24.4 一元二次方程的应用 第1课时 (课件) 2026-2027学年冀教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦一元二次方程的变化率应用，涵盖平均增长（降低）率及两次不同变化率问题。课堂以塞罕坝空气优良天数增长实例导入，衔接方程解法，通过“情境—建模—求解”支架，引导学生从实际问题抽象数学关系。 亮点在于融合数学核心素养，用塞罕坝、大棚种植等真实情境培养数学眼光，通过探究与典例发展推理能力，归纳公式强化模型观念。练习贴近生活，助学生用数学语言表达问题，教师可依托清晰结构与实例提升教学效果。

第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第1课时 变化率问题 冀教版九年级上册 知识点1 平均增长（降低）率问题 ① 塞罕坝机械林场，地处河北省围场满族蒙古族自治县境内．几十年来，通过几代塞罕坝人的艰苦努力，荒原沙地变成了具有百万亩林海的一道绿色屏障，成为我国“生态文明建设的范例”．该林区对于防止土壤流失，改善周边地区的空气质量，起到了一定的作用．随着森林覆盖面积不断增加，周边空气的质量也得到了很大改善．据统计，围场县城2018年空气优良的天数为321天，2020年空气优良的天数为337天. 探索新知 一起探究 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为x%，请解决下面的问题: 1．根据题意列出方程. 2．依据1中所列方程，求该县这两年空气优良天数的年平均增长率.(结 果精确到0.1%，可借助计算器计算) 解方程，得x1=2.5，x2=-202.5（不合题意，舍去） 答：该县这两年空气优良天数的年平均增长率为20%. 321（1+x%）²=337. 归纳 关于增减变化问题，若一个量经过两个时期由a变为b，第一期的增长率为x，第二期的增长率为y，则有等式 a(1＋x)(1＋y)=b．当增长率为负数时，表示负增长. 3 例1 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：搭建一个面积为x公顷的大棚，所需建设费用与x+2成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与x2成正比例，比例系数为6.某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.（注：总费用=建设费用+内部设备费用） 解：依题意，得1.8（x+2）+6x2=4.2. 整理，得10x2+3x-1=0. 解方程，得x1=0.2，x2=-0.5（不合题意，舍去）. 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷. 典例精析 4 归纳 利用一元二次方程解决平均增长（降低）率问题 a（1±x）n=b 其中a为起始量，b为增长（降低）后的量，x为平均增长（降低）率，n为增长（降低）的次数. 5 知识点2 两次变化率不同问题 ② 例2 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件. 如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少? 解：设第一次降价的百分率是x， 则第二次降价的百分率是2x . 依题意，得3 000（1-x）（1-2x）=2 160. 整理，得50x2－75x+7=0. 解方程，得x1=0.1=10％，x2=1.4（不合题意，舍去）. 答：第一次降价的百分率是10％，第二次降价的百分率是20％. 探索新知 6 变化率问题 增长率 降低率 a(1+x)n=b a(1-x)n=b a为增长前的量，x为增长（降低）率， n为增长（降低）次数，b为增长（降低）后的量 课堂小结 7 1.红星电池厂某年 月的电池产量 如图所示.设从2月到4月，该厂电池产 量的月平均增长率为 ，根据题意可列 方程为( ) B A. B. C. D. 随堂练习 8 2.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分 率相同，则每次降价的百分率为( ) C A. B. C. D. 9 3.［教材习题 变式］某厂把500万元资金投入新品生产，一年后获 得一定利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年 多，这样第二年净得利润112万元.设第一年的利润率为 . （1）根据题意可列方程为__________________________； （2）第一年的利润率为______. 10 4. 国土资源部开展“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，2024年有耕地7200亩，经过改造后，2026年有耕地8712亩. （1）求该村耕地这两年的平均增长率； 解：设该村耕地这两年的平均增长率为 ，依题意得 ，解得， （舍去）. 答：该村耕地这两年的平均增长率为 . 11 （2）按照（1）中平均增长率，求2027年该村拥有耕地多少亩. 解： （亩）. 答：2027年该村拥有耕地 亩. 12 5.［教材复习题 变式］两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设 较小的奇数为 ，则根据题意列出的方程正确的是( ) B A. B. C. D. 13 6.亮亮在算一个负数的2倍时，误算成了这个负数的平方.最后发现两个 结果的和为3，则这个数为____. 14 7. 在苏轼笔下的《念奴娇·赤壁怀古》中，周瑜年少有为，文采风流， 雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符.”请你根据诗歌内容求周瑜去世的年龄. 15 解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为 ， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， ， 由题意，而立之年督东吴，得，所以 ， 所以 舍去， 所以周瑜去世的年龄为36岁. 16 8.某市计划用未来两年的时间使城区绿化面积“翻一番”（“翻一番”表示 变为原来的2倍），若平均每年城区绿化面积的增长率为 ，则下列所 列方程中正确的是( ) A A. B. C. D. 17 9.在某年12月的日历上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的4 个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为____. 19 18 10.某商店4月的营业额为50万元，5月下降 ，6、7月连续增长，7月 的增长率比6月增加了5个百分点，营业额达到48.3万元，则6月的营业 额增长率为______. 19 11. “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第1天进馆48人次，进馆人次逐日增加，到第3天结束累计进馆228人次，若进馆人次的日平均增长率相同. （1）求进馆人次的日平均增长率； 解：设进馆人次的日平均增长率为 ，根据题意，得 ，解得 ， （舍去），进馆人次的日平均增长率为 . 20 （2）预计第4天进馆人次会继续增长，但增长率不会超过前两天的日平 均增长率.已知第4天上午已进馆86人次，则第4天余下时间最多还能进 馆多少人次？ 解：设第4天余下时间能进馆 人次，由题意，得 ，解得， 第4天余下时间最多还能进 馆76人次. 21 12. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通 过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.其中4月份再生纸 产量为500吨. 22 （1）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增 加，每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润 达到66万元，求 的值； 解：依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答： 的值为20. 23 （2）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4月份至6月份每吨再生纸利 润的月平均增长率都与6月份再生纸产量比上月增加的百分数相同，6月 份再生纸项目月利润比上月增加了 ，求6月份每吨再生纸的利润. 解：设4月份至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸 的产量为 吨， 依题意，得 ， . 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元. 24 $