3.2 代数式的值 第2课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“几何中的代数式求值”，通过小明走路问题导入路程公式，回顾代数式定义、求值步骤及面积体积公式，搭建从代数基础到几何应用的学习支架。 其亮点是结合操场跑道、窗户设计等真实情境，通过图形拆解（如三角尺面积=三角形面积-圆面积）培养几何直观和运算能力，用代数式表示图形关系（如跑道周长=2a+πb）发展模型意识。学生提升问题解决能力，教师获得结构化资源，提高教学效率。

代数式的值 第 2 节 第3章 第2课时 求代数式的值的应用 代数式 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 能运用公式列出几何图形问题中的代数式，并把具体数代入求值 掌握代数式在几何问题中的运用，发展学生的几何直观感知能力与计算能力. 培养学生准确地运算能力，并适当地渗透对应的思想 几何中的代数式求值. 重点 几何中的代数式求值计算. 难点 重 难 点 知识回顾 1.代数式的值的定义 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 2.求代数式的值的步骤 (1)求代数式的值的步骤： ①代入，将字母所取的值代入代数式中； ②计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果. 练一练 1.当a=－1，b=4时， 代数式+3(b－1)的值是 . 3.已知：a－c=2，b－c=3, 则a+b－2c= . 2.若，则 . 4.冬季某天的温差是15 ℃， 这天最低温度是t ℃， 则最高温度是 ℃. 当t＝－5时，该天的最高温度为 ℃. (t＋15)　 10　 知识回顾 (1)路程=　　　　×　　　　;  (2)工作量=　　　　　×　　　　　;  (3)总 价=　　　　×　　　　;  (4)长为a,宽为b的长方形面积=　　　　= ;  (5)边长为a的正方形面积=　　　 　= ;  (6)底为a,高为h的三角形面积=　　　;  (7)上底为a,下底为b,高为h的梯形面积=　　　 　;  (8)半径为r的圆的面积=　　　　;  (9)长为a,宽为b,高为c的长方体的体积=　　　;  (10)棱长为a的立方体的体积=　　.  大家还记得这些计算公式吗？ 速度 时间 工作效率 工作时间 单价 数量 长×宽 边长×边长 ab a² ah （a+b）h πr ² abc a³ 有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述 新知导入 在解决有关问题时，经常用这些公式进行计算． 基本公式： 路程 = 速度 × 时间 （2）小明从家出发去学校，他走路的速度是每分钟60米，一共走了10分钟。请问，小明家到学校的距离是多少米？ （1）若他走路的速度是每分钟v米，一共走了t分钟。 小明从家出发去学校，求小明家到学校的距离需要知道哪些量？ s = v t ➔ s = v t=60×10=600（米） 答：小明家到学校的距离是600米 这三个简单的字母，清晰地揭示了路程、速度与时间的内在联系，在计算时可以把字母的值直接代入对应公式计算，求出对应代数式的值即为结果的值 v = = 面积公式 三角形： 你能把各类常用公式用代数式表示吗？ 探究点1 利用公式确定代数式并求值 新知讲授 讨论 正方形： 长方形： 圆： 梯形： S = ah（h 为底边 a 上的高） S = a2（a 为正方形的边长） S = ab（a，b 分别为长方形的长、宽） S = πr2（r 为圆的半径） S = (a+b)（a，b，h 分别为上底、下底、高） 体积公式 长方体： 正方体： V = abc（a，b，c 分别为长方体的长、宽、高） V = a3（a为长方体的棱长） 圆 柱： V = πr2h（r 为底面圆的半径，h为高） 两个弯道=直径为b的圆的周长 新知讲授 探究点1 利用公式确定代数式并求值 如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 a，半圆形弯道的直径为 b. （1）用代数式表示这条跑道的周长； （2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）. 教材P80 讨论 分析 跑道的周长=两条直道+两个弯道 解：（1）两段直道的长为 2a；两段弯道组成一个圆， 因为圆的直径为 b，所以周长 C= πb. 所以这条跑道的周长 C= 2a + πb 新知讲授 探究点1 利用公式确定代数式并求值 如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 a，半圆形弯道的直径为 b. （1）用代数式表示这条跑道的周长； （2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）. 教材P80 讨论 （2）由（1）得：C= 2a + πb 当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时， 2a + πb = 2×67.3 + 3.14×52.6 ≈ 300（m） 因此，这条跑道的周长约为 300 m. 公式是用字母凝练的数量关系式，统一概括一类问题的规律，将已知数值代入公式，就可以快速求出未知量，是数学计算、解决实际应用题的常用工具。 新知讲授 探究点1 利用公式确定代数式并求值 例1.在一块长、宽分别为a、b的长方形园地里，修建一个中心是圆，四角都是四分之一个圆（半径均为r）的花坛，其余部分种上草，当a=30米，b=16米，r=2米时，请算出草地面积.（π 取 3.14，结果取整数） 解： 长方形园地的面积 s= ab 花坛的面积s=2个圆的面积=2πr² 草地的面积 s草地=ab-2πr² 当a=30米，b=16米，r =2米时 a b r s草地=ab-2πr² =30×16-2×3.14×2²≈455（m²） 典例评析 探究点2 应用代数式的值解决实际问题 例3.一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积 S. 当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时，求这个三角尺的面积 （π 取 3. 14） 分析：三角尺的面积 = 三角形的面积 － 圆的面积. 根据三角形、圆的面积公式可以求出复合图象的面积. r a b 解：由题意得： S 三角尺= S 三角尺ab- πr2 当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时， 答：这个三角尺的面积是 73.94 cm2. S 三角尺=×10×17.3 － 3.14×22 = 73.94(cm2). 典例评析 探究点2 应用代数式的值解决实际问题 例4.如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长xm，宽ym的长方形窗框，窗户全部安装玻璃. （1）一扇这种窗户共需要铝合金多少米（用代数式表示）？ （2）一扇这种窗户共需要玻璃多少平方米（用代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）？ （3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 厂商 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180 元 /m 不超过 100 m² 的部分，定价 90 元 /m²；超过 100 m² 的部分，定价 70 元 /m² 乙 200 元 /m 定价 80 元 /m²，每购 1 m² 玻璃送 0.1 m 铝合金 当x=4，y=2时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算(π取3)？ 典例评析 探究点2 应用代数式的值解决实际问题 例4.如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长xm，宽ym的长方形窗框，窗户全部安装玻璃. （1）一扇这种窗户共需要铝合金多少米（用代数式表示）？ 解：(1) 根据题意，得： 答：一扇这种窗户共需要铝合金。 半圆形窗框的两条半径之和是长方形的长 典例评析 探究点2 应用代数式的值解决实际问题 例4.如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长xm，宽ym的长方形窗框，窗户全部安装玻璃. （2）一扇这种窗户共需要玻璃多少平方米（用代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）？ 半圆形窗框的两条半径之和是长方形的长 (2) 根据题意，得： 所以一扇这种窗户共需要玻璃。 典例评析 探究点2 应用代数式的值解决实际问题 例4.如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长xm，宽ym的长方形窗框，窗户全部安装玻璃. （3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 厂商 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180 元 /m 不超过 100 m² 的部分，定价 90 元 /m²；超过 100 m² 的部分，定价 70 元 /m² 乙 200 元 /m 定价 80 元 /m²，每购 1 m² 玻璃送 0.1 m 铝合金 当x=4，y=2时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算(π取3)？ (3) 当时，， ， 则共需铝合金，玻璃。 根据甲厂报价，购进 10 扇这样的窗户需； 根据乙厂报价，购进 10 扇这样的窗户需。 因为，所以该公司在甲厂购买窗户更合算。 典例评析 探究点2 应用代数式的值解决实际问题 例5. 如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 ，半圆形弯道的直径为 ，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图. （1）操场最内侧跑道的周长为_________； （用含,的代数式表示，结果保留 ） （2）用含,, 的代数式表示两个比赛场地的总面积（结果保留），并求出当,, 时，两个比赛场地的总面积. 取3 解：两个比赛场地的总面积为 . 当,,, 取3时， =𝟏𝟐𝟎𝟎 新知巩固 教材P81 1. 填空题. （1）若 a，b 分别表示平行四边形的底和高，则面积S =_____；当 a = 2 cm， b = 3 cm 时，S =____cm2. ab 6 （2）若 a，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则面积 S =_________；当 a = 2 cm，b = 4 cm，h = 5 cm 时，S =________cm2. (a + b)h 2 15 新知巩固 教材P81 2. 一个长方体纸箱的长是 a，宽与高都是 b，用代数式表示这个纸箱的体积 V . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，求这个纸箱的体积。 解：这个纸箱的体积 V = ab2 . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时， V=ab2 = 60×402 = 96000 (cm3). 因此，这个纸箱的体积是 96000 cm3 . 新知巩固 3. 如图，用代数式表示圆环的面积. 当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，求圆环的面积（π 取 3.14). 解：圆环的面积为 πR2 － πr2 . 当 R = 15 cm，r = 10 cm 时， πR2 – πr2 = 3.14×152 － 3.14×102 = 392.5 (cm2). 因此，圆环的面积为392.5 cm2 . 检测反馈 1.如图，在边长为 a cm的正方形内，截去两个以正方形的边为直径的半圆. (1)阴影部分的周长为 cm. (2)当 a ＝4时，阴影部分的面积为 cm2.(结果保留π) (π a ＋2 a )　 (16－4π)　 2如图，已知 a ＝10， b ＝4，那么这个图形的面积是(　　) A. 64 B. 32 A C. 40 D. 42 检测反馈 3.如图（图中长度单位：cm），一截钢管外径是Rcm，内径是rcm，长度为ɑcm. （1）用代数式表示钢管的体积； （2）若R=10，r=8，ɑ=20，求钢管的体积(π取3.14，结果取整数）. 解：（1）钢管的体积为(πR2ɑ-πr2ɑ)cm3. （2）当R=10，r=8，ɑ=20时， πR2ɑ-πr2ɑ=3.14×102×20-3.14×82×20≈2261. 因此，钢管的体积约为2 261cm3. 分析：钢管可看作空心圆柱， 空心圆柱的体积是大圆柱体积-小圆柱体积， 圆柱的体积=底面积×高 1. 如图①是一张正方形纸片，小颖用剪刀沿虚线剪开，制作成如图②所示的新年挂图，挂图上面的小“福”是边长为 a 的正方形，大“福”是边长为 b 的正方形. (1)用含 a ， b 的式子表示图①中正方形纸片的周长. 拓展提升 解：正方形纸片的周长为4( a ＋ b ). (2)当 a ＝2， b ＝6时，求小颖用剪刀剪掉部分的面积. 解：易得裁掉的面积为 2 ab . 当 a ＝2， b ＝6时， 2 ab ＝2×2×6＝24. 所以裁掉部分的面积为24. 2.观察图①，先把1个三角形三边中点分别连接，构成4个小三角形，再挖去中间的1个小三角形;对剩下的3个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图②，图③……）.观察规律解答以下各题： （1）填写下表： 图形序号 挖去三角形的个数 ① 1 ② ③ ④ ______________ 拓展提升 解：由（1）知，图 中挖去三角形的个数 . （2）根据这个规律，求图 中挖去三角形的个数 ；（用含 的式子表示） （3）若图 中挖去三角形的个数 为,求 . 因为 , 所以 . 探究图形变化规律的方法： 探究图形变化规律的题目，一般要从题目中给出的几个图形入手，从计数方法上分别求出每个图形中目标图形的数量，从而将探究图形的变化规律问题转化为探究一列数的变化规律问题；也可关注随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比目标图形的变化规律，从而推出一般性的结论. 检测反馈 1. [2024·深圳盐田区期末]如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为 a ，中间的方孔周长为 b .当 a ＝4π， b ＝4时，阴影部分的面积为(　　) A. 2π－1 B. 2π－2 C. 4π－1 D. 4π－2 C 真题感知 解：　外圆半径为 ，中间方孔的边长为 ， 所以阴影部分的面积为π － . 当 a ＝4π， b ＝4时，原式＝4π－1. 2．（2025.陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为 　　 ． 解：观察图形可知， 第1个图案用了3个矩形，即3＝2×1+1， 第2个图案用了5个矩形，即5＝2×2+1， 第3个图案用了7个矩形，即7＝2×3+1， … 第n个图案用了（2n+1）个矩形， ∴第10个图案需要用矩形的个数为： 2×10+1＝21（个）， 21 真题感知 课堂小结 几何中的代数式求值 •利用规则几何图形的面积、体积公式求值 不规则几何图形的求值 规则几何图形 拆解 课后练习 习题 3.2 课本p82页 1. 填空题. （1）当 a = -1 时，代数式 2-a 的值是______； （2）当 b = - 时，代数式 1-b2 的值是______； 3 2. 已知 a = 12，b = -18，求下表中代数式的值： 代数式 a+b a-b ab 代数式的值 -6 30 -216 课后练习 习题 3.2 课本p82页 6. 一段钢管的形状和尺寸如图所示，如果大圆的半径是 R，小圆的半径是 r，钢管的长度是 a，用代数式表示这段钢管的体积 V. 当 R = 30 mm，r = 15 mm，a = 120 mm 时，求这段钢管的体积（π 取 3.14）. 解：V = πa(R2-r2). 当 R = 30 mm，r = 25 mm，a = 200 mm 时， V = πa(R2-r2) = 3.14×200×(302 -252) = 172700(mm3). 因此，这段钢管的体积为 172700 mm3. 8. 摄氏温标与华氏温标是两种计量温度的标准，它们分别用摄氏度和华氏度（℉）来计量温度，二者可以互相转换，请你查阅有关资料，解决下列问题： （1）将 25 ℃ 转换成华氏度； （2）将-4℉ 转换成摄氏度. 解：查阅资料可得 华氏温度F = 摄氏温度×1.8 + 32. 课后练习 习题 3.2 课本p82页 （1）当 温度=25 ℃时 华氏温度F = 25×1.8 + 32=77 ℉； （2）华氏温度F = -4℉ 时， -4℉ = 摄氏温度×1.8 + 32. 摄氏温度= -20 ℃. 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $