第03讲 幂函数与二次函数（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以幂函数与二次函数概念为起点，通过13类题型构建"概念-性质-应用"逻辑链，融合定义法、待定系数法、数形转化等方法，实现从基础到创新的层级突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|37题|定义法证单调、待定系数求参数、对称性简化推导|从幂函数定义、图象定点到二次函数解析式、实根分布，形成"概念生成-性质推导-基础应用"链条| |重难创新|14题|数形交叉转化、新定义迁移、多性质综合应用|结合生活情境与新考法，深化幂函数与二次函数图象性质的综合迁移，培养逻辑推理与创新意识| |真题实战|7题|高频考点聚焦（单调性、参数求解）、真题情境应用|对接高考命题趋势，强化奇偶性判定、区间最值等高频考点的实战能力|

第03讲 幂函数与二次函数 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 幂函数的概念及求值 2 题型02 幂函数的图象及过定点 2 题型03 幂函数的单调性和奇偶性 3 题型04 利用幂函数单调性奇偶性求参数 3 题型05 利用幂函数单调性解不等式 4 题型06 利用幂函数比较大小 4 题型07 二次函数的解析式 5 题型08 二次函数的图象和性质 5 题型09 二次函数的实根分布 6 题型10 二次函数的单调性与最值 6 题型11 利用二次函数的单调性求参数 6 题型12 利用二次函数的最值求参数 7 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 7 重难·创新演练 8 真题·实战演练 11 模拟·基础演练 考查重点：幂函数与二次函数的解析式求解、奇偶性判定、区间单调性分析；结合函数图象数形转化，掌握定义法证单调、待定系数求参数，依托函数对称性简化区间性质推导，聚焦图象性质应用与基础运算辨析。 题型01 幂函数的概念及求值 1.下列函数是幂函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2.在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·河北承德·模拟检测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（    ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 4．已知为幂函数，目，则 . 5．（2026·河北石家庄·阶段检测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 _______ . 题型02 幂函数的图象及过定点 6．关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 7．（25-26高三上·浙江·开学考试）函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·陕西安康·开学考试）函数的图象过定点 _______ . 10．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 _______ . 题型03 幂函数的单调性和奇偶性 11．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 12．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 13．已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是 _______ . 题型04 利用幂函数单调性与奇偶性求参数 15．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 16．（25-26高三上·甘肃定西·开学考试）若幂函数是奇函数，则 _______ . 17．已知幂函数在区间上单调递增，则 _______ . 18．若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是__________（写一个即可）. 19.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 _______ . 题型05 利用幂函数的单调性解不等式 20．（25-26高三上·江苏无锡·10月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数，则不等式的解集是 _______ . 22．（25-26高三上·重庆·月考）已知幂函数则不等式的解集为 _______ . 23．（2026·湖南长沙·质检）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 _______ . 题型06 利用幂函数比较大小 24．已知，则（    ） A． B． C． D． 25．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 27．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（2026·天津·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型07 二次函数解析式 29．已知为二次函数且，，则 _______ . 30．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值； （3）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 题型08 二次函数的图象和性质 31．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（    ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 32．将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 题型09 二次函数的实根分布 33．函数在上有零点，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 34.已知关于的方程有两个正根，则的取值范围为 _______ . 题型10 二次函数的单调性与最值 35.（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（    ） A．9 B．3 C．18 D．6 36．已知函数，则其单调递增区间为 _______ . 37.已知函数． （1）已知在上单调递增，求的取值范围； （2）求在上的最小值． 题型11 利用二次函数的单调性求参数 38．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．若函数的单调递增区间是，则__________. 40．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是 _______ . 41．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 _______ . 题型12 利用二次函数的最值求参数 42．若函数在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则的值为（    ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 43．（多选）（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最小值为0，则 D．若最大值为2，则 44．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则 _______ . 45．（2026·四川成都·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 _______ . 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 46.函数的值域为，则实数a的取值范围是 _______ . 47.知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是 _______ . 48.已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 _______ . 49.（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数， （1）若不等式恒成立，求实数的值； （2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 重难·创新演练 设题创新: 融合幂函数、二次函数图象与性质，依托生活情境创设新定义题型；结合数形交叉设问，灵活嵌套分段、奇偶、单调性综合条件，侧重知识迁移与图象转化的综合应用，拔高逻辑推理与多方法解题能力。 1.（2026·黑龙江·阶段检测）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D．4 3. 【新考法】函数的一个单调增区间是（    ） A． B． C． D． 4．【新考法】（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 5．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 6．【新角度】（2026·广东湛江·阶段检测）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（    ） A． B． C． D． 7．【新考法】已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【新题型】（2026·吉林·三模）已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 10. 【新情境】（多选）约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（    ） A．函数是一个具有回归点的函数 B．具有回归点的函数有无数个 C．存在无数个具有无数个回归点的函数 D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点 11．【新考法】（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 12．如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 _______ . 13．【新考法】（2026·河北保定·模拟预测）已知函数在区间上单调，且，则a的取值范围为 _______ . 14.已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． （1）证明：是偶函数． （2）若函数在上有两个零点，求的取值范围． 真题·实战演练 高频考点：幂函数解析式求解与图象性质辨析、二次函数解析式选取与区间单调性分析，依托对称轴数形结合求解参数；函数奇偶判定、利用对称性简化单调区间推导，侧重真题高频的性质应用与基础运算考查。 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 _______ . 7．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 _______ . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 幂函数与二次函数 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 幂函数的概念及求值 2 题型02 幂函数的图象及过定点 3 题型03 幂函数的单调性和奇偶性 5 题型04 利用幂函数单调性奇偶性求参数 6 题型05 利用幂函数单调性解不等式 8 题型06 利用幂函数比较大小 9 题型07 二次函数的解析式 11 题型08 二次函数的图象和性质 12 题型09 二次函数的实根分布 14 题型10 二次函数的单调性与最值 15 题型11 利用二次函数的单调性求参数 16 题型12 利用二次函数的最值求参数 17 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 19 重难·创新演练 22 真题·实战演练 30 模拟·基础演练 考查重点：幂函数与二次函数的解析式求解、奇偶性判定、区间单调性分析；结合函数图象数形转化，掌握定义法证单调、待定系数求参数，依托函数对称性简化区间性质推导，聚焦图象性质应用与基础运算辨析。 题型01 幂函数的概念及求值 1.下列函数是幂函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D. 2.在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数是幂函数，函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B. 3．（2026·河北承德·模拟检测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（    ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【详解】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 4．已知为幂函数，目，则 . 【答案】 【详解】依题意，设，由可得，解得，则， 于是. 故答案为：. 5．（2026·河北石家庄·阶段检测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 _______ . 【答案】 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 题型02 幂函数的图象及过定点 6．关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 7．（25-26高三上·浙江·开学考试）函数与的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 8．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数， 当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为， 当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为， 令，分别代入，，得到，， 因为，可知曲线、对应的值分别为、. 故选：A. 9．（25-26高三上·陕西安康·开学考试）函数的图象过定点 _______ . 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 10．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 _______ . 【答案】(1,2) 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有，所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 题型03 幂函数的单调性和奇偶性 11．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，在上单调递增，不符合. 对于B：是底数在内的指数函数，所以在上严格递减，从而在上也严格递减．符合. 对于C：在上单调递增，不符合. 对于D：在上单调递增，又，故不符合. 12．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 13．已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是 _______ . 【答案】或 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称，所以该幂函数是偶函数，设， 则有，所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点，所以， 因为，所以当时，为偶数， 当时，不是偶数，当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 题型04 利用幂函数单调性与奇偶性求参数 15．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知，当时，，等式成立，因为在R上单调递增，故为唯一解.此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得.当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减.因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，，所以，即，D错误. 故选：C. 16．（25-26高三上·甘肃定西·开学考试）若幂函数是奇函数，则 _______ . 【答案】2 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 17．已知幂函数在区间上单调递增，则 _______ . 【答案】2 【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得. 18．若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是__________（写一个即可）. 【答案】0 【详解】要使幂函数为偶函数，需满足, 则取 ，此时，函数为是偶函数。 故答案为：0 19.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 _______ . 【答案】3 【详解】因为是幂函数，所以，所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 题型05 利用幂函数的单调性解不等式 20．（25-26高三上·江苏无锡·10月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 21．已知函数，则不等式的解集是 _______ . 【答案】 【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数，所以是单调递减的奇函数， 故，则，即，所以不等式的解集为. 故答案为： 22．（25-26高三上·重庆·月考）已知幂函数则不等式的解集为 _______ . 【答案】 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数，所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为，平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 23．（2026·湖南长沙·质检）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 _______ . 【答案】 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 题型06 利用幂函数比较大小 24．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又在上为增函数， 所以，综上，， 故选：D 25．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，，，即， ，接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得，即. 故. 故选：D. 26．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 27．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，，， ，所以， 对于A，在单调递增， ，故A错误； 对于B， 在上单调递减， ，故B错误； 对于C， 在单调递减， ，故C错误； 对于D，在单调递增， , 又在单调递减， , ，故D正确. 故选：D 28．（2026·天津·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增，则， 由在上单调递减，则， 所以. 故选：D 题型07 二次函数解析式 29．已知为二次函数且，，则 _______ . 【答案】 【详解】设，， ，． 又，. 故答案为： 30．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值； （3）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）因为对都有，所以的图象关于直线对称， 又因为二次函数的最小值为，所以可设二次函数的解析式为， 又因为是其一个零点，所以，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， . （3）因为关于的不等式在区间上有解， 即不等式在上有解，所以， 记，因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，所以，即， 故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为. 题型08 二次函数的图象和性质 31．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（    ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以，又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确；二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确；由，所以，又，所以，故③正确；，故④正确. 故选：D. 32．将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1，由题意得可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法2，要得到的图象， 只需把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象， 再整体向上平移2个单位长度即可，即为的大致图象，如图， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法3，平移后的图象对应函数，C选项中的图象正确． 故选：C. 题型09 二次函数的实根分布 33．函数在上有零点，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，不符合题意； 当时，，零点为，，符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ① 若，解得， 此时，故零点为0或，符合题意； ② 若，解得，同上成立； ③若，要使函数在有零点，，又， 即；综上可得 . 故选：D. 34.已知关于的方程有两个正根，则的取值范围为 _______ . 【答案】 【详解】根据关于的方程有两个正根，可得，解得． 故实数的取值范围为． 题型10 二次函数的单调性与最值 35.（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（    ） A．9 B．3 C．18 D．6 【答案】B 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为. 因为在处取得最大值， 最大值为3，所以的最大值为3. 36．已知函数，则其单调递增区间为 _______ . 【答案】 【详解】由函数解析式可知，解得的定义域为， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 故答案为： 37.已知函数． （1）已知在上单调递增，求的取值范围； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）． （2） 【详解】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 题型11 利用二次函数的单调性求参数 38．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 39．若函数的单调递增区间是，则__________. 【答案】2 【详解】因为函数的对称轴为，则其单调递增区间为， 依题意可得，解得. 故答案为：2 40．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是 _______ . 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 故答案为： 41．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 _______ . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 题型12 利用二次函数的最值求参数 42．若函数在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则的值为（    ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关. 故选B． 43．（多选）（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最小值为0，则 D．若最大值为2，则 【答案】ACD 【详解】令，， 对于A，因为值域为，则时，，此时值域为，不合题意， 当时，则，解得，所以A说法正确； 对于B，因为定义域为，则时，，此时，符合题意， 当时，，解得，所以，所以B说法错误； 对于C，因为最小值为0，又是增函数，则有最小值， 又的对称轴为，则，解得，所以C说法正确； 对于D，因为最大值为2，又是增函数，则有最大值， 又的对称轴为，则，解得，所以D说法正确. 故选：ACD 44．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则 _______ . 【答案】1 【详解】显然函数的最大值只能在或时取到， 若在时取到，则，得或 ，时，；，时，（舍去）； 若在时取到，则，得或 ，时，； ，时，（舍去） 所以 45．（2026·四川成都·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 _______ . 【答案】4 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 46.函数的值域为，则实数a的取值范围是 _______ . 【答案】 【详解】由题意可知，只需满足函数的值域取遍大于的所有数即可. 当时，，符合题意， 当时，只需满足即可，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 47.知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是 _______ . 【答案】 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上单调递减，在上单调递增， ，对称轴， ①即时，在单调递增，恒成立； ②即时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以，故； ③即.时，在上单调递减，， 所以，解得，综上. 故答案为： 48.已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 _______ . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 49.（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数， （1）若不等式恒成立，求实数的值； （2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解. （2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解. （3）按图象对称轴与区间的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可. 【详解】（1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 重难·创新演练 设题创新: 融合幂函数、二次函数图象与性质，依托生活情境创设新定义题型；结合数形交叉设问，灵活嵌套分段、奇偶、单调性综合条件，侧重知识迁移与图象转化的综合应用，拔高逻辑推理与多方法解题能力。 1.（2026·黑龙江·阶段检测）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有，所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 故选：B. 3. 【新考法】函数的一个单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而的单调增区间是，单调减区间是， 对于A，当时，单调递减，且，此时单调递减，所以是的一个单调增区间； 对于B，当时，单调递减，，此时不是单调函数，所以不是的一个单调增区间； 对于C，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间； 对于D，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间，则也不是的一个单调增区间； 故选：A 4．【新考法】（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 5．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 6．【新角度】（2026·广东湛江·阶段检测）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数.又，所以，所以. 故选：A. 7．【新考法】已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 8．【新题型】（2026·吉林·三模）已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以. 9．（25-26高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 10. 【新情境】（多选）约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（    ） A．函数是一个具有回归点的函数 B．具有回归点的函数有无数个 C．存在无数个具有无数个回归点的函数 D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点 【答案】ABC 【详解】A.令，解得，函数是一个具有回归点的函数，且回归点为； B. 具有回归点的函数有无数个，如幂函数是回归函数,都至少存在回归点（1，1）； C. 存在无数个具有无数个回归点的函数，如函数，，且，则其图像上的任何一个点都是回归点； D. 已知点是函数的一个回归点，对于，是函数的一个回归点，但不是函数的一个回归点，排除. 故选：ABC. 11．【新考法】（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 12．如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 _______ . 【答案】 【详解】由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8， 所以A点的横坐标为，点纵坐标为， 由为矩形及题图知：D点的坐标是. 故答案为： 13．【新考法】（2026·河北保定·模拟预测）已知函数在区间上单调，且，则a的取值范围为 _______ . 【答案】 【详解】若在上单调递减，且. 则有，， 相减得， 则，， 即，. 所以，为方程在上的两个根， 则有且， 得． 若在上单调递增， 则有，，即，为方程在上的两个根， 则有且 得． 综上所述，得． 故a的范围为 14.已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． （1）证明：是偶函数． （2）若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）证明：由二次函数的单调递增区间为， 可得，解得．又因为有一个零点为，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以是偶函数． （2）解：由（1）可知， 因为在上有两个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 真题·实战演练 高频考点：幂函数解析式求解与图象性质辨析、二次函数解析式选取与区间单调性分析，依托对称轴数形结合求解参数；函数奇偶判定、利用对称性简化单调区间推导，侧重真题高频的性质应用与基础运算考查。 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则.所以. 故选：D 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 _______ . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 7．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 _______ . 【答案】 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 22 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $