第03讲 幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，依据高考命题趋势构建知识框架，涵盖定义、图象、性质及13类典型题型。通过考点梳理、题型技巧归纳、真题训练等环节，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破单调性、最值等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于采用“知识解构-题型破译-方法技巧”三阶教学法，结合真题溯源与课本典例，培养学生数学思维与表达能力。如通过幂函数单调性解不等式训练逻辑推理，二次函数实根分布问题强化符号表达，分层变式训练确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第03讲 幂函数与二次函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 幂函数 知识点2 二次函数及其性质 题型破译 (含超链接） 题型1 幂函数的概念及求值 题型2 幂函数的图象及过定点 题型3 幂函数的单调性和奇偶性 题型4 利用幂函数单调性奇偶性求参数 题型5 利用幂函数单调性解不等式 题型6 利用幂函数比较大小 题型7 二次函数的解析式 题型8 二次函数的图象和性质 【方法技巧】求二次函数解析式的三个策略 【方法技巧】二次函数图象的辨析 题型9 二次函数的实根分布 题型10 二次函数的单调性与最值 【方法技巧】二次函数的最值类型及求解策略 题型11 利用二次函数的单调性求参数 题型12 利用二次函数的最值求参数 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋 核心考点 2026年 2025年 2024年 幂函数 二次函数 全国Ⅰ卷T6（5分） 全国Ⅱ卷T6（5分） 考情分析 幂函数与二次函数是常见的重要函数，是高考常考的热点内容，主要出现在选择题、填空题中，难度较易. 近三年高考显示，函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质. 复习目标 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 幂函数与二次函数 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 幂函数 1.定义：一般地，函数 的称为幂函数，其中是自变量， 为常数 2.幂函数的图象 3. 幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　 　和　 ，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　 　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　 　；当α为偶数时，y＝xα为　 　. 必记结论 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 自主检测已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 知识点2 二次函数及其性质 （1）二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是 ； ②顶点式：()，对称轴是顶点是 ； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （2）二次函数的性质 ①函数的图象关于直线 对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 必记结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. 当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 自主检测（多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 幂函数的概念及求值 例1-1下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 例1-2下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 例1-3已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列函数中，属于幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【变式训练1-4·变考法】（2026·江苏盐城·10月阶段检测）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【变式训练1-5】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 题型2 幂函数的图象及过定点 例2-1【新思维】（多选）（2026高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 例2-2函数的图象是（ ） A．      B．  C．   D．   例2-3（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ） A． B． C． D． 例2-4（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【变式训练2-1】（25-26高三上学期·云南文山·开学考试）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3·变考法】(多选)现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式训练2-4】已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【变式训练2-5】已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图象上，则 ． 题型3 幂函数的单调性和奇偶性 例3-1下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例3-2（2026·山东滨州·检测）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（    ） A． B． C． D． 例3-3【新思维】（2026·山西太原·模拟预测）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1·变考法】下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知函数，则此函数是（    ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【变式训练3-3】幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ． 题型4 利用幂函数单调性与奇偶性求参数 例4-1已知幂函数在上单调递增，则m的值为（    ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 例4-2【新角度】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 ． 【变式训练4-1·变考法】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【变式训练4-2·变考法】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【变式训练4-3·变考法】（2026·湖北武汉·模拟检测）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则 ． 题型5 利用幂函数的单调性解不等式 例5-1（25-26高三上·江苏连云港·阶段测试）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5-2（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是 ． 例5-3（25-26高三上·上海虹口·开学）已知幂函数在上是严格减函数，其中． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【变式训练5-1·变题型】（原创题）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【变式训练5-2·】若，则满足的取值范围是 ． 【变式训练5-3·变考法】试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为 ． 【变式训练5-4·变题型】（25-26高三上·辽宁·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，若，则实数的取值范围是 ． 题型6 利用幂函数比较大小 例6-1（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 例6-2【新思维】（25-26高三上·浙江杭州·开学）已知，那么（    ） A． B． C． D． 例6-3【新角度】 (多选)若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 例6-4【新思维】（2026·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【变式训练6-3】（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4·变考法】若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-5·变考法】已知函数为幂函数，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型7 二次函数解析式 例7-1图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 例7-2已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 ． 例7-3二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围． 方法技巧 求二次函数解析式的三个策略 （1）已知三个点的坐标，宜选用一般式. （2）已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. （3）已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【变式训练7-1】已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练7-3】二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，且，都有，试确定的解析式． 题型8 二次函数的图象和性质 例8-1设，二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 例8-2已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f（4）>f（1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 例8-3若函数，的图象关于直线对称，则 ． 方法技巧 二次函数图象的辨析 【变式训练8-1·变考法】（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【变式训练8-2·变考法】关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【变式训练8-3·变考法】已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C．D． 题型9 二次函数的实根分布 例9-1已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例9-2关于的方程，求为何值时？ （1）方程有唯一实根； （2）方程一根大于1，一根小于1． 【变式训练9-1·变考法】函数在上有零点，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-2·真题改编】已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为 ． 题型10 二次函数的单调性与最值 例10-1函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 例10-2（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的单调递增区间为__________. 例10-3已知函数． （1）当时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 方法技巧 二次函数的最值类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． （2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 【变式训练10-1·变考法】函数的单调递增区间区间为 ． 【变式训练10-2·变考法】在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ． 【变式训练10-3】【新思维】（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 ． 题型11 利用二次函数的单调性求参数 例11-1函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11-2若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【变式训练11-1·变载体】若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2·变载体】（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【变式训练11-4·变载体】（25-26高三上·云南保山·开学考试）定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是 ． 题型12 利用二次函数的最值求参数 例12-1（原创题）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B．-1 C．1 D．或-1 例12-2（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 例12-3已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 【变式训练12-1·变考法】（2026·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练12-2·变考法】已知函数，则“b＜0”是“的最小值与的最小值相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练12-3·载体】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4·真题改编】为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 例13-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例13-2已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-1·变考法】设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2·变考法】（2026·北京·模拟预测）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】【新思维】已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 ． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 5．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若，且，，求的值. 2．已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围. 3．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），. 4．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性. 5．证明：幂函数在区间上是增函数. 6．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明. 7．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性. 8．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 幂函数与二次函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 幂函数 知识点2 二次函数及其性质 题型破译 (含超链接） 题型1 幂函数的概念及求值 题型2 幂函数的图象及过定点 题型3 幂函数的单调性和奇偶性 题型4 利用幂函数单调性奇偶性求参数 题型5 利用幂函数单调性解不等式 题型6 利用幂函数比较大小 题型7 二次函数的解析式 题型8 二次函数的图象和性质 【方法技巧】求二次函数解析式的三个策略 【方法技巧】二次函数图象的辨析 题型9 二次函数的实根分布 题型10 二次函数的单调性与最值 【方法技巧】二次函数的最值类型及求解策略 题型11 利用二次函数的单调性求参数 题型12 利用二次函数的最值求参数 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋 核心考点 2026年 2025年 2024年 幂函数 二次函数 全国Ⅰ卷T6（5分） 全国Ⅱ卷T6（5分） 考情分析 幂函数与二次函数是常见的重要函数，是高考常考的热点内容，主要出现在选择题、填空题中，难度较易. 近三年高考显示，函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质. 复习目标 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 幂函数与二次函数 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 幂函数 1.定义：一般地，函数的称为幂函数，其中是自变量，为常数 2.幂函数的图象 3. 幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 必记结论 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 自主检测已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【详解】设幂函数，代入点可得，即， 可得，因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 知识点2 二次函数及其性质 （1）二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是； ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （2）二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 必记结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. 当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 自主检测（多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在负半轴，所以，此时，符合题意，故A正确； 选项B：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故B正确； 选项C：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，不符合题意，故C错误； 选项D：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故D正确. 故选：ABD 题●型●破●译 题型1 幂函数的概念及求值 例1-1下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A. 【详解】由幂函数定义,形如，为幂函数，对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 例1-2下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C. 【详解】由幂函数的概念可以排除B、D选项，而在是减函数，在是增函数， 故选：C. 例1-3已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 【变式训练1-1】下列函数中，属于幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求. 故选：B. 【变式训练1-2】下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数的定义可知：为幂函数， 且定义域为 ，满足 为奇函数，故A正确； 为偶函数,故排除B选项； 令，∴，所以为非奇非偶函数，C错误； 的定义域为 ，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故D错误， 故选：A． 【变式训练1-3】已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】设，则即， 故选：B． 【变式训练1-4·变考法】（2026·江苏盐城·10月阶段检测）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 【变式训练1-5】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【详解】设幂函数，代入点可得，即， 可得，因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 题型2 幂函数的图象及过定点 例2-1【新思维】（多选）（2026高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 例2-2函数的图象是（ ） A．      B．  C．   D．   【答案】B 【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 例2-3（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 例2-4（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 【变式训练2-1】（25-26高三上学期·云南文山·开学考试）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 【变式训练2-2】函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即时，，图象恒过定点． 故选：B. 【变式训练2-3·变考法】(多选)现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，所以，C选项错误；因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 【变式训练2-4】已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 【变式训练2-5】已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图象上，则 ． 【答案】 【详解】当时，的值与无关，且，故，设将代入，解得，故 故答案为： 题型3 幂函数的单调性和奇偶性 例3-1下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：当时，单调递减，故A错误； 对B： 的定义域为，故为非奇非偶函数，故B错误； 对C：是定义域为的偶函数，且当时，， 即在上单调递增，故C正确； 对D：的定义域为，但， 故不是偶函数，故D错误. 故选：C. 例3-2（2026·山东滨州·检测）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时，函数定义域不是R,不合题意； 时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意， 故选A. 例3-3【新思维】（2026·山西太原·模拟预测）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：由，，得，所以A错误； B选项：由，，得； 又函数是定义在上增函数，所以B正确； C选项：由，，得，所以C错误； D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误； 故选：B. 【变式训练3-1·变考法】下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 故选A. 【变式训练3-2】已知函数，则此函数是（    ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【详解】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 【变式训练3-3】幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ． 【答案】或(答案不唯一) 【详解】幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一)． 题型4 利用幂函数单调性与奇偶性求参数 例4-1已知幂函数在上单调递增，则m的值为（    ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【详解】由题意可得. 故选：A 例4-2【新角度】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 ． 【答案】 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 【变式训练4-1·变考法】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【详解】由于为幂函数，所以，解得或，又函数在上单调递减， 所以，即故当时符合条件． 故选C. 【变式训练4-2·变考法】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 【变式训练4-3·变考法】（2026·湖北武汉·模拟检测）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则 ． 【答案】 【详解】　当时，有，此时，此时为减函数， 不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 故答案为： 题型5 利用幂函数的单调性解不等式 例5-1（25-26高三上·江苏连云港·阶段测试）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设幂函数，因为的图象过点，所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数，又， 所以，所以，解得， 故选：B 例5-2（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数.因为，所以，解得． 故答案为：. 例5-3（25-26高三上·上海虹口·开学）已知幂函数在上是严格减函数，其中． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由已知可得，即，解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有，可得，解得或． 故所求解集为． 【变式训练5-1·变题型】（原创题）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 【变式训练5-2·】若，则满足的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. 故答案为： 【变式训练5-3·变考法】试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】根据题意，不等式等价于， 令函数，定义域为，即解不等式， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 所以对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 【变式训练5-4·变题型】（25-26高三上·辽宁·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，，解得或，所以或， 又的图象关于原点对称，奇函数，所以，所以，在单调递减， 因为，当时，恒成立，当时，由可得， 综上的取值范围是 故答案为： 题型6 利用幂函数比较大小 例6-1（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 故选C. 例6-2【新思维】（25-26高三上·浙江杭州·开学）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数，因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数.因为，所以 所以. 故选B. 例6-3【新角度】 (多选)若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】实数，，满足， ∴，， 如图在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，再作直线， 变换的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故、、正确，错误． 故选：． 例6-4【新思维】（2026·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 【变式训练6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，由于在单调递增，所以，对于，由于单调递减，故.所以. 故选：D 【变式训练6-2】设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【详解】∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故. 故选A. 【变式训练6-3】（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 【变式训练6-4·变考法】若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 【变式训练6-5·变考法】已知函数为幂函数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以，又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 题型7 二次函数解析式 例7-1图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 例7-2已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设，将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 例7-3二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【分析】（1）由函数为二次函数，设出其解析式为，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数的解析式； （2）将在区间上，的图象恒在图象的上方，转化为在上恒成立，即 在上最小值大于零，即可求解. 【详解】（1）由题设， ．又， ， ． （2）当时，的图象恒在图象上方， 所以当时，恒成立，即恒成立． 令，对称轴为，故函数在上单调递减， 当时，， 故，解得，所以实数的取值范围为． 方法技巧 求二次函数解析式的三个策略 （1）已知三个点的坐标，宜选用一般式. （2）已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. （3）已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【变式训练7-1】已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 【变式训练7-2】设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由题意可得①；②． 令，由①得：， 令，由②得，因为， 所以，即. 令，由①得， 解得，所以． 故选：D． 【变式训练7-3】二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，且，都有，试确定的解析式． 【答案】． 【分析】根据可得为对称轴，即可根据对称得两根和，进而代入即可求解. 【详解】因为对任意的恒成立，所以的对称轴为直线． 又的图象在x轴上截得的线段长为2，所以的两根为和． 设的解析式为．又的图象过点，所以，所以． 所以，即． 题型8 二次函数的图象和性质 例8-1设，二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,二次函数，那么可知，在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意； B中，a<0,b>0,c>0，不合题意；C中，a>0,c<0,b>0,不合题意. 故选D. 例8-2已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f（4）>f（1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 【答案】A 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0， 故选：A. 例8-3若函数，的图象关于直线对称，则 ． 【答案】6 【详解】函数的对称轴为：， 依题意，且，解得，，所以. 故答案为：6 方法技巧 二次函数图象的辨析 【变式训练8-1·变考法】（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为，则.由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 【变式训练8-2·变考法】关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【详解】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 【变式训练8-3·变考法】已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 题型9 二次函数的实根分布 例9-1已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，为函数的两个零点． 因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得： ，即，所以．所以，解得：． 故选：C． 例9-2关于的方程，求为何值时？ （1）方程有唯一实根； （2）方程一根大于1，一根小于1． 【答案】（1）或 （2） 【详解】（1）令． 当时，方程变为，即，符合题意； 当时，，． 所以当或时，方程有唯一实根． （2）因为方程有一根大于1，一根小于1．大致图象如图⑤，⑥． 所以必须满足或解得． 所以当时，方程有一根大于1，一根小于1． 【变式训练9-1·变考法】函数在上有零点，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，不符合题意； 当时，，零点为，，符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ① 若，解得， 此时，故零点为0或，符合题意； ② 若，解得，同上成立； ③若，要使函数在有零点， ，又，即； 综上可得 . 故选：D. 【变式训练9-2·真题改编】已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，为方程的两根，则，解得， 故，则， 因函数的两个零点分别在区间内， 则，即，解得，故实数m的取值范围是． 故答案为： 题型10 二次函数的单调性与最值 例10-1函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，最大值为． 故选：A. 例10-2（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【详解】函数有意义，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 例10-3已知函数． （1）当时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】（1）最小值是1，最大值是37 （2）或 【详解】（1）当时, 此时函数的对称轴为； 在上单调递减，上单调递增当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为． （2）在区间上是单调函数则函数对称轴不在区间内 或，即或. 方法技巧 二次函数的最值类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． （2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 【变式训练10-1·变考法】函数的单调递增区间区间为 ． 【答案】 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递增区间是. 【变式训练10-2·变考法】在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ． 【答案】 大 -3 【详解】由已知得，，a，b，c成等比数列，，a<0， 所以，有最大值， 最大值为 故答案为：大；-3. 【变式训练10-3】【新思维】（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 ． 【答案】 【详解】由 所以可知当，即时，函数取到最小值， 故答案为：①；②. 题型11 利用二次函数的单调性求参数 例11-1函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线， 若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾， 若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 例11-2若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性，所以，解得. 故答案为： 【变式训练11-1·变载体】若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：； 对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像： 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是. 故选：D． 【变式训练11-2·变载体】（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在上单调递减知；由在上单调递减知： 当，即满足题意；当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 【变式训练11-3】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式化简得，而， 所以，得． 故答案为：. 【变式训练11-4·变载体】（25-26高三上·云南保山·开学考试）定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令， 根据题意在上恒成立，且在单调递减. 若,则，不符合题意； 若,则，即，解得. 故答案为：. 题型12 利用二次函数的最值求参数 例12-1（原创题）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A 例12-2（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，的最小值是， 若，即时， 则，解得，符合题意； 若，即时，，，不合题意舍去.故. 故选：D. 例12-3已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【详解】（1）由，得对称轴为直线，由，得 ，故在上单调，∴，当时，由 ，得，即，当时，由 ，得，即，综上，当时， ；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为.. 【变式训练12-1·变考法】（2026·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值，由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以，解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 【变式训练12-2·变考法】已知函数，则“b＜0”是“的最小值与的最小值相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意知，最小值为． 令，则， 当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”； 当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”． 故选A． 【变式训练12-3·载体】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 【变式训练12-4·真题改编】为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【答案】． 【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论： ①当时，函数 在区间上单调递增，所以； ②当时，此时，，而， 所以； ③当时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最大值； ④当时，在区间上递增，当时，取得最 大值，则在上递减，上递增，即当 时，的值最小． 故答案为：． 题型13 二次函数的存在与恒成立问题 例13-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 例13-2已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，显然成立当时，显然不成立； 当显然成立；当时，则两根为负，结论成立故. 故选C. 【变式训练13-1·变考法】设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，”是假命题，所以，，,因为，所以在上恒成立， 函数在上单调递增，所以当时，有最小值1， 故的最大值为2，所以. 故选：D. 【变式训练13-2·变考法】（2026·北京·模拟预测）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，即，此时，满足要求； 若，则，此时， 故恒成立，其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得，与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 【变式训练13-3】【新思维】已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，函数的对称轴为：，对任意的，则.记； 由题意，知时不成立，当时，，在上是增函数， ，记.由题意，知，，解得. 当时，，在上是减函数，，记. 由题意，知，解得.综上所述，. 故答案为：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 3．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 5．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若，且，，求的值. 【答案】8 【详解】因为，且，， 则，解方程组可得，则， 所以. 【点睛】已知二次函数的两个零点，既可以代入数值列方程求解系数、写出函数表达式再代入计算，也能直接借助零点写成因式相乘形式简化计算；遇到给出零点的二次函数题目，优先选用因式形式解题，能够大幅简化运算步骤。 2．已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围. 【答案】或 【详解】函数为一元二次函数，对称轴为直线. 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减. 综上可知：k的取值范围为或. 【点睛】二次函数在固定区间单调的关键，是让函数对称轴落在给定区间的外侧，据此划分两种情况列式求解取值范围，这是处理定区间动对称轴题型的通用思路。 3．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设，则在R上为增函数. ，. （2）设，则在上为减函数， ，. 【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题. 4．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性. 【答案】证明见详解. 【详解】证明：的定义域为R. 任取，且，则. ，且，，. ，即. 在上为增函数. 又，为奇函数. 【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题. 5．证明：幂函数在区间上是增函数. 【答案】证明见详解 【详解】在上任取，则， 因为，则，，即. 所以幂函数在区间上是增函数. 【点睛】利用定义证明函数增减是标准解题范式，根式作差时借助有理化变形处理式子，再结合取值范围判断差值正负，这套步骤是无理型幂函数单调性证明的常用方法。 6．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明. 【答案】图像见详解，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析 【详解】. 列表： x … -3 -2 -1 1 2 3 … … 1 1 … 描点，连线.图象如图所示. 定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数. 证明如下：设任意的，且.则. . ，即，在上是增函数. 设任意的，且，则. ，，即. 在上是减函数.是偶函数. 【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题． 7．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性. 【答案】，函数的图象见解析，既不是奇函数也不是偶函数，在上递减. 【详解】依题意设，则，解得，所以. 函数的图象如图，既不是奇函数也不是偶函数，函数在上递减. 【点睛】已知幂函数图像经过定点时，优先使用待定系数确定解析式；依据函数定义域范围可直接判定奇偶属性，再结合指数取值判断函数在正半轴区间的增减变化规律。 8．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 【答案】图像见详解析，偶函数，讨论见解析 【详解】 的图象如图所示， 设的定义域为R. ， 为偶函数. 当时，为增函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且即. 在上为增函数. 当时，为减函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且，即. 在上是减函数. 【点睛】解析式内含绝对值要先拆分成分段函数，依托定义域对称特点判定偶函数；只需论证自变量非负区间的增减情况，再借助图像关于纵轴对称的性质，反向推导另一半区间的单调性，能大幅缩减证明步骤。 42 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $