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． (2) 【分析】 【详解】（1），定义域为R，， 当时，恒成立，故函数在R单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值． 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． （2）， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，，， ，， 令，， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，与满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立． 重难·创新演练 设题创新:依托新颖设问、自定义规则命题，不再局限套路化求极值最值，常融合新定义条件，灵活结合函数零点、恒成立综合设问，侧重考查学生临场阅读理解、知识迁移与数形结合的综合解题能力。 1．【新考法】（2026·湖南·三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 则的零点个数为根的个数， 即为与的交点个数， 若的零点个数最多，则与的交点最多， 令， 令，则或， 令，则， 令，则， 得到在上单调递减，在上单调递增， 可得的极小值为， 当时，，当时，， 所以，故A正确. 2．【新角度】（2025·26高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】正项数列中，，令，显然， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，数列递增，当时，数列递减， 而，且， 则，当最大时，的值为5. 3．【新定义】（2025·26高二下·上海·期中）函数的凹凸性是函数的重要性质之一，函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点.若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的.函数在区间上为凹（凸）函数等价于的导函数在区间上单调递增（递减）.若在定义域内是凹函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，由函数在上是凹函数， 得在上单调递增，令函数， 则，恒成立， 令函数，求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，， 所以的最小值为. 4．【新考法】（2026·四川遂宁·模拟预测）（多选）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于原点中心对称 B．存在，使得 C．函数的图象与函数的图象没有公共点 D．函数极值点个数为3 【答案】BC 【详解】对于A：定义域为，且， 故是偶函数，图象关于轴对称，不关于原点中心对称，A错误； 对于B：令，因为， ， 由零点存在性定理，，使得，即，B正确； 对于C：假设与有公共点，则，整理得， 即， 由于，且，故等式恒不成立，方程无实根， 即两个图象没有公共点，C正确； 对于D：分母恒正， 导函数零点由分子决定，是一个根； 对任意正整数，在区间内，都存在一个零点， 结合奇函数性质，也对应无穷多个零点，故的极值点有无穷多个，不是3个，D错误. 5．【新角度】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，， 因为有两个极值点， 所以在上有两个不同的根， 所以方程有两个不同的正根， 根据韦达定理得，，A正确，B错误； 因为且，所以， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，C正确，D正确． 6．（2025·26高二下·北京朝阳·期中）已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 【答案】①②④ 【详解】函数可分段表示为： 对于①，令，即，解得， 所以有且仅有一个零点，故①正确； 对于②，当时，， 求导得（仅时取等号）， 所以在区间上单调递减，故②正确； 对于③，当 时，，求导得， 则在上单调递减，当，，当，； 当 时，，求导得， 当时，，上在单调递增，且； 当时，，在上单调递减，且，当，； 因此的值域为，故有最小值，没有最大值，故③错误； 对于④，画出函数的图象如图所示， 要使方程有3个实数根，即函数与有三个交点，即时，满足条件，故④正确. 7．【新定义】（2026·湖北·三模）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）已知，其定义域为，则， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令得（负根舍去）， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以是的极小值点， 则， 所以． （2）由（1）知时，的极小值点为， 假设存在使得的极值点同时也是不动点，即， 则， 令，得， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在使得， 所以存在使得，满足， 因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点． 8．【新载体】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 真题·实战演练 高频考点：导函数图像判极值、常规求极值与极值点、由极值条件求参、限定极值个数求参、区间最值求解、最值逆向定参、零点与恒成立综合；多分布选填与解答，中档综合居多，参数讨论、数形结合为命题热点。 1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 4．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为和，单调递增区间为和. (3)3个 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数与函数的极值、最值 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 （导）函数图象与极值 2 题型02 求函数的极值（点） 4 题型03 已知函数的极值（点）求参数 4 题型04 已知极值（点）个数求参数 5 题型05 求不含参函数的最值 6 题型06 导数在解决实际问题中的应用 7 题型07 根据函数的最值求参数 9 题型08 求含参函数的极值和最值 10 题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题 12 题型10 恒成立问题 13 重难·创新演练 15 真题·实战演练 17 模拟·基础演练 考查重点：本模块围绕导数极值、最值展开，重点依托导函数图像判断极值，掌握极值、最值常规求解与含参逆向计算；结合实际应用、零点、恒成立综合题型，考查构造转化与分类讨论，突出数形结合与综合运算能力。 题型01 （导）函数图象与极值 1．（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 2．已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 4．（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 5．（多选）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ）    A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 题型02 求函数的极值（点） 6．请写出函数的一个极值点_________． 7．已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数. (1)当时，求函数的极值； 9．，下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 10．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（     ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 题型03 已知函数的极值（点）求参数 11．已知函数为其一个极值点，且，则______． 12．已知函数在处取得极值，则的值为_______. 13．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 14．已知函数在处取得极值0，则______. 15．已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； 题型04 已知极值（点）个数求参数 16．已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．对任意，函数不存在极值点的充要条件是________. 19．已知函数是一个奇函数 (1)若的最小值为，求的单调区间； (2)若不存在极值，求的取值范围． 20．已知函数． (1)若存在两个极值点，求实数的取值范围； 21．已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 题型05 求不含参函数的最值 22．已知函数，，则函数的最大值为__________. 23．函数的最小值为______. 24．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； 25．已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 26．已知函数（a为常数），若曲线在点处的切线垂直于直线． (1)求a的值； (2)求的单调区间和最值． 题型06 导数在解决实际问题中的应用 27．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，它的值是固定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，______． 28．如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为______. 29．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 30．某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 31．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. (1)建立关于的函数，并求的最大值； (2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 32．为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． (1)将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； (2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 题型07 根据函数的最值求参数 33．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 34．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 35．已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 36．函数在上的最大值是1，则在上的最小值是______． 37．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值． 38．设函数（为常数）． (1)若在上是增函数，求a的取值范围； (2)是否存在a，使得当时，有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型08 求含参函数的极值和最值 39．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 40．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 41．已知函数为上的奇函数. (1)确定的值并求出函数的值域 (2)若函数，讨论的极值取得情况. 42．设函数． (1)当时，求的最小值； (2)求在上的极值． 43．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题 44．已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 45．已知函数，若函数有2个零点，则实数m的取值范围是_________． 46．已知函数（是自然对数底数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是______． 47．已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 48．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数． 题型10 恒成立问题 49．已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 50．设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 51．已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 52．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，试确定的零点个数； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 53．已知，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 54．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 重难·创新演练 设题创新:依托新颖设问、自定义规则命题，不再局限套路化求极值最值，常融合新定义条件，灵活结合函数零点、恒成立综合设问，侧重考查学生临场阅读理解、知识迁移与数形结合的综合解题能力。 1．【新考法】（2026·湖南·三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．【新角度】（2025·26高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．【新定义】（2025·26高二下·上海·期中）函数的凹凸性是函数的重要性质之一，函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点.若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的.函数在区间上为凹（凸）函数等价于的导函数在区间上单调递增（递减）.若在定义域内是凹函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．【新考法】（2026·四川遂宁·模拟预测）（多选）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于原点中心对称 B．存在，使得 C．函数的图象与函数的图象没有公共点 D．函数极值点个数为3 5．【新角度】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·26高二下·北京朝阳·期中）已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 7．【新定义】（2026·湖北·三模）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 8．【新载体】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 真题·实战演练 高频考点：导函数图像判极值、常规求极值与极值点、由极值条件求参、限定极值个数求参、区间最值求解、最值逆向定参、零点与恒成立综合；多分布选填与解答，中档综合居多，参数讨论、数形结合为命题热点。 1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $