第03讲 圆的方程（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦圆的方程核心考点，涵盖标准方程、一般方程、点与圆位置关系及相关应用，按知识解构-题型破译-方法归纳逻辑架构，通过考情分析、知识精讲、题型突破、真题训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破重点难点。 讲义采用分层变式训练和真题溯源策略，如最值问题结合几何性质与函数关系培养数学思维，轨迹问题通过动点代入法渗透数学建模，设置基础到综合的梯度练习，助力学生高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第03讲 圆的方程 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 圆的标准方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3圆的一般方程 题型破译 (含超链接） 题型1 圆的标准方程 题型2 圆的一般方程 题型3 二元二次方程表示圆的条件 题型4 点与圆的位置关系 题型5 圆过定点问题 题型6 与圆有关的对称问题 题型7 与圆相关的最值问题 【方法技巧】与圆有关的最值问题的求解方法 题型8 圆的轨迹问题 【方法技巧】求轨迹方程的步骤 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆的方程 全国一卷T11（6分） 全国一卷T7（5分） 北京卷T3（5分） 圆与其他知识的融合 全国Ⅱ卷T10（5分） 考情分析 直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。 近三年高考显示，圆的方程考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查。 复习目标 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 圆的标准方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 （3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 必记结论 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 自主检测（1）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是_____________. 知识点2 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 自主检测点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 知识点3 圆的一般方程 1.定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点 . （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以 为圆心， 为半径的圆. 自主检测过三点的圆的一般方程为 ． 题●型●破●译 题型1 圆的标准方程 例1-1已知点，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例1-2若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·四川成都模拟）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型2 圆的一般方程 例2-1圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的一般方程是_______． 例2-2（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【变式训练2-1】下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2-2·变考法】已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【变式训练2-3·变考法】在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________. 题型3 二元二次方程表示圆的条件 例3-1若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3-2设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【变式训练3-1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式训练3-2·变考法】 “关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-3】若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型4 点与圆的位置关系 例4-1已知点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4-2“或”是“定点在圆的外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-1】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【变式训练4-3·变考法】已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】点在圆外，则a的取值范围为____________. 题型5 圆过定点问题 例5-1已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 例5-2圆恒过的定点为（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-1·变角度】（2026·河北沧州·阶段检测）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练5-3·变角度】已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 题型6 与圆有关的对称问题 例6-1若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 例6-2若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练6-1】（2026·广东汕头·模拟预测）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【变式训练6-2】（2025·广东·模拟预测）若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3·原创题】圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】设曲线关于直线对称，则 ． 题型7 与圆相关的最值问题 例7-1已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 例7-2（多选）【新思维】已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 【变式训练7-1·变载体】（2025·重庆·模拟预测）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-2】若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3·变载体】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【变式训练7-4·变载体】在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 【变式训练7-5】若实数x、y满足， 则 的最大值是 . 题型8 圆的轨迹问题 例8-1【新思维】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例8-2【新思维】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 求轨迹方程的步骤 ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答． 【变式训练8-1】（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【变式训练8-2·变载体】已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练8-3·变问法】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4·变载体】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________. 【变式训练8-5·变问法】 （2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 4．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 5．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列各圆的方程，并画出图形. （1）圆心为点，且过点； （2）过，，三点． 2．已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，求圆C的标准方程． 3．圆C的圆心在x轴上，并且过和两点，求圆C的方程． 4．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 5．已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？ 6．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 7．已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 8．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 圆的方程 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 圆的标准方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3圆的一般方程 题型破译 (含超链接） 题型1 圆的标准方程 题型2 圆的一般方程 题型3 二元二次方程表示圆的条件 题型4 点与圆的位置关系 题型5 圆过定点问题 题型6 与圆有关的对称问题 题型7 与圆相关的最值问题 【方法技巧】与圆有关的最值问题的求解方法 题型8 圆的轨迹问题 【方法技巧】求轨迹方程的步骤 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆的方程 全国一卷T11（6分） 全国一卷T7（5分） 北京卷T3（5分） 圆与其他知识的融合 全国Ⅱ卷T10（5分） 考情分析 直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。 近三年高考显示，圆的方程考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查。 复习目标 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 圆的标准方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 （3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 必记结论 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 自主检测（1）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是_____________. 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点和点的中点为， 点和点的斜率为，则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 知识点2 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 自主检测点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为，圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离，所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 知识点3 圆的一般方程 1.定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 自主检测过三点的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得，于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 题●型●破●译 题型1 圆的标准方程 例1-1已知点，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 例1-2若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程. 【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为，即， 由，解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式训练1-1】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 故选：D 【变式训练1-2】（2026·四川成都模拟）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【详解】设所求圆的方程为，则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 【变式训练1-3】（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 【变式训练1-4】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理可构造方程求得半径，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程. 【详解】设该圆的半径为，如图， 由题意知：，，， 由勾股定理得：，即，解得：， ，即圆的圆心为，则圆的方程为. 故选：A. 题型2 圆的一般方程 例2-1圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的一般方程是_______． 【答案】 【分析】依题意，设圆心坐标为，根据题意可得出关于的方程，解出的值，可得出圆心坐标，进而可得出圆的标准方程，化为一般方程即可. 【详解】设圆心坐标为，则，解得，所以圆心为， 所以圆的方程为，即． 故答案为：． 例2-2（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，，解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 【变式训练2-1】下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 【变式训练2-2·变考法】已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 【变式训练2-3·变考法】在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________________. 【答案】 【分析】设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得，∴的外接圆方程为． 故答案为： 题型3 二元二次方程表示圆的条件 例3-1若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 例3-2设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得，所以，解得. 故答案为：. 【变式训练3-1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得，则整数m的值为. 故选：B 【变式训练3-2·变考法】 “关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-3】若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，关于的方程表示一个圆或点求解. 【详解】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点，则，即 ， 解得或， 故选：B 题型4 点与圆的位置关系 例4-1已知点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或，由点在圆外，则， 所以，可得，综上，或. 故选：D 例4-2“或”是“定点在圆的外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练4-1】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式训练4-2】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而，所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 【变式训练4-3·变考法】已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出在圆外，在圆上，再利用列举法进行求解概率. 【详解】因为，故点在圆外， ，点在圆外， ，点在圆上， ，点在圆外， 从4个点中任意选择两个点，共有6种情况， 分别为，， 其中两个点都落在圆外的有， 故这两个点都落在圆外的概率为. 故选：A 【变式训练4-4】点在圆外，则a的取值范围为____________. 【答案】或. 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】由，可得， 因为点在圆外，所以， 解得或. 故答案为：或. 题型5 圆过定点问题 例5-1已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即，方程为，满足，故, 故选：B. 例5-2圆恒过的定点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或，故圆恒过定点． 故选：D． 【变式训练5-1·变角度】（2026·河北沧州·阶段检测）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 【变式训练5-2】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式训练5-3·变角度】已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 题型6 与圆有关的对称问题 例6-1若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上，由，得圆心，则，得. 故选：D 例6-2若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解. 【详解】由于在圆上，圆心为，要使关于直线的对称点在圆上，则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 【变式训练6-1】（2026·广东汕头·模拟预测）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设，由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 【变式训练6-2】（2025·广东·模拟预测）若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】圆的标准方程为，圆心为．由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 【变式训练6-3·原创题】圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解. 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，，， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 【变式训练6-4】设曲线关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】利用圆的性质，可知圆心在直线上，即可求. 【详解】表示圆心是，半径的圆，由条件可知，圆心在直线上，即，得. 故答案为： 题型7 与圆相关的最值问题 例7-1已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 例7-2（多选）【新思维】已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由两圆圆心距离加上两半径即可得解判断；对于B，设，直接由坐标计算数量积，再结合一元二次函数性质即可得解判断；对于C，作圆和点N关于l对称的圆和点，由图即可求解最小值判断；对于D，作图观察得到当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为，再求出最大值即可得解. 【详解】由题意可得圆圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为1， 则两圆心距离，即两圆相离， 对于A，由题意可得两圆上的点的距离最大值为，故A正确； 对于B，由题可设，则， 所以当时，取得最小值为，故B错误； 对于C，因为点关于直线对称的点为， 所以点关于直线对称的点为， 所以如图，作圆和点N关于l对称的圆， 则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及M、四点共线时可得的最小值为，故C正确； 对于D，如图可知当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为， 而最大值为，故D正确. 故选：ACD 方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 【变式训练7-1·变载体】（2025·重庆·模拟预测）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得. 【详解】因为所以点在以为直径的圆上，圆的方程为， 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即. 故选：B. 【变式训练7-2】若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围. 【详解】直线，，设与的交点为P， 联立得出， 所以， 因为，所以，所以，所以，所以. 故选：D. 【变式训练7-3·变载体】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 【变式训练7-4·变载体】在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将所求变形成，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解. 【详解】因为动点到两点的距离的平方和为10，所以， 化简上述等式得到动点的轨迹方程为，故点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆． 因为，其中可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【变式训练7-5】若实数x、y满足， 则 的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由题可知表示圆上的点与原点之间的距离的平方，根据圆的性质即得. 【详解】将方程化为，表示以为圆心，半径为3的圆， 表示圆上的点与原点之间的距离， 故表示圆上的点与原点之间的距离的平方， 由可知原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为， 所以的最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：. 题型8 圆的轨迹问题 例8-1【新思维】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 例8-2【新思维】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：使用两点间距离公式结合条件可得的轨迹为圆，进而可得轨迹所围成的面积；法二：由题意得的轨迹为存在一条直径位于轴上的圆，由此求出圆的端点，进而可得半径与面积. 【详解】法一：因为，，设，由得， 平方并整理得，化简并整理得， 故点的轨迹是圆，其半径为，故其面积为. 法二：因为，，，所以的轨迹为一条直径位于轴上的圆， 设此直径的端点坐标为，则或 所以或，所以的轨迹所围成的面积为. 方法技巧 求轨迹方程的步骤 ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答． 【变式训练8-1】（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 【变式训练8-2·变载体】已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为， ∴圆C是以为圆心，半径的圆，∵，点Q为线段中点，∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上，∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离，∴，∴. 故选：B. 【变式训练8-3·变问法】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示， 将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】解：以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为， 由，所以，两边平方化简整理得： ，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以， 化简得：. 由圆方程可知，，所以， 即. 【变式训练8-4·变载体】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________. 【答案】（）. 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程. 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且，    所以弦的中点的轨迹方程且. 故答案为： （）. 【变式训练8-5·变问法】 （2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【详解】设，因为，所以， 化简可得，所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 4．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 5．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列各圆的方程，并画出图形. （1）圆心为点，且过点； （2）过，，三点． 【详解】（1）由题意知半径， 所以圆的方程为：.    （2）设圆的一般方程为：. 将，，代入得： 所以圆的方程为：. 2．已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，求圆C的标准方程． 【答案】 【解析】设圆C的标准方程为， 由题意可得，解得， 因此. 3．圆C的圆心在x轴上，并且过和两点，求圆C的方程． 【答案】 【解析】设圆的圆心坐标为，半径为r，则圆的标准方程为：， 有，解得，所以圆的标准方程为： 4．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 【答案】四点在同一个圆上（证明见解析） 【解析】设过三点的圆的一般方程为. 将三点代入得：. 所以圆的一般方程为. 将点代入得：，满足方程. 所以四点在同一个圆上. 5．已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？ 【答案】（点和除外）； 点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点． 【详解】设另一端点C的坐标为，依题意，得， 由两点间距离公式，得， 化简，得， 因为A、B、C三点不共线，而的方程为， 联立或， 故点C的轨迹方程为（点和除外）， 6．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为的圆. 【详解】设线段AB的中点P（x，y），若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠O为直角，则OPAB，而AB＝2a，∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2+y2＝a2（a＞0）； 若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）． 故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为的圆. 7．已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】，以为圆心2为半径的圆 【详解】设点. 则，化简得： 为以为圆心2为半径的圆. 8．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 【详解】由可得，又因为，所以，即，所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $