第二单元 第 2 课时 用尺规作图展开周长（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“用尺规作图展开周长”核心知识点，承接周长概念认知，系统梳理尺规截取边长、依次展开测量周长的实操方法，涵盖规则多边形、不规则图形及化曲为直等知识模块，为后续周长公式推导筑牢实操与逻辑基础。 该资料通过分层习题设计（基础夯实、能力拓展、思维培优）和高频易错预警，渗透转化化归、累加等数学思想，培养量感、空间观念与动手操作能力。例如用绕线法测量圆形周长，直观体现化曲为直思想，课中辅助教师实操教学，课后助力学生查漏补缺，深化周长本质认知。

第 2 课时 用尺规作图展开周长 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心实操方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 2 考点一：尺规展开周长的基本操作方法 2 考点二：规则多边形的周长展开 4 考点三：不规则图形的周长展开与化曲为直 5 考点四：周长展开的测量与实际应用 6 第三部分 高频易错预警与避坑指南 7 易错点 1：量取边长时圆规张口偏移，边长截取不准 7 易错点 2：展开时边未首尾相接，出现空隙或重叠 7 易错点 3：漏边或重复边，边数与原图不对应 8 易错点 4：曲线图形测量时细线有弹性，拉伸后长度不准 8 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 9 一、基础夯实达标练（6 题） 9 二、能力拓展提升练（4 题） 9 三、思维拓展培优练（2 题） 9 四、数学活动拓展 10 第五部分 习题精准解析与知识点睛 11 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 “周长与面积” 单元的操作实践核心课，承接第 1 课时周长的概念认知，聚焦用直尺和圆规将图形的边依次展开在直线上、通过测量直线段长度得到周长的实操方法，核心渗透 “化折为直、化曲为直” 的转化思想，掌握尺规截取等长线段的基本技能，建立 “周长 = 所有边长之和” 的量化认知。全课时围绕空间观念、量感、几何直观、动手操作能力四条新课标核心素养主线，建立 “概念回顾 — 尺规实操 — 方法提炼 — 测量应用” 的完整实践闭环，是周长从直观概念走向量化测量的关键过渡，为后续长方形、正方形周长公式推导筑牢实操与逻辑基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 尺规展开的基本操作 用圆规量取边长、在直线上依次截取等长线段，实现边的展开 尺规截取法、逐边平移法 圆规张口偏移，边长截取不准 规则多边形周长展开 长方形、正方形、正多边形的逐边展开，累加得到周长 逐边展开法、对称简化法 漏画边、重复画边，边数不对应 不规则图形周长展开 任意封闭多边形的周长展开，化折线为直线 化折为直法、逐段累加法 边与边未首尾相接，出现空隙或重叠 化曲为直拓展测量 曲线图形周长的转化测量，绕线法、滚动法的原理 化曲为直法、等效替代法 曲线拉伸变形，测量误差过大 二、核心实操方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 尺规截取法 所有多边形周长展开 画直线定起点→圆规量取单边长→直线上依次截取→累加得总长 圆规量，直尺截，边边相接不重叠 逐边展开法 规则 / 不规则多边形 按顺序数清边→逐条平移到直线上→首尾相连成线段 先数边，再展开，一条一条接起来 化曲为直法 曲线图形周长 细线绕边线一周→拉直细线→直尺测长度 曲线变直线，周长不变好测量 累加验证法 展开后周长计算 数清边数→分别测长度→求和验证结果 展开算总长，和原周长要相等 三、课时数学思想与素养提升 1. 转化化归思想：化折为直、化曲为直 核心要义：将折线、曲线形态的周长，通过尺规截取、绕线等方式转化为一条可直接测量的直线段，把复杂的折线长度问题转化为简单的线段测量问题，实现化繁为简、化新为旧，是几何测量的核心底层思想。 典型范式：三角形的三条边是折线，无法直接用直尺量总长，通过尺规依次把三条边截取到同一条直线上，拼成一条长线段，直接测量线段长度就是三角形的周长。 2. 累加思想：周长的本质是边长之和 核心要义：封闭图形的周长就是所有边的长度总和，展开的过程本质就是把所有边的长度平移累加，最终拼成一条总线段，总线段的长度就是各边长度之和，从操作层面验证 “周长 = 各边长度和” 的本质。 典型范式：长方形有 2 条长、2 条宽，展开后依次是长、宽、长、宽四段，总长度就是 2 条长加 2 条宽的和，直观呈现长方形周长的构成。 3. 度量思想：统一标准的精准测量 核心要义：周长是可度量的长度，通过尺规作图实现边长的精准平移，再借助统一的长度单位进行测量，得到精准的周长数值，培育严谨的度量意识与量感，是新课标 “图形的测量” 领域的核心培育目标。 典型范式：用圆规截取边长保证长度完全相等，用带刻度的直尺测量总长度，保证单位统一、数值精准，体现几何测量的严谨性。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：尺规展开周长的基本操作方法 典型例题 1（基础层级）—— 三角形的周长展开 题目：用尺规作图的方法，把下面三角形的周长展开在一条直线上。 思路点拨： ① 第一步明确原理：周长是图形一周的总长度，把所有边依次首尾相接摆在一条直线上，总长度和周长完全相等； ② 第二步规范操作：用圆规量取边长时，要精准对准端点，移动圆规时不能改变张口大小，保证截取的长度和原边长相等； ③ 第三步验证结果：展开后数线段段数，和三角形的边数一致（3 条），没有多也没有少，首尾相接没有空隙，展开就正确。 【答案】将三角形三条边依次截取到直线上，拼成线段 PS，PS 的长度就是三角形的周长 【知识点睛】尺规展开周长的基本操作四步曲： 1. 定起点：画一条直线，确定起始端点； 2. 量边长：圆规两个脚尖对准边的两个端点，固定张口，精准量取边长； 3. 依次截：从起点开始，将每条边按顺序依次截取到直线上，前一条的终点就是后一条的起点，首尾相接； 4. 得总长：所有边都截取完成后，起点到最后一个端点的线段总长度，就是图形的周长。 操作核心是圆规张口不能变，保证截取的长度和原边长完全相等，这是展开准确的关键。 典型例题 2（提升层级）—— 操作规范判断 题目：判断下面的尺规展开操作是否正确，并说明理由。 （操作：展开四边形周长时，圆规量完第一条边后，调小了张口再量第二条边） 思路点拨： ① 回忆尺规展开的核心要求：量取哪条边，圆规张口就要和那条边的长度一致，量不同的边要重新调整张口； ② 分析操作：量第二条边时调小张口是可以的，只要量每条边时，圆规张口都对应那条边的实际长度就可以； ③ 判定结论：操作正确，因为不同的边长度不同，圆规张口需要对应调整，只要每条边截取时长度准确即可。 【答案】正确，不同边长可以调整圆规张口，保证每条边截取长度与原图一致即可 【知识点睛】尺规展开时，不是全程不能调圆规张口，而是量取某一条边的过程中，张口不能变，保证截取的长度和这条边相等。不同的边长度不同，自然要调整圆规张口对应不同的边长，这是正常操作，不属于错误。 考点二：规则多边形的周长展开 典型例题 1（基础层级）—— 长方形的周长展开 题目：用尺规作图展开长 4cm、宽 2cm 的长方形的周长。 思路点拨： ① 第一步数清边数：长方形有 4 条边，2 条长、2 条宽，展开后一共要有 4 段线段； ② 第二步按序展开：可以按 “长→宽→长→宽” 的顺序依次截取，也可以按其他顺序，只要把 4 条边都包含进去即可； ③ 第三步验证计算：展开后总长度 = 4+2+4+2=12cm，和长方形周长公式计算结果一致，说明展开正确。 【答案】将长方形四条边依次截取到直线上，总线段长 12cm 就是长方形的周长 【知识点睛】长方形周长展开的技巧：长方形对边相等，2 条长长度相同，2 条宽长度相同，量完第一条长之后，第二条长可以用同一个圆规张口直接截取，不用重新量，能提升操作效率。展开的过程也直观验证了 “长方形周长 =（长 + 宽）×2” 的算理，就是 2 组长和宽的和。 典型例题 2（提升层级）—— 正六边形的周长展开 题目：用尺规展开边长为 1.5cm 的正六边形的周长，说一说有什么简便方法。 思路点拨： ① 正六边形的特点：6 条边长度都相等，都是 1.5cm； ② 简便方法：只用圆规量一次边长，固定张口不变，在直线上连续截取 6 次，首尾相接； ③ 结果验证：6 段都是 1.5cm，总长度 = 1.5×6=9cm，就是正六边形的周长。 【答案】量一次边长，连续截取 6 段，总长度 9cm 就是正六边形的周长 【知识点睛】正多边形（所有边长度都相等的多边形）的周长展开，有简便方法：只需要用圆规量一次边长，固定张口不变，在直线上连续截取和边数相同的段数即可，不用每条边都重新量。正 n 边形就截取 n 段，总长度 = 边长 × 边数，这也是正多边形周长公式的直观来源。 考点三：不规则图形的周长展开与化曲为直 典型例题 1（基础层级）—— 不规则四边形的周长展开 题目：用尺规展开下面不规则四边形的周长。 思路点拨： ① 第一步按顺序标记四条边，确定展开的先后顺序； ② 第二步用圆规分别量取每条边的长度，在直线上依次截取，首尾相接； ③ 第三步数段数验证，一共 4 段，和四边形的边数一致，总长度就是周长。 【答案】将四条边依次截取到直线上，总线段长度就是四边形的周长 【知识点睛】不规则多边形的周长展开，和规则多边形方法完全一致，核心都是 “逐边量取、依次截取、首尾相接”。不规则图形没有相等的边，每条边都要单独量取圆规张口，不能偷懒复用。展开时可以按顺时针或逆时针的顺序逐条展开，避免漏边、重边。 典型例题 2（拓展层级）—— 曲线图形的化曲为直 题目：怎样测量圆形硬币的周长？说一说方法和原理。 思路点拨： ① 方法名称：这种方法叫做绕线法，属于 “化曲为直” 的测量方法； ② 核心原理：细线绕曲线一周的长度和周长相等，拉直后就变成了直线段，可以直接用直尺测量； ③ 和尺规展开的联系：本质都是把不规则的周长转化为直线段测量，和多边形展开的思想完全一致。 【答案】用绕线法（或滚动法），化曲为直，将曲线周长转化为直线段测量 【知识点睛】对于有曲线边的图形，不能用圆规直接截取边长，就要用 “化曲为直” 的方法。常用的有两种：① 绕线法：用无弹性细线绕边线一周，拉直测量；② 滚动法：让图形沿直线滚动一周，测量滚动的距离。核心思想都是周长不变，形态转化，和尺规展开的转化思想一脉相承。 考点四：周长展开的测量与实际应用 典型例题 1（基础层级）—— 展开后测量周长 题目：将三角形周长展开在直线上后，测量得到总线段长 8 厘米，这个三角形的周长是多少？ 思路点拨： ① 回忆展开的原理：把图形的边展开到直线上，总长度和周长完全相等，长度没有发生变化； ② 对应关系：展开后的线段总长 = 原图形的周长； ③ 得出结论：线段长 8 厘米，三角形的周长就是 8 厘米。 【答案】8 厘米 【知识点睛】尺规展开周长的本质是平移边长，只改变了边的位置和形态，不改变边的长度，因此展开后的总线段长度和原图形的周长完全相等。这也是我们可以通过测量展开线段得到周长的根本原理。 典型例题 2（提升层级）—— 实际场景应用 题目：手工课上，要给一个五边形的相框贴装饰条，怎样快速知道需要多长的装饰条？ 思路点拨： ① 分析问题：装饰条的长度就是五边形相框的周长，需要测量周长； ② 方法选择：可以用尺规展开的方法，把五边形的五条边依次展开在直尺上，直接读出总长度； ③ 也可以用软尺直接绕相框一周测量，本质和展开法一致，都是得到一周的总长度。 【答案】测量出五边形的周长即可，可用尺规展开法或软尺测量法 【知识点睛】生活中测量物体周长的场景，本质都是 “化曲为直、化折为直” 的思想应用。规则物体可以分别量边长再求和，不规则物体可以用绕线、软尺测量，核心都是得到一周的总长度，和课堂上的尺规展开方法原理相通。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：量取边长时圆规张口偏移，边长截取不准 错误范式：用圆规量边长时，手滑导致圆规脚尖错开，截取的线段比原边长短。 成因剖析：操作不熟练，圆规握持不稳，量取边长后移动过程中张口发生变化，导致长度失真。 避坑方案：量取边长时，轻轻捏紧圆规顶端，保持力度均匀；移动到直线上时，先落针尖再画弧，全程不要挤压圆规两腿；截取完成后，可以用圆规再比对一次原边长，验证长度是否一致。 易错点 2：展开时边未首尾相接，出现空隙或重叠 错误范式：第二条边的起点没有对准第一条边的终点，中间有空隙，导致总长度比周长长或短。 成因剖析：对 “依次展开、首尾相接” 的要求理解不到位，画弧交点定位不准，没有严格对齐端点。 避坑方案：每截取一条边，都以前一条边的终点作为圆心画弧；弧与直线的交点就是下一条边的终点，确保端点完全重合；全部展开后，检查段数和边数是否一致，没有重叠、没有空隙。 易错点 3：漏边或重复边，边数与原图不对应 错误范式：展开四边形时，只截取了 3 条边，漏掉了一条边，导致总长度偏短。 成因剖析：展开前没有数清边数，操作时顺序混乱，容易漏边或重复画同一条边。 避坑方案：展开前先给图形的每条边标上序号，按序号顺序依次展开；展开完成后，数一下直线上的线段段数，和原图的边数一一对应，数量一致再进行测量。 易错点 4：曲线图形测量时细线有弹性，拉伸后长度不准 错误范式：用有弹性的橡皮筋绕硬币一周，拉直后测量，结果比实际周长大。 成因剖析：没有选用无弹性的细线，拉伸过程中线被拉长，导致测量结果偏大。 避坑方案：化曲为直测量时，必须选用无弹性的棉线、细线；绕线时轻轻贴合边线，不要用力拉扯；拉直测量时保持自然伸直，不要用力拉伸细线，确保长度准确。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空：用尺规将图形的边展开在直线上，总线段的长度就是图形的______，这个过程中______不变。 2. 判断：尺规展开周长时，圆规的张口全程都不能调整。（ ） 3. 长方形有______条边，展开周长时一共要截取______段线段。 4. 说一说：尺规展开三角形周长的基本步骤是什么？ 5. 判断：绕线法测量圆形周长，利用了 “化曲为直” 的思想。（ ） 6. 正方形边长 2 厘米，用尺规展开后，总线段长______厘米。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择题：下面哪种方法不能测量不规则树叶的周长？（ ） A. 绕线法 B. 尺规逐边展开法 C. 滚动法 8. 一个五边形的五条边分别是 2cm、3cm、2cm、4cm、3cm，按顺序展开在直线上，总长度是多少厘米？ 9. 用尺规展开长 3cm、宽 2cm 的长方形周长，画出展开后的线段图，并标注每段长度。 10. 为什么用绕线法测量的细线长度，就等于圆形的周长？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一个正多边形，用尺规量一次边长后，连续截取了 5 次刚好展开完，这个图形是正______边形，若边长 2 厘米，周长是______厘米。 12. 把一个长方形的周长展开在直线上，总长度是 20 厘米，已知长是 6 厘米，宽是多少厘米？ 四、数学活动拓展 实践活动：测量身边物体的周长 活动任务： 1. 选择身边的一个多边形物体（比如数学书封面、三角尺）； 2. 用尺规展开的方法，把它的周长展开在纸上，测量出周长； 3. 再用软尺（或细线 + 直尺）测量一次，对比两次结果是否一致； 4. 记录操作过程，说一说你发现了什么。 要求：动手实操，规范使用圆规和直尺，体会化折为直的思想。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 周长；长度 思路点拨： ① 回忆尺规展开的原理，展开后的总线段长度和周长相等； ② 展开只是改变了边的位置和形态，边的长度没有发生变化； ③ 依次填入对应关键词。 【知识点睛】本题考查尺规展开的核心原理，周长的本质是长度和，展开不改变长度，只改变形态。 2. 【答案】 思路点拨： ① 量同一条边时，圆规张口不能变，保证截取长度准确； ② 不同的边长度不同，需要调整圆规张口对应不同的边长； ③ 不是全程不能调，而是量单条边的过程中不能变，因此说法错误。 【知识点睛】圆规张口的调整规则：同一条边全程不变，不同边按需调整，核心是保证截取长度与原边相等。 3. 【答案】 4；4 思路点拨： ① 长方形是四边形，有 4 条边； ② 展开周长就是把 4 条边都截取到直线上，所以一共 4 段线段； ③ 段数和边数一一对应。 【知识点睛】多边形有几条边，展开后就有几段线段，段数 = 边数，这是验证是否漏边的重要方法。 4. 【答案】 ① 画一条直线，定起点；② 用圆规依次量取三角形的三条边；③ 从起点开始，在直线上依次截取三条边，首尾相接；④ 起点到最后终点的总长度就是周长。 思路点拨： ① 分步骤梳理操作流程，先准备工作，再量边截取，最后得到结果； ② 突出 “依次、首尾相接” 的核心要求； ③ 表述清晰，步骤完整。 【知识点睛】本题考查尺规展开的基本操作步骤，必须熟练掌握四步流程，这是本课时的核心技能。 5. 【答案】 思路点拨： ① 绕线法把弯曲的边线，转化为拉直的细线，也就是直线段； ② 属于典型的化曲为直思想； ③ 说法正确。 【知识点睛】化曲为直是测量曲线图形周长的核心思想，和多边形的化折为直本质都是转化思想。 6. 【答案】 8 思路点拨： ① 正方形 4 条边都相等，边长 2 厘米，周长 = 2×4=8 厘米； ② 展开后总长度和周长相等，所以是 8 厘米； ③ 也可以通过展开 4 段 2 厘米的线段求和验证。 【知识点睛】正方形周长展开，四条边长度相同，量一次就能截取全部，总长度 = 边长 ×4。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】 B 思路点拨： ① 树叶是曲线边缘，没有直的边，不能用尺规逐边截取； ② 绕线法、滚动法都可以化曲为直测量周长； ③ 因此尺规逐边展开法不适用，选 B。 【知识点睛】尺规展开法适用于多边形（全是直边），曲线图形要用化曲为直的方法测量。 8. 【答案】 14 厘米 思路点拨： ① 展开后的总长度就是五条边的长度和； ② 列式计算：2+3+2+4+3=14 厘米； ③ 总长度就是五边形的周长。 【知识点睛】多边形展开后的总长度 = 所有边长之和，也就是周长，直接求和即可计算。 9. 【答案】 展开后依次是 3cm、2cm、3cm、2cm 四段，总长 10cm 思路点拨： ① 长方形对边相等，两条长 3cm，两条宽 2cm； ② 按顺序展开，首尾相接，四段依次排列； ③ 总长度 = 3+2+3+2=10cm。 【知识点睛】长方形周长展开的直观呈现，能清晰看到 2 组长和宽的和，为后续周长公式学习积累直观经验。 10. 【答案】 因为细线沿着圆形边线绕一周，细线的长度和圆形一周的长度完全相等；拉直细线后长度不变，所以测量细线的长度就是圆形的周长。 思路点拨： ① 第一步说明绕线时长度相等：细线贴合边线一周，长度 = 周长； ② 第二步说明拉直后长度不变：细线只是形态变直，总长度没有变； ③ 第三步得出结论：细线长度 = 周长。 【知识点睛】化曲为直的核心原理是周长不变，形态转化，通过转化把不可直接测量的曲线变成可测量的直线。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 五；10 思路点拨： ① 连续截取几次，就有几条边，截取 5 次说明是 5 条边，是正五边形； ② 周长 = 边长 × 边数 = 2×5=10 厘米； ③ 正多边形每条边相等，量一次就能截取全部边。 【知识点睛】正多边形周长展开的简便方法，量一次边长，截取边数次即可，周长 = 边长 × 边数。 12. 【答案】 4 厘米 思路点拨： ① 展开总长度就是长方形的周长，周长 20 厘米； ② 长方形周长 =（长 + 宽）×2，所以长 + 宽 = 20÷2=10 厘米； ③ 宽 = 10-6=4 厘米。 【知识点睛】逆向应用周长展开的结果，已知周长和长求宽，巩固长方形周长的构成，深化对周长公式的理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程与结论： 1. 示例物体：数学书封面（长方形）； 2. 尺规展开：量取长和宽，依次展开 4 条边，测量总长度约为 88 厘米； 3. 细线测量：用细线绕封面一周，拉直测量约为 88 厘米； 4. 发现：两种方法测量结果基本一致，都等于物体的周长，都运用了化折为直的思想，尺规法更精准，细线法更便捷。 【知识点睛】通过实际操作验证方法的一致性，能深化对周长概念和测量方法的理解，提升动手实践能力，体会数学方法在生活中的应用价值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $