第二单元 第 6 课时 长方形和正方形的面积（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦长方形和正方形面积公式这一核心知识点，承接前5课时周长计算、面积概念及面积单位认知基础，通过“铺摆面积单位—数方格计数—抽象提炼公式”路径推导公式，为后续组合图形面积计算筑牢模型根基。 该资料以操作探究为核心，通过铺摆法推导公式培养推理意识，分层练习适配不同学生能力，易错预警精准规避公式混淆等问题，数学活动提升应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第 6 课时 长方形和正方形的面积 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 2 考点一：长方形面积公式的推导与计算 2 考点二：正方形面积公式的推导与计算 4 考点三：周长与面积的对比辨析 6 考点四：面积公式的实际应用 7 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：面积公式与周长公式混淆，乱用公式 8 易错点 2：面积单位写成长度单位，单位类型错误 8 易错点 3：正方形面积与周长计算混淆，乘 4 和乘边长搞混 8 易错点 4：长和宽单位不统一，直接相乘计算 8 易错点 5：逆向应用逻辑错误，面积加减边长 9 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 10 三、思维拓展培优练（2 题） 11 四、数学活动拓展 11 第五部分 习题精准解析与知识点睛 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 “周长与面积” 单元的核心公式课，承接前 5 课时周长计算、面积概念、面积单位的认知基础，通过 “铺摆面积单位 — 数方格计数 — 抽象提炼公式” 的完整探究路径，正式推导长方形面积公式、正方形面积公式，理解公式的底层算理，掌握公式的正向计算与逆向应用，能区分周长与面积的意义、公式与单位。全课时围绕空间观念、推理意识、模型意识、应用意识四条新课标核心素养主线，建立 “操作探究 — 算理推导 — 公式建模 — 分层应用 — 辨析对比” 的完整认知闭环，是整个面积单元的核心计算基础，为后续面积实际应用、组合图形面积计算筑牢公式模型根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 长方形面积公式 铺摆法推导算理，公式，正向计算面积 铺摆探究法、数格归纳法、公式法 与周长公式混淆，长和宽单位不统一直接计算 正方形面积公式 由长方形公式类推，公式，正向计算面积 类比迁移法、公式法 与正方形周长公式混淆，误算为边长 ×4 公式逆向应用 已知面积求长 / 宽、求边长，乘除互逆推导 逆推法、乘除互逆法 逆向计算时用错运算，面积直接加减边长 周长与面积辨析 意义、公式、单位三维对比，场景适配判断 对比辨析法、场景建模法 概念混淆，求面积用周长公式，单位混用 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 铺摆推导法 面积公式探究 用单位正方形铺摆→数每行个数与行数→相乘得总面积→提炼公式 每行个数对应长，行数对应宽，长乘宽得面积 公式直接法 已知长宽 / 边长求面积 识别图形→代入对应面积公式→计算出结果 长方形，长乘宽；正方形，边长乘边长 逆推公式法 已知面积求边长 / 长宽 面积 ÷ 长 = 宽；面积 ÷ 宽 = 长；想乘法求正方形边长 面积除长得宽，面积除宽得长 对比辨析法 周长面积区分题 看问题求长短还是大小→对应公式→匹配单位 周长求线长，面积求面大，公式单位不混淆 三、课时数学思想与素养提升 1. 归纳推理思想：面积公式的自主建构 核心要义：通过多个不同长宽的长方形铺摆实验，观察 “每行个数、行数、总个数” 与 “长、宽、面积” 的对应关系，从多个具体案例中归纳出通用的面积计算公式，经历 “特殊→一般” 的推理过程，是推理意识在几何领域的核心体现。 典型范式：分别测量长 3cm 宽 2cm、长 5cm 宽 3cm、长 4cm 宽 4cm 的长方形面积，都符合 “长 × 宽 = 面积” 的规律，从而归纳出通用的长方形面积公式。 2. 建模思想：面积计算的数学模型 核心要义：将所有长方形的面积计算，抽象为 “长 × 宽” 的标准化数学模型，用字母公式统一表达，实现从具体操作到抽象公式的跃升，所有长方形的面积计算都可以代入模型快速求解，是模型意识的核心培育路径。 典型范式：不管是课本封面、教室地面、菜地草坪，只要是长方形，都可以用的公式计算面积，同一个模型适配所有同类场景。 3. 数形结合思想：公式的直观支撑 核心要义：抽象的面积公式背后，有直观的方格图、铺摆图作为支撑，数与形一一对应，让公式不是死记硬背的结论，而是有直观算理支撑的规律，深化对公式的理解，是几何直观的核心体现。 典型范式：看到 “长 × 宽”，就能联想到每行摆几个、摆几行的方格图，理解公式本质是单位面积的累加，而非无意义的数字相乘。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：长方形面积公式的推导与计算 典型例题 1（基础层级）—— 公式推导探究 题目：用 1 平方厘米的小正方形铺长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形，推导长方形的面积公式。 思路点拨： ① 第一步数方格计数：每行有 5 个小正方形，共 3 行，总个数是个，每个面积 1 平方厘米，因此长方形面积是 15 平方厘米； ② 第二步找对应关系：每行摆的个数正好等于长的厘米数，摆的行数正好等于宽的厘米数，小正方形总个数正好等于面积的数值； ③ 第三步归纳公式：小正方形总个数 = 每行个数 × 行数，对应推出长方形的面积 = 长 × 宽，字母表达式为。 【答案】长方形面积 = 长 × 宽，字母公式，该长方形面积 15 平方厘米 【知识点睛】长方形面积公式的推导核心是单位面积累加原理：用统一的面积单位铺满图形，单位的总个数就是面积的数值。通过铺摆探究发现：长方形的长是几厘米，每行就能摆几个 1 平方厘米的正方形；宽是几厘米，就能摆几行。因此长方形的面积 = 长 × 宽，用字母表示为，其中表示面积，表示长，表示宽。 计算注意事项：① 长和宽的单位必须统一，再相乘计算；② 面积单位是对应长度单位的平方单位，如长、宽用厘米，面积单位就是平方厘米。 典型例题 2（提升层级）—— 正向计算面积 题目：一个长方形花坛，长 12 米，宽 8 米，它的占地面积是多少平方米？ 思路点拨： ① 分析问题：求占地面积就是求长方形的面积，使用长方形面积公式； ② 代入公式：长方形面积 = 长 × 宽，列式为； ③ 匹配单位：长和宽的单位是米，面积单位就是平方米，因此结果是 96 平方米。 【答案】96 平方米 【知识点睛】已知长和宽求长方形面积，直接代入公式 “长 × 宽” 计算即可。解题时先判断图形类型，再对应选择公式，最后注意单位名称要写面积单位，不能写成周长的长度单位。 典型例题 3（拓展层级）—— 逆向求宽 题目：一个长方形的面积是 48 平方分米，长是 8 分米，宽是多少分米？ 思路点拨： ① 回忆公式变形：长方形面积 = 长 × 宽，根据乘除互逆关系，宽 = 面积 ÷ 长； ② 代入数值计算：分米； ③ 正向验证：长 8 分米，宽 6 分米，面积平方分米，与题目条件一致，结果正确。 【答案】6 分米 【知识点睛】长方形面积公式的逆向应用核心公式变形： · 长 = 面积 ÷ 宽 · 宽 = 面积 ÷ 长 · 已知面积和其中一条边的长度，求另一条边，用除法计算。计算完成后要正向代入公式验算，确保结果正确。 考点二：正方形面积公式的推导与计算 典型例题 1（基础层级）—— 公式推导 题目：边长 4 厘米的正方形，它的面积是多少？推导正方形面积公式。 思路点拨： ① 第一步类比迁移：正方形是特殊的长方形，长和宽相等，都叫边长，因此可以沿用长方形面积公式； ② 第二步对应推导：长方形面积 = 长 × 宽，正方形的长和宽都是边长，因此正方形面积 = 边长 × 边长； ③ 第三步计算验证：平方厘米，和数方格的结果一致，公式成立。 【答案】16 平方厘米，正方形面积 = 边长 × 边长，字母公式 【知识点睛】正方形是长和宽相等的特殊长方形，因此由长方形面积公式可类推出正方形的面积公式：正方形的面积 = 边长 × 边长，用字母表示为，也可以写作，读作 “a 的平方”，表示两个 a 相乘。 注意区分：正方形周长 = 边长 ×4，正方形面积 = 边长 × 边长，二者意义、公式完全不同，不能混淆。 典型例题 2（提升层级）—— 正向计算面积 题目：一张正方形方桌，桌面边长 12 分米，桌面的面积是多少平方分米？ 思路点拨： ① 确定图形：正方形桌面，求面积，使用正方形面积公式； ② 代入公式：正方形面积 = 边长 × 边长，列式为； ③ 匹配单位：边长单位是分米，面积单位就是平方分米，结果为 144 平方分米。 【答案】144 平方分米 【知识点睛】已知边长求正方形面积，直接代入 “边长 × 边长” 计算。易错提醒：不要和周长公式混淆，周长是边长 ×4，面积是边长 × 边长，计算前先看清问题求的是周长还是面积，再选对应公式。 典型例题 3（拓展层级）—— 逆向求边长 题目：一个正方形的面积是 25 平方米，它的边长是多少米？ 思路点拨： ① 回忆公式：正方形面积 = 边长 × 边长，已知面积求边长，就是想哪两个相同的数相乘等于 25； ② 推导计算：因为，所以边长是 5 米； ③ 正向验证：边长 5 米，面积平方米，符合题意。 【答案】5 米 【知识点睛】已知正方形面积求边长，核心是想 “哪两个相同的数相乘等于面积数”，也就是对面积数开平方（小学阶段通过乘法口诀推算）。常见的正方形边长与面积对应：边长 1→面积 1，边长 2→面积 4，边长 3→面积 9，边长 4→面积 16，边长 5→面积 25，熟练记忆可提升解题速度。 考点三：周长与面积的对比辨析 典型例题 1（基础层级）—— 公式与意义对比 题目：一个长方形长 8 厘米，宽 5 厘米，分别计算它的周长和面积，说一说有什么不同。 思路点拨： ① 计算周长：长方形周长 =（长 + 宽）×2，列式厘米，单位是长度单位； ② 计算面积：长方形面积 = 长 × 宽，列式平方厘米，单位是面积单位； ③ 对比不同：意义不同 —— 周长是边线的总长，面积是面的大小；公式不同 —— 周长是（长 + 宽）×2，面积是长 × 宽；单位不同 —— 周长用长度单位，面积用面积单位。 【答案】周长 26 厘米，面积 40 平方厘米；二者意义、公式、单位均不同 【知识点睛】长方形周长与面积的核心区别： 对比维度 周长 面积 意义 封闭图形一周的长度（线的长短） 封闭图形面的大小（面的大小） 公式 单位 长度单位（厘米、分米、米） 面积单位（平方厘米、平方分米、平方米） 计算本质 4 条边的长度和 单位面积的总个数 做题时一定要先看清问题求的是周长还是面积，再选择对应公式和单位。 典型例题 2（提升层级）—— 概念判断 题目：判断：边长是 4 厘米的正方形，它的周长和面积相等。（ ） 思路点拨： ① 分别计算：周长 =厘米，面积 =平方厘米； ② 分析本质：数值都是 16，但单位不同，周长是长度单位，面积是面积单位，二者描述的是完全不同的量； ③ 判定结论：不同类型的量无法比较大小，因此说法错误。 【答案】 【知识点睛】周长和面积是两个完全不同的概念，即使数值相同，也不能说相等，因为单位不同、意义不同，就像 “16 厘米和 16 个苹果” 无法比较一样。判断这类题的核心是：单位类型不同的两个量，不能比较大小。 考点四：面积公式的实际应用 典型例题 1（基础层级）—— 菜地产量问题 题目：一块长方形菜地，长 15 米，宽 6 米。如果每平方米收白菜 8 千克，这块菜地一共可以收白菜多少千克？ 思路点拨： ① 第一步先算菜地总面积：长方形面积 = 长 × 宽，平方米； ② 第二步算总产量：每平方米收 8 千克，90 平方米就是 90 个 8 千克，千克； ③ 验算验证：平方米，米，符合题意。 【答案】720 千克 【知识点睛】产量、铺地砖、刷油漆类实际问题，核心都是先算出总面积，再用总面积乘每单位面积的对应量，得到总量。解题步骤：先算面积，再算总量，两步清晰，注意单位对应。 典型例题 2（提升层级）—— 围篱笆与铺草坪对比 题目：一个正方形花圃，边长 10 米。给花圃围一圈护栏，护栏长多少米？给花圃铺满草坪，草坪面积是多少平方米？ 思路点拨： ① 第一个问题：围一圈护栏，求的是正方形的周长，用周长公式：米； ② 第二个问题：铺满草坪，求的是正方形的面积，用面积公式：平方米； ③ 对比总结：围边、护栏对应周长，铺满、占地对应面积，要根据场景判断所求。 【答案】护栏长 40 米，草坪面积 100 平方米 【知识点睛】生活场景中，“围一圈、护栏、篱笆、边框、跑一圈” 对应求周长；“占地、铺满、粉刷、种植” 对应求面积。解题时先通过关键词判断求周长还是面积，再选择对应公式计算，避免公式混用。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：面积公式与周长公式混淆，乱用公式 错误范式：求长方形面积时，列式为（长 + 宽）×2，误用周长公式。 成因剖析：对两个公式的意义理解不深，死记硬背导致混淆，看到长方形就盲目套公式，不分析求的是什么。 避坑方案：牢记公式的意义：周长是 “一周的长度”，是 4 条边相加，所以是（长 + 宽）×2；面积是 “面的大小”，是一行行摆单位正方形，所以是长 × 宽。做题前先问自己：求的是线的长短还是面的大小，再选公式。 易错点 2：面积单位写成长度单位，单位类型错误 错误范式：计算出长方形面积是 24，单位写 “厘米”，写成了长度单位。 成因剖析：对长度单位和面积单位的适用场景区分不清，只关注数值，忽略单位类型。 避坑方案：形成条件反射：求周长，写长度单位（厘米、分米、米）；求面积，写面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）。写完答案后，反向检查单位是否和问题匹配。 易错点 3：正方形面积与周长计算混淆，乘 4 和乘边长搞混 错误范式：求正方形面积时，列式为边长 ×4，误用周长公式。 成因剖析：正方形的周长和面积公式都和边长相关，记忆不牢导致混淆，看到边长就乘 4。 避坑方案：口诀区分：周长乘 4，面积乘方（边长乘边长）；也可以用意义区分：周长是 4 条边，所以乘 4；面积是摆方格，每行边长个，有边行长，所以边长乘边长。 易错点 4：长和宽单位不统一，直接相乘计算 错误范式：长 5 米、宽 20 厘米的长方形，直接计算 5×20=100，单位混用。 成因剖析：审题不仔细，忽略单位差异，没有统一单位就直接代入公式。 避坑方案：计算面积前，第一步先看长和宽的单位是否一致，单位不同的先统一成相同单位，再代入公式计算。最终面积单位和统一后的长度单位对应。 易错点 5：逆向应用逻辑错误，面积加减边长 错误范式：长方形面积 20 平方厘米，长 5 厘米，错误计算宽为 20-5=15 厘米。 成因剖析：对乘除互逆的关系理解不清，不知道面积公式的逆向是除法，错误用减法计算。 避坑方案：牢记乘除对应关系：乘法公式的逆向是除法，面积 = 长 × 宽，求长或宽都用面积除以另一条边。计算后正向验算，确保结果正确。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）长方形的面积 =（ ），字母公式是（ ）。 （2）正方形的面积 =（ ），字母公式是（ ）。 2. 判断：边长越大的正方形，面积就越大。（ ） 3. 计算：长 9 厘米、宽 6 厘米的长方形，面积是（ ）平方厘米。 4. 边长 8 分米的正方形，面积是（ ）平方分米。 5. 长方形面积是 36 平方米，长 9 米，宽是（ ）米。 6. 在括号里填合适的单位：课桌桌面的面积约 24（ ）；课桌的高约 7（ ）。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 一个长方形篮球场，长 28 米，宽 15 米，它的面积是多少平方米？半场的面积是多少平方米？ 8. 一块正方形手帕，边长 20 厘米，它的面积是多少平方厘米？合多少平方分米？ 9. 一面长方形墙，长 12 米，高 4 米，墙上有一扇面积 4 平方米的窗户。现在要粉刷这面墙，粉刷的面积是多少平方米？ 10. 给边长 6 米的正方形菜地围篱笆，篱笆长多少米？菜地的占地面积是多少平方米？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 在一张长 20 厘米、宽 12 厘米的长方形纸上，剪下一个最大的正方形，剩下图形的面积是多少平方厘米？ 12. 一个长方形，如果长增加 3 厘米，宽不变，面积就增加 15 平方厘米；如果宽增加 2 厘米，长不变，面积就增加 24 平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 四、数学活动拓展 实践活动：测量并计算课本封面的面积 活动任务： 1. 先估测数学书封面的面积大约是多少平方分米； 2. 用直尺量出封面的长和宽，记录数据； 3. 用面积公式计算出封面的实际面积，换算成平方分米； 4. 对比估测和实际结果，说一说你发现了什么。 要求：动手测量，数据准确，规范使用公式，体会面积公式的实用价值。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）长 × 宽； （2）边长 × 边长；（或） 思路点拨： ① 回忆长方形和正方形的面积公式； ② 长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长乘边长； ③ 规范书写字母表达式。 【知识点睛】本题考查面积公式的基础表达，是本课时的核心知识点，必须准确记忆，区分开周长公式。 2. 【答案】 思路点拨： ① 正方形面积 = 边长 × 边长，边长越大，乘积就越大； ② 边长是决定正方形面积的唯一因素，边长越大，面积就越大； ③ 因此说法正确。 【知识点睛】正方形的面积由边长唯一决定，边长越长，面积越大，二者正相关。 3. 【答案】 54 思路点拨： ① 代入长方形面积公式：长 × 宽； ② 列式计算：平方厘米； ③ 单位匹配，结果正确。 【知识点睛】长方形面积的基础正向计算，直接套用公式即可，注意单位是面积单位。 4. 【答案】 64 思路点拨： ① 代入正方形面积公式：边长 × 边长； ② 列式计算：平方分米； ③ 注意不要算成 8×4=32，那是周长。 【知识点睛】正方形面积的基础计算，核心是边长乘边长，不要和周长公式混淆。 5. 【答案】 4 思路点拨： ① 长方形的宽 = 面积 ÷ 长； ② 列式计算：米； ③ 正向验算：9×4=36，符合题意。 【知识点睛】长方形面积公式的逆向应用，已知面积和长求宽，用除法计算。 6. 【答案】 平方分米；分米 思路点拨： ① 桌面的大小是面积，用面积单位，24 平方分米符合实际； ② 课桌的高是长度，用长度单位，7 分米符合实际； ③ 区分面积单位和长度单位的适用场景。 【知识点睛】面积单位描述面的大小，长度单位描述长短高矮，要根据描述对象选择对应单位。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】 全场面积 420 平方米，半场面积 210 平方米 思路点拨： ① 先算全场面积：长方形面积 = 长 × 宽，平方米； ② 半场面积就是全场的一半，平方米； ③ 也可以用长不变、宽减半的方法计算，结果一致。 【知识点睛】长方形面积的实际应用，半场面积就是总面积的一半，考查对面积意义的理解。 8. 【答案】 面积 400 平方厘米，合 4 平方分米 思路点拨： ① 正方形面积 = 边长 × 边长，平方厘米； ② 单位换算：1 平方分米 = 100 平方厘米，平方分米； ③ 验算正确。 【知识点睛】正方形面积计算与单位换算结合，先算面积，再按进率换算单位。 9. 【答案】 44 平方米 思路点拨： ① 先算整面墙的总面积：平方米； ② 减去窗户的面积，就是粉刷面积：平方米； ③ 验证：粉刷面积 + 窗户面积 = 整墙面积，符合逻辑。 【知识点睛】粉刷墙面类问题，用总面积减去不需要粉刷的部分，得到实际粉刷面积，是面积的常见实际应用。 10. 【答案】 篱笆长 24 米，占地面积 36 平方米 思路点拨： ① 围篱笆求周长：正方形周长 = 边长 ×4，米； ② 占地面积求面积：正方形面积 = 边长 × 边长，平方米； ③ 对比区分两个问题的不同，对应不同公式。 【知识点睛】同一图形的周长和面积对比问题，先判断每个问题求的是什么，再对应公式计算，强化概念区分。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 96 平方厘米 思路点拨： ① 长方形里剪最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是 12 厘米； ② 正方形面积：平方厘米； ③ 原来长方形面积：平方厘米； ④ 剩下图形面积：平方厘米。 【知识点睛】长方形中剪最大正方形，边长等于长方形的宽，剩下的图形仍然是长方形，用总面积减去正方形面积即可得到剩余面积。 12. 【答案】 60 平方厘米 思路点拨： ① 长增加 3 厘米，宽不变，增加的面积 = 增加的长 × 宽，因此宽 =厘米； ② 宽增加 2 厘米，长不变，增加的面积 = 长 × 增加的宽，因此长 =厘米； ③ 原来长方形面积：平方厘米； ④ 正向验证：长增加 3，面积增加 3×5=15，符合题意；宽增加 2，面积增加 12×2=24，符合题意。 【知识点睛】面积变化问题，核心是抓住 “增加的面积 = 增加的边长 × 另一条不变的边”，先求出原来的长和宽，再计算原面积。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 估测：数学书封面大约 3 平方分米； 2. 测量：长约 26 厘米，宽约 18 厘米； 3. 计算：面积 =平方厘米 = 4.68 平方分米； 4. 发现：估测和实际有一定差距，用公式计算更准确；面积公式能快速算出物体表面的大小，非常实用。 【知识点睛】通过实际测量与计算，深化对面积公式的理解，提升应用意识与动手能力，体会数学公式在生活中的实用价值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $