第二单元 第 8 课时 周长与面积的变化（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦小学数学“周长与面积的变化”核心知识点，承接前7课时周长计算、面积公式等基础，通过拼摆小正方形实操探究面积相等时周长不一定相等、周长固定时长宽越接近面积越大的规律，为后续组合图形面积计算筑牢逻辑根基。 该资料以“操作拼摆—数据记录—规律归纳”探究闭环设计，突出空间观念、推理意识培养，如用12个小正方形拼长方形归纳规律。分层练习与易错预警结合，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，深化对几何规律的理解与应用。

第 8 课时 周长与面积的变化 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：面积相等的图形，周长变化规律探究 3 考点二：周长固定的图形，面积变化规律探究 5 考点三：周长与面积变化规律的综合应用 7 第三部分 高频易错预警与避坑指南 11 易错点 1：误认为面积相等，周长就一定相等 11 易错点 2：误认为周长相等，面积就一定相等 11 易错点 3：图形拼接 / 分割时，周长变化计算错误 11 易错点 4：靠墙围篱笆时，最优围法判断错误 11 易错点 5：规律应用时，前提条件混淆 12 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 13 一、基础夯实达标练（6 题） 13 二、能力拓展提升练（4 题） 13 三、思维拓展培优练（2 题） 14 四、数学活动拓展 14 第五部分 习题精准解析与知识点睛 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 “周长与面积” 单元的规律探究核心课，承接前 7 课时周长计算、面积公式、面积估测的知识基础，通过用相同数量的小正方形拼摆不同图形的实操探究，核心揭示两大几何规律：① 面积相等的图形，周长不一定相等；② 周长固定的长方形，长和宽越接近面积越大，正方形面积最大。全课时围绕空间观念、推理意识、模型意识、应用意识四条新课标核心素养主线，建立 “操作拼摆 — 数据记录 — 对比分析 — 规律归纳 — 应用拓展” 的完整探究闭环，是周长与面积概念的深度辨析与规律升华，为后续组合图形面积计算、优化问题解决筑牢逻辑与模型根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 面积相等时的周长变化 用相同数量小正方形拼不同长方形，面积不变，周长随长和宽的变化而改变 拼摆实验法、列表对比法、周长计算法 误认为面积相等周长就一定相等，漏算拼摆后重合的边 周长固定时的面积变化 周长相等的长方形，长和宽越接近面积越大，正方形面积最大 枚举列表法、极值探究法、公式推导法 误认为周长相等面积就相等，长和宽差距越大面积越大 规律的综合应用 拼图形求最大 / 最小周长、围篱笆求最大面积、图形分割与拼接的周长面积变化 建模法、逆推法、场景适配法 混淆两大规律的前提条件，实际场景中盲目套用规律 周长与面积的本质辨析 从维度、公式、变化规律三维度深化二者的本质区别 对比辨析法、归纳总结法 概念混淆，规律应用场景错位 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 拼摆实验法 面积相等的图形周长探究 用相同数量小正方形拼不同长方形→计算每个图形的面积和周长→对比数据找规律 小正方形拼长方形，面积不变周长变，长宽越接近，周长越短 枚举列表法 周长固定的面积探究 根据周长算长 + 宽→列举所有整数长宽组合→计算对应面积→对比找极值 周长固定和不变，长宽越接近，面积越往大里变，正方形顶最大 规律应用法 实际问题解决 判断问题前提（面积相等 / 周长固定）→匹配对应规律→列式计算求解 先看前提再选规，面积相等看长宽，周长固定看和差 画图分析法 图形拼接、分割问题 根据题意画拼接 / 分割示意图→标注边长→计算周长和面积变化 拼接减周长，分割加周长，面积不变是核心 三、课时数学思想与素养提升 1. 归纳推理思想：几何规律的自主探究 核心要义：通过拼摆小正方形的具体实验，记录多组长方形的长、宽、周长、面积数据，从多个具体案例中归纳出通用的几何规律，经历 “特殊→一般” 的完整推理过程，是推理意识在几何探究领域的核心体现。 典型范式：用 12 个小正方形拼出 3 种不同长方形，计算出每组的周长和面积，从数据对比中归纳出 “面积相等时，长和宽越接近，周长越短” 的通用规律。 2. 模型思想：规律的数学建模与应用 核心要义：将拼摆实验中发现的几何规律，抽象为标准化的数学模型，明确规律的前提条件、适用范围和核心结论，所有同类问题都可以套用模型快速求解，是模型意识的核心培育路径。 典型范式：建立 “周长固定→长 + 宽固定→长宽差越小，面积越大” 的数学模型，所有围篱笆、拼长方形求最大面积的问题，都可以直接套用模型解决。 3. 优化思想：极值问题的策略选择 核心要义：在拼图形、围篱笆等场景中，通过对比不同方案的周长、面积，主动选择最优方案（周长最短、面积最大），培养优化决策的思维能力，是优化思想在几何应用中的核心体现。 典型范式：用 20 米篱笆围长方形菜地，通过对比不同长宽组合的面积，选择围成正方形的最优方案，实现面积最大化。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：面积相等的图形，周长变化规律探究 典型例题 1（基础层级）—— 拼摆实验探究规律 题目：用 12 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形，能拼成几种不同的长方形？它们的面积和周长分别是多少？你发现了什么规律？ 思路点拨： ① 第一步计算面积：每个小正方形面积是 1 平方厘米，12 个小正方形拼成的长方形，总面积都是平方厘米，三种拼法面积完全相等； ② 第二步分别计算周长： · 拼法 1（长 12cm、宽 1cm）：周长 =厘米； · 拼法 2（长 6cm、宽 2cm）：周长 =厘米； · 拼法 3（长 4cm、宽 3cm）：周长 =厘米； ③ 第三步对比归纳规律：面积相等的长方形，长和宽的数值越接近，周长就越短；长和宽的差距越大，周长就越长。 【答案】能拼成 3 种不同的长方形，面积均为 12 平方厘米，周长分别为 26 厘米、16 厘米、14 厘米；规律：面积相等的长方形，长和宽越接近，周长越短 【知识点睛】面积相等的图形周长变化核心规律： 1. 核心前提：用相同数量的小正方形拼摆，总面积固定不变，拼出的图形面积都相等； 2. 周长变化规律：拼成的长方形，长和宽的数值越接近，周长越短；长和宽的差距越大，周长越长； 3. 极端情况：当拼成的图形是正方形时（小正方形个数为完全平方数），周长最短； 4. 本质原因：拼摆时，小正方形之间重合的边越多，露在外面的边线总长（周长）就越短，长和宽越接近，重合的边越多。 典型例题 2（提升层级）—— 规律应用求最短周长 题目：用 16 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形或正方形，拼成的图形周长最短是多少厘米？ 思路点拨： ① 第一步确定总面积：16 个小正方形，总面积 =平方厘米，固定不变； ② 第二步列举所有拼法的长宽组合： · 拼法 1：长 16cm、宽 1cm，周长 =厘米； · 拼法 2：长 8cm、宽 2cm，周长 =厘米； · 拼法 3：长 4cm、宽 4cm（正方形），周长 =厘米； ③ 第三步对比得出最短周长：16 厘米，此时拼成的是正方形。 【答案】16 厘米 【知识点睛】面积固定时，求最短周长的最优方法：拼成正方形时，周长最短。如果小正方形个数不是完全平方数，就拼成长和宽最接近的长方形，周长最短。解题时先列举所有可能的长宽组合，计算周长后对比，也可以直接根据规律判断，长和宽越接近，周长越短。 典型例题 3（拓展层级）—— 图形拼接的周长变化 题目：把两个边长 4 厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？和原来两个正方形的周长和、面积和有什么变化？ 思路点拨： ① 第一步计算原来两个正方形的总和： · 一个正方形周长 =厘米，两个周长和 =厘米； · 一个正方形面积 =平方厘米，两个面积和 =平方厘米； ② 第二步计算拼成的长方形的数值： · 拼成的长方形长 =厘米，宽 4 厘米； · 周长 =厘米； · 面积 =平方厘米； ③ 第三步对比变化：面积和原来相等，没有变化；周长比原来减少了厘米，减少了 2 条正方形的边长。 【答案】长方形周长 24 厘米，面积 32 平方厘米；面积不变，周长比原来减少 8 厘米 【知识点睛】图形拼接的核心变化规律： 1. 面积变化：拼接后总面积不变，等于拼接前所有图形的面积和； 2. 周长变化：拼接后周长减少，减少的长度等于拼接处重合的边的总长度（每拼接一次，减少 2 条重合边的长度）； 3. 本质原因：拼接时，两个图形各有一条边重合，不再露在外面，因此周长减少，而面积没有增减。 考点二：周长固定的图形，面积变化规律探究 典型例题 1（基础层级）—— 周长固定的面积变化探究 题目：用一根长 20 厘米的铁丝围成长方形（长和宽都是整数厘米），能围成多少种不同的长方形？它们的面积分别是多少？你发现了什么规律？ 思路点拨： ① 第一步确定长与宽的和：长方形周长 =（长 + 宽）×2，因此长 + 宽 =厘米，固定不变； ② 第二步列举所有整数长宽组合，计算对应面积： · 长 9cm、宽 1cm：面积 =平方厘米； · 长 8cm、宽 2cm：面积 =平方厘米； · 长 7cm、宽 3cm：面积 =平方厘米； · 长 6cm、宽 4cm：面积 =平方厘米； · 长 5cm、宽 5cm（正方形）：面积 =平方厘米； ③ 第三步对比归纳规律：周长固定的长方形，长和宽的数值越接近，面积就越大；当长和宽相等（围成正方形）时，面积最大。 【答案】能围成 5 种不同的长方形，面积分别为 9、16、21、24、25 平方厘米；规律：周长固定的长方形，长和宽越接近，面积越大，正方形面积最大 【知识点睛】周长固定时的面积变化核心规律： 1. 核心前提：长方形周长固定，因此长 + 宽的和固定不变； 2. 面积变化规律：长和宽的数值越接近，长和宽的乘积（面积）就越大；长和宽的差距越大，面积就越小； 3. 极值情况：当长和宽相等，也就是围成正方形时，面积达到最大； 4. 本质原理：两个数的和固定时，两个数的差越小，乘积越大；差越大，乘积越小，这是数学中的基本不等式原理在几何中的应用。 典型例题 2（提升层级）—— 规律应用求最大面积 题目：用一根长 36 米的篱笆围成一个长方形菜地，围成的菜地面积最大是多少平方米？ 思路点拨： ① 第一步确定长 + 宽的和：周长 36 米，长 + 宽 =米； ② 第二步根据规律求最大面积：长和宽越接近，面积越大，当长和宽相等时，面积最大； ③ 第三步计算边长和面积：长 = 宽 =米，围成正方形，面积 =平方米。 【答案】81 平方米 【知识点睛】周长固定求最大面积的最优方法：围成正方形时，面积最大。如果题目要求必须是长方形（长≠宽），就围成长和宽最接近的长方形，面积最大。解题时先根据周长算出长 + 宽的和，再根据规律确定最优的长宽组合，计算最大面积。 典型例题 3（拓展层级）—— 靠墙围篱笆的最大面积 题目：用一根长 24 米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形菜地，围成的菜地面积最大是多少平方米？ 思路点拨： ① 先明确围法：一面靠墙，篱笆只围 3 条边。要让面积最大，让长边靠墙（省去最长的一条边，把更多篱笆留给两条宽），此时篱笆总长 = 1 条长 + 2 条宽 = 24 米。 ② 按宽从小到大列举所有整数围法，分别计算对应的长和面积： · 宽 1 米，长 = 24-2×1=22 米，面积 = 22×1=22 平方米 · 宽 2 米，长 = 24-2×2=20 米，面积 = 20×2=40 平方米 · 宽 3 米，长 = 24-2×3=18 米，面积 = 18×3=54 平方米 · 宽 4 米，长 = 24-2×4=16 米，面积 = 16×4=64 平方米 · 宽 5 米，长 = 24-2×5=14 米，面积 = 14×5=70 平方米 · 宽 6 米，长 = 24-2×6=12 米，面积 = 12×6=72 平方米 · 宽 7 米，长 = 24-2×7=10 米，面积 = 10×7=70 平方米 ③ 对比所有面积：72＞70＞64＞54＞40＞22，当宽 6 米、长 12 米时，面积最大。 ④ 观察规律：此时长正好是宽的 2 倍，是所有围法里长和宽差距最合理的情况。 【答案】72 平方米 【知识点睛】一面靠墙围长方形菜地，让长边靠墙时面积最大。核心规律：当长是宽的 2 倍时，围成的面积最大，此时宽 = 篱笆总长 ÷4，长 = 宽 ×2。 注意：和 “四边都围、正方形面积最大” 的规律不同，靠墙围法少了一条边，最优结论也不同，解题时先看清是否靠墙，再对应规律。 考点三：周长与面积变化规律的综合应用 典型例题 1（基础层级）—— 图形分割的周长面积变化 题目：把一个边长 8 厘米的正方形，剪成两个完全相同的长方形，每个长方形的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？和原来的正方形相比，周长和面积有什么变化？ 思路点拨： ① 第一步计算原来正方形的数值： · 周长 =厘米； · 面积 =平方厘米； ② 第二步计算剪成的长方形的数值： · 长方形的长 8 厘米，宽 =厘米； · 周长 =厘米； · 面积 =平方厘米； ③ 第三步对比变化：每个长方形的面积是原来的一半，两个长方形的面积和与原来相等；两个长方形的周长和 =厘米，比原来的正方形周长增加了厘米，增加了 2 条正方形的边长。 【答案】每个长方形周长 24 厘米，面积 32 平方厘米；面积总和不变，周长总和比原来增加 16 厘米 【知识点睛】图形分割的核心变化规律： 1. 面积变化：分割后总面积不变，等于分割前图形的面积，每个小图形的面积是原图形的几分之一； 2. 周长变化：分割后周长总和增加，增加的长度等于分割线长度的 2 倍（每分割一次，增加 2 条分割线的长度）； 3. 拼接和分割是互逆的过程，拼接减少周长，分割增加周长，面积始终不变。 典型例题 2（提升层级）—— 规律辨析判断 题目：判断： （1）面积相等的两个长方形，周长一定相等。（ ） （2）周长相等的两个长方形，面积一定相等。（ ） （3）周长相等的长方形，长和宽越接近，面积越大。（ ） 思路点拨： ① 第（1）题：举反例，长 12 宽 1 的长方形和长 4 宽 3 的长方形，面积都是 12 平方厘米，周长分别是 26 厘米和 14 厘米，不相等，因此说法错误； ② 第（2）题：举反例，周长 20 厘米的长方形，长 9 宽 1 的面积是 9 平方厘米，长 6 宽 4 的面积是 24 平方厘米，不相等，因此说法错误； ③ 第（3）题：根据周长固定的面积变化规律，长和宽越接近，面积越大，说法正确。 【答案】（1）×；（2）×；（3）√ 【知识点睛】两大核心规律的辨析： 1. 面积相等的长方形，周长不一定相等，长和宽越接近，周长越短； 2. 周长相等的长方形，面积不一定相等，长和宽越接近，面积越大； 3. 只有正方形，周长相等时面积一定相等，面积相等时周长一定相等。 典型例题 3（拓展层级）—— 综合实际应用 题目：学校要在操场边用 100 米的警戒线围一个长方形的活动区域，一面靠墙，围成的区域面积最大是多少平方米？ 思路点拨： ① 第一步分析场景：一面靠墙，警戒线围三条边，要让面积最大，应让长边靠墙，此时警戒线长度 = 长 + 2× 宽 = 100 米； ② 第二步根据规律，长和宽越接近，面积越大，当长 = 2× 宽时，长和宽最接近，此时宽 = 100÷4=25 米，长 = 100-2×25=50 米； ③ 第三步计算最大面积：平方米； ④ 验证：如果围成正方形，边长 = 100÷3≈33.3 米，面积≈1108.9 平方米，小于 1250 平方米，因此长 50 米、宽 25 米时面积最大。 【答案】1250 平方米 【知识点睛】一面靠墙的长方形最大面积问题，核心结论：当长是宽的 2 倍时，围成的面积最大。推导逻辑：设宽为 x，长 = 100-2x，面积 = x×(100-2x)=100x-2x²，当 x=25 时，面积最大，此时长 = 50，是宽的 2 倍。解题时可直接套用这个结论，快速计算最大面积。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：误认为面积相等，周长就一定相等 错误范式：认为两个长方形面积相等，周长就一定相等，忽略了长和宽的变化对周长的影响。 成因剖析：对周长和面积的概念本质理解不深，没有掌握面积相等时周长的变化规律，仅凭直觉判断，没有通过计算验证。 避坑方案：牢记核心规律：面积相等的长方形，周长不一定相等，长和宽越接近，周长越短。判断时通过举反例、计算验证，避免凭直觉下结论。 易错点 2：误认为周长相等，面积就一定相等 错误范式：认为两个长方形周长相等，面积就一定相等，忽略了长和宽的变化对面积的影响。 成因剖析：对周长固定时的面积变化规律理解不到位，不知道长和宽的差距会直接影响面积大小，概念混淆。 避坑方案：牢记核心规律：周长相等的长方形，面积不一定相等，长和宽越接近，面积越大。判断时先计算长 + 宽的和，再列举不同的长宽组合，计算面积对比验证。 易错点 3：图形拼接 / 分割时，周长变化计算错误 错误范式：把两个边长 4 厘米的正方形拼成长方形，错误计算周长为厘米后，认为周长减少了 16 厘米，或忽略周长的变化，直接用两个正方形周长相加。 成因剖析：对拼接 / 分割的周长变化本质理解不清，不知道拼接一次减少 2 条边，分割一次增加 2 条边，导致计算错误。 避坑方案：牢记变化规律：拼接后周长减少，减少的长度 = 2× 重合边长度；分割后周长增加，增加的长度 = 2× 分割线长度。计算时先画图分析，标注重合边 / 分割线，再计算周长变化。 易错点 4：靠墙围篱笆时，最优围法判断错误 错误范式：用 24 米篱笆一面靠墙围菜地，认为围成正方形面积最大，计算边长为 24÷3=8 米，面积 64 平方米，忽略了长是宽的 2 倍时面积更大的情况。 成因剖析：对一面靠墙的周长变化规律理解不深，直接套用不靠墙的正方形最优结论，没有分析靠墙时的边长关系。 避坑方案：一面靠墙的围法，先确定靠墙的边，要让面积最大，必须让长边靠墙，一面靠墙的围法，无论篱笆长度是否为 3 的倍数，都是长为宽的 2 倍时面积最大；不靠墙、四边都围时，围成正方形面积才最大。解题时先分析靠墙情况，再匹配对应规律，不能盲目套用四边围的结论。解题时先分析场景，再选择对应的规律。 易错点 5：规律应用时，前提条件混淆 错误范式：用 12 个小正方形拼图形，求最大面积，错误套用周长固定的规律，认为拼成正方形面积最大，忽略了面积已经固定的前提。 成因剖析：对两大规律的前提条件理解不清，混淆了 “面积固定” 和 “周长固定” 的适用场景，盲目套用规律。 避坑方案：应用规律前，先判断题目前提：① 用相同数量小正方形拼图形，面积固定，求周长最短→拼成正方形；② 周长固定，求面积最大→围成正方形。先看前提，再选规律，避免场景错位。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）用相同数量的小正方形拼长方形，拼成的图形______相等，______不一定相等。 （2）周长固定的长方形，长和宽越接近，______越大，当围成______时，面积最大。 2. 判断：周长相等的两个正方形，面积一定相等。（ ） 3. 用 8 个边长 1 厘米的小正方形拼长方形，拼成的长方形周长最短是______厘米。 4. 用一根长 24 厘米的铁丝围长方形，围成的长方形面积最大是______平方厘米。 5. 把两个边长 5 厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形周长是______厘米，面积是______平方厘米。 6. 在括号里填 “变大”“变小” 或 “不变”：把一个长方形剪成两个小长方形，总面积______，总周长______。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 用 20 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形，能拼成几种不同的长方形？周长最短是多少厘米？ 8. 用一根长 40 米的篱笆围成一个长方形菜地，围成的菜地面积最大是多少平方米？ 9. 把一个长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形，剪成两个完全相同的小长方形，每个小长方形的周长最少是多少厘米？ 10. 用一根长 60 米的警戒线，一面靠墙围一个长方形活动区域，围成的区域面积最大是多少平方米？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 用 12 个边长 1 厘米的小正方形拼成一个长方形，拼成的长方形周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 12. 一个长方形的周长是 40 厘米，如果长减少 4 厘米，宽增加 4 厘米，面积会发生什么变化？变化了多少？ 四、数学活动拓展 实践探究：周长与面积的变化规律验证 活动任务： 1. 用 16 根同样长的小棒，分别拼成不同的长方形和正方形，记录每个图形的长、宽、周长、面积； 2. 对比数据，验证 “周长固定时，长和宽越接近，面积越大” 的规律； 3. 用 16 个同样的小正方形，拼不同的长方形，记录长、宽、周长、面积，验证 “面积相等时，长和宽越接近，周长越短” 的规律； 4. 写出你的探究结论，和同学交流分享。 要求：动手操作，数据准确，完整经历探究过程，验证课堂所学规律。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）面积；周长 （2）面积；正方形 思路点拨： ① 用相同小正方形拼图形，总面积固定，等于小正方形面积总和，周长随拼法变化； ② 周长固定的长方形，长和宽越接近，面积越大，围成正方形时面积最大。 【知识点睛】本题考查两大核心规律的基础表述，必须准确掌握规律的前提和结论。 2. 【答案】 思路点拨： ① 正方形周长 = 边长 ×4，周长相等，边长就相等； ② 正方形面积 = 边长 × 边长，边长相等，面积就一定相等； ③ 因此说法正确。 【知识点睛】正方形的周长和面积是一一对应的，周长相等则边长相等，面积一定相等；面积相等则边长相等，周长一定相等。 3. 【答案】 12 思路点拨： ① 8 个小正方形拼长方形，有 2 种拼法：1×8、2×4； ② 拼法 1 周长：厘米； ③ 拼法 2 周长：厘米； ④ 最短周长是 12 厘米。 【知识点睛】面积固定时，长和宽越接近，周长越短，2×4 的长宽比 1×8 更接近，周长更短。 4. 【答案】 36 思路点拨： ① 周长 24 厘米，长 + 宽 =厘米； ② 长和宽相等时，面积最大，边长 =厘米； ③ 最大面积 =平方厘米。 【知识点睛】周长固定时，围成正方形面积最大，这是核心规律的直接应用。 5. 【答案】 30；50 思路点拨： ① 拼成的长方形长 =厘米，宽 5 厘米； ② 周长 =厘米； ③ 面积 =平方厘米； ④ 验证：单个正方形周长厘米，两个正方形周长和厘米，厘米，减少了 2 条 5 厘米的重合边，符合拼接减 2 条边长的规律。 【知识点睛】图形拼接的周长面积变化，面积不变，周长减少，减少的长度是 2 条重合边的长度。 6. 【答案】 不变；变大 思路点拨： ① 分割后，总面积还是原来长方形的面积，没有变化； ② 分割后，总周长增加了 2 条分割线的长度，因此变大； ③ 对应规律：分割面积不变，周长增加。 【知识点睛】图形分割的核心变化规律，面积不变，周长增加，和拼接的变化正好相反。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】 能拼成 3 种不同的长方形，周长最短是 18 厘米 思路点拨： ① 20 个小正方形，有 3 种拼法：1×20、2×10、4×5； ② 分别计算周长：厘米，厘米，厘米； ③ 对比得出最短周长 18 厘米。 【知识点睛】面积固定的拼摆问题，先列举所有可能的长宽组合，计算周长后对比，长和宽越接近，周长越短。 8. 【答案】 100 平方米 思路点拨： ① 周长 40 米，长 + 宽 =米； ② 长和宽相等时，面积最大，边长 =米； ③ 最大面积 =平方米。 【知识点睛】周长固定的最大面积问题，直接套用规律，围成正方形时面积最大，计算即可。 9. 【答案】 22 厘米 思路点拨： ① 有两种分割方式：沿长的中点分割，得到长 10 厘米、宽 3 厘米的小长方形，周长厘米； ② 沿宽的中点分割，得到长 6 厘米、宽 5 厘米的小长方形，周长厘米； ③ 对比可知，沿宽的中点分割时，小长方形长和宽更接近，周长更短，最小为 22 厘米。 【知识点睛】分割图形求最小周长，本质还是应用 “长和宽越接近，周长越短” 的规律，选择让分割后小图形长宽差更小的剪法即可。 10. 【答案】 450 平方米 思路点拨： ① 一面靠墙，长边靠墙，警戒线长度 = 长 + 2× 宽 = 60 米； ② 当长是宽的 2 倍时，面积最大，宽 =米，长 =米； ③ 最大面积 =平方米。 【知识点睛】一面靠墙的最大面积问题，核心结论是长是宽的 2 倍时，面积最大，直接套用结论计算即可。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 周长最大 26 厘米，最小 14 厘米 思路点拨： ① 12 个小正方形，有 3 种拼法：1×12、2×6、3×4； ② 周长最大：厘米； ③ 周长最小：厘米； ④ 验证：长和宽差距越大，周长越大；长和宽越接近，周长越小，符合规律。 【知识点睛】面积固定时，周长的最大值和最小值，通过列举所有拼法，计算周长后对比即可得出，核心是长和宽的差距决定周长的长短。 12. 【答案】 面积会变大，具体变化量随原长方形的长宽差变化，不固定；核心规律是长与宽的和不变，长宽差距越小，面积越大。 思路点拨： ① 原长方形周长 40 厘米，因此长 + 宽 =厘米；长减少 4 厘米、宽增加 4 厘米后，长 + 宽仍然是 20 厘米，周长保持不变。 ② 根据周长固定的面积变化规律：长和宽的差距越小，面积越大。变化后长和宽的差距缩小了 8 厘米，因此面积一定变大。 ③ 面积的具体变化量由原长方形的长宽差决定：原长宽差越大，面积增加量越多；若原长方形是正方形（长宽差为 0），则变化后面积反而减小。 【知识点睛】本题核心是抓住 “长 + 宽的和不变” 这一关键点，套用周长固定的面积变化规律判断趋势，考查对规律的深层理解与灵活应用，而非机械计算固定数值。 四、数学活动拓展解析 探究结论： 1. 周长固定时，长和宽越接近，面积越大，围成正方形时面积最大； 2. 面积固定时，长和宽越接近，周长越短，拼成正方形时周长最短； 3. 两大规律的核心都是长和宽的接近程度，决定了周长和面积的变化趋势。 【知识点睛】通过动手拼摆的探究活动，能直观验证课堂所学的几何规律，深化对周长和面积变化的理解，培养严谨的探究能力和归纳推理能力，体会数学规律的严谨性和实用性。 1 学科网（北京）股份有限公司 $