3.2 代数式的值 第1课时 求代数式的值 教案 2026-2027学年数学人教版七年级上册

该教案聚焦代数式的值的概念及求法，通过大礼堂座位、排球购置等实际情境导入，衔接前序列代数式知识，搭建从数量关系表示到具体数值计算的学习支架。 以数学抽象构建概念理解，用分步教学（代入、计算）规范运算能力，借整体代入例题突破难点，结合门票费、路程问题渗透数学建模，助力学生掌握方法，为教师提供清晰教学路径与实效策略。

3.2 代数式的值 第1课时 求代数式的值 课题3.2 代数式的值 第1课时 求代数式的值 课型新授课 备课人 授课班级 一、教学目标 1. 核心素养目标 （1）数学抽象：通过大礼堂座位问题、排球购置问题等实际情境，理解代数式的值的概念，能从具体问题中抽象出代数式的值的数学本质。 （2）逻辑推理：通过分析代数式中字母取不同值时代数式的值的变化规律，体会代数式的值与字母取值之间的对应关系。 （3）数学运算：掌握求代数式的值的一般步骤——代入和计算，能准确地将数值代替代数式中的字母并按运算关系求出结果。 （4）数学建模：能用代数式表示实际问题中的数量关系，并通过求代数式的值解决实际问题，感受数学建模的过程。 2. 教学重难点 重点：代数式的值的概念，求代数式的值的方法（代入法和计算法）。 突破策略：通过大礼堂座位问题和排球购置问题两个实例，让学生在具体情境中理解代数式的值的意义，通过例题讲解和练习巩固代入计算的方法。 难点：整体代入法的运用，以及含分式的代数式求值时字母取值需满足的条件。 突破策略：通过"已知2x的平方减3x加2等于5，求负5加2x的平方减3x的值"这一典型例题，引导学生发现整体代入的技巧；通过含分式的例题，强调字母取值必须使代数式有意义。 二、教学过程 （一）情境导入 【过渡语】在前面的学习中，我们学习了列代数式表示数量关系。今天我们来学习如何求代数式的值。 教师引导：同学们，我们在上一节学习了列代数式，知道可以用字母表示数，用代数式表示数量关系。那么，当字母取定具体的数值时，代数式的值是多少呢？让我们从一个大礼堂的座位问题开始今天的探究。 问题情境：某大礼堂第1排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位。 教师提问：第2排有多少个座位？学生回答：第2排有a+2个座位。 教师追问：第3排呢？学生回答：第3排有a+2+2 = a+4个座位，也就是a+2乘以2个座位。 教师追问：第n排有多少个座位？ 学生回答：第n排比第1排多了(n-1)个2，所以第n排有个座位。 教师追问：当a=20时，第20排有多少个座位？ 学生活动：将a=20, n=20代入公式。 代入得： 当a=20时， 教师追问：如果a=30呢？第20排有多少个座位？学生回答：30+38 = 68个座位。 教师追问：如果a=20，但求第10排呢？学生回答：a+2乘以(10-1) = 20+2乘以9 = 20+18 = 38个座位。 教师引导：可以看到，当a取不同的值时，代数式a+2(n-1)的值也不同。这就是我们今天要学习的内容——求代数式的值。 设计意图：通过大礼堂座位问题引入，让学生在熟悉的情境中感受"字母取不同值时代数式的值也不同"这一核心思想，自然过渡到代数式的值的概念。问题设计从特殊到一般，再从一般到特殊，帮助学生理解代数式的值的含义。 （二）探究新知 1. 探究一：排球购置问题 【过渡语】让我们通过一个排球购置的问题来深入理解代数式的值的概念。 问题：某学校计划为排球兴趣小组购置排球，根据小组人数n，需要购置的排球数量为5n+20个。 教师提问：当n=15时，需要购置多少个排球？ 学生活动：将n=15代入代数式5n+20中进行计算。 代入得： 教师追问：当n=20时，需要购置多少个排球？ 学生活动：将n=20代入。 代入得： 教师追问：当n=15和n=20时，代数式5n+20的值分别是多少？学生回答：分别是95和120。 教师追问：n=15和n=20时，代数式的值相同吗？学生回答：不同。n=15时值为95，n=20时值为120。 教师引导：可以看到，当n取不同的值时，代数式5n+20的值一般也不同。这说明代数式的值与字母的取值有关。 教师追问：如果n=10呢？代数式5n+20的值是多少？学生回答：5乘以10+20 = 50+20 = 70。 教师追问：如果n=0呢？学生回答：5乘以0+20 = 0+20 = 20。即使没有兴趣小组成员，也需要购置20个排球（可能是基本配置）。 【知识点】用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 教师强调：代数式的值是一个具体的数值，它随着代数式中字母取值的不同而变化。当字母取不同值时，代数式的值一般也不同。 设计意图：通过排球购置问题，让学生在具体计算中理解代数式的值的概念。通过n取不同值得到不同结果，帮助学生体会代数式的值与字母取值之间的对应关系。 2. 探究二：代数式的值的概念 【过渡语】通过上面的探究，我们已经对代数式的值有了初步认识。让我们进一步明确代数式的值的概念。 教师讲解：一般地， 教师强调概念中的关键要素：第一，"用数值代替字母"——这就是"代入"；第二，"按照运算关系计算"——这就是"计算"。所以求代数式的值就是两步：代入和计算。 教师追问：在排球购置问题中，5n+20是一个代数式，当n=15时，95就是这个代数式的值。那么n=15叫什么？学生回答：n=15是字母n的取值。 教师追问：代数式的值是唯一的吗？学生回答：不是。代数式的值取决于字母的取值，字母取不同的值，代数式的值一般也不同。 教师追问：有没有代数式，无论字母取什么值，代数式的值都相同？学生思考后回答：有。比如代数式5，它不含字母，所以值恒为5。又如代数式2+3 = 5，值也恒定。 教师追问：在代数式a+2(n-1)中，如果a和n都确定了，代数式的值确定吗？学生回答：确定。因为字母的值确定了，按照运算关系计算就能得到唯一的结果。 【知识点】代数式的值是由代数式中字母的取值决定的。当字母取不同值时，代数式的值一般也不同。求代数式的值的过程就是"代入"和"计算"两个步骤。 教师引导：同学们要特别注意，代数式的值不仅与字母的取值有关，还与代数式本身的运算关系有关。同一个字母取值，在不同的代数式中，得到的值可能不同。 教师追问：比如当x=2时，代数式3x和x+5的值分别是多少？学生回答：3x的值是3乘以2 = 6，x+5的值是2+5 = 7。虽然x的取值相同，但代数式不同，值也不同。 设计意图：通过概念讲解和追问，帮助学生深入理解代数式的值的含义。强调"代入"和"计算"两个关键步骤，为后续例题教学做铺垫。通过对比不同代数式在相同字母取值下的不同结果，加深对概念的理解。 3. 探究三：求代数式的值的步骤 【过渡语】知道了什么是代数式的值，那么如何求代数式的值呢？让我们来总结具体的步骤。 教师引导：通过前面的探究，我们发现求代数式的值实际上就是两个步骤。 第一步：代入——用数值代替代数式中的字母。 第二步：计算——按照代数式中的运算关系进行计算，得出结果。 【知识点】求代数式的值的步骤：(1) 代入——用数值代替代数式中的字母；(2) 计算——按照代数式中的运算关系计算得出结果。 教师强调代入时的注意事项：第一，代入负数时要加括号，避免符号错误；第二，代入分数时要加括号，避免运算顺序混乱；第三，代入时要注意运算顺序不变。 教师追问：当代数式中的字母取负数时，代入时应该注意什么？学生回答：要把负数用括号括起来。比如x=-2代入x的平方时，应该写成(-2)的平方，而不是-2的平方。 教师追问：为什么？学生回答：因为负数的平方是正数，(-2)的平方 = 4，而-2的平方如果理解为-(2的平方) = -4，结果就错了。所以加括号很重要。 教师追问：当代数式中的字母取分数时呢？学生回答：也要加括号。比如y=代入3y时，应该写成3乘以()，而不是3乘以（可能会被误解为）。 方法总结 求代数式的值的步骤： 第一步：代入——用数值代替代数式中的字母，注意负数和分数要加括号； 第二步：计算——按照代数式中的运算关系进行计算，得出结果。 注意：代入时只替换字母，不改变运算关系；计算时按先乘除后加减、有括号先算括号的顺序进行。 设计意图：通过明确求代数式的值的两步骤——代入和计算，帮助学生形成清晰的方法体系。强调代入时加括号的注意事项，预防常见错误，为后续例题和练习做好方法准备。 （三）例题精讲 1. 例1：求代数式2x+3y的值 【过渡语】让我们通过例题来学习求代数式的值的具体方法。 例1：根据下列条件，求代数式2x+3y的值。 (1) 分析：要求代数式2x+3y的值，只需将x和y的值代入代数式中，然后按照运算关系进行计算。 解：当时， 教师讲解：将x=15代入2x中的x，得2乘以15；将y=12代入3y中的y，得3乘以12。然后按照先乘除后加减的顺序计算：2乘以15 = 30，3乘以12 = 36，30+36 = 66。 (2) 分析：这里y的值是一个分数，代入时要注意加括号。 解：当时， 教师讲解：将x=1代入，y=代入。注意3y = 3乘以()，括号不能省略。计算时，2乘以1 = 2，3乘以() = ，2 + = + = 。 教师追问：为什么3乘以() = ？学生回答：3乘以()就是3个相加，等于。也可以理解为乘以 = 。 教师追问：2 + 怎样计算？学生回答：2 = ，所以 + = 。通分后相加。 教师强调：当字母取分数时，代入后要注意分数的运算。通分是常用的方法。 【知识点】求代数式的值时，代入分数要加括号，计算分数加法时要通分。 教师追问：在第(1)题中，如果x=15, y=12改为x=12, y=15，结果会相同吗？学生回答：不同。2乘以12+3乘以15 = 24+45 = 69，与66不同。说明字母的值不同，代数式的值一般也不同。 教师追问：在第(2)题中，如果x=, y=1呢？学生回答：2乘以()+3乘以1 = 1+3 = 4。x和y的值互换，结果也不同。 方法总结：求代数式的值的关键是正确代入和准确计算。代入时注意负数和分数加括号，计算时注意运算顺序和分数的运算法则。 设计意图：例1选取了不含分式和含分数的两种情况，帮助学生掌握基本的代入计算方法。第(1)题是整数代入，第(2)题涉及分数运算，层次递进。通过追问加深对"字母取不同值时代数式的值一般也不同"的理解。 2. 例2：求含分式的代数式的值 【过渡语】接下来我们看一个含有分式的代数式求值的例子。 例2：根据下列条件，求代数式的值。 代数式： (1) 分析：这个代数式含有分式，分子是a的平方，分母是b。代入时要把a和b的值分别代入，然后计算。 解：当时， 教师讲解：将a=4代入，b=12代入。先算分子的平方：4的平方 = 16。再算分式：。最后约分： = （分子分母同除以4）。 教师追问：4的平方等于多少？学生回答：4乘以4 = 16。 教师追问：怎样约分？学生回答：16和12的最大公约数是4，所以 = ()/() = 。 (2) 分析：这里a的值是负数，代入时要注意加括号。a的平方是正数。 解：当时， 教师讲解：将a=-3代入，b=2代入。注意(-3)的平方 = 9（负数的平方是正数）。所以结果为。 教师追问：(-3)的平方等于多少？学生回答：(-3)乘以(-3) = 9。负数乘负数得正数。 教师追问：为什么不等于-9？学生回答：因为(-3)的平方表示(-3)乘以(-3)，两个负数相乘得正数，所以结果是9，不是-9。 教师追问：如果a=3（正数），b=2，结果是多少？学生回答：3的平方/2 = 。与a=-3时结果相同，因为3和-3的平方都是9。 【知识点】求含分式的代数式的值时，要注意：(1) 代入负数要加括号；(2) 负数的平方是正数；(3) 最后结果要约分。 教师追问：在这个代数式中，b可以取0吗？学生回答：不可以。因为b是分母，分母不能为0，否则代数式没有意义。 教师追问：那么a可以取0吗？学生回答：可以。a=0时，0的平方/b = 0/b = 0（b不等于0时），结果是0。 特别提醒 字母取值要满足条件： 在求代数式的值时，字母的取值必须使代数式有意义。例如： (1) 分式的分母不能为0； (2) 实际问题中字母的取值要符合实际意义（如人数不能为负数）。 如果字母取值使代数式无意义，则代数式在该取值下没有值。 设计意图：例2选取了含分式的代数式，既巩固了代入计算的方法，又引入了"字母取值要满足条件"这一重要思想。第(1)题是正数代入，第(2)题涉及负数平方，层次分明。特别提醒框帮助学生建立"代数式有意义"的意识。 （四）巩固练习 1. 针对训练：门票费问题 【过渡语】现在让我们通过一个实际问题来巩固所学知识。 针对训练：某公园门票价格为成人每人10元，学生每人5元。一批游客中有x个成人和y个学生，用代数式表示这批游客的门票总费用，并计算当x=37, y=15时的门票总费用。 分析：成人门票费为10x元，学生门票费为5y元，总费用为元。 当时，代入计算： 答：这批游客的门票总费用为445元。 教师追问：如果有50个成人，20个学生呢？学生回答：10乘以50+5乘以20 = 500+100 = 600元。 教师追问：如果游客全是成人呢？学生回答：此时y=0，总费用为10x元。比如x=37时，费用为10乘以37 = 370元。 设计意图：通过门票费这一实际问题，让学生体会求代数式的值在解决实际问题中的应用。先列代数式，再代入求值，完整展现数学建模的过程。 2. 练习1：求含平方项的代数式的值 练习1：根据下列条件，求代数式的值。 代数式： 当时，求代数式的值。 学生活动：独立完成，然后汇报。 解：当时， 教师讲解：将x=4, y=2代入。x的平方 = 4的平方 = 16，xy = 4乘以2 = 8，y的平方 = 2的平方 = 4。所以16+8-4 = 20。 教师追问：如果x=-4, y=2呢？学生回答：(-4)的平方+(-4)乘以2-2的平方 = 16-8-4 = 4。x取相反数时，结果不同。 教师追问：如果x=4, y=-2呢？学生回答：4的平方+4乘以(-2)-(-2)的平方 = 16-8-4 = 4。y取相反数时，结果也不同。 设计意图：练习1选取了含平方项和乘积项的代数式，巩固代入计算的方法。通过改变字母的符号，让学生体会字母取值对代数式值的影响，加深对代数式的值的概念的理解。 3. 练习2：整体代入法 【过渡语】接下来我们看一道需要用整体代入法来解决的题目。 练习2：已知，求的值。 分析：这道题没有直接给出x的值，所以不能直接代入。但是观察发现，所求代数式与已知等式有联系。 由，可得： 所以 = 教师讲解：观察已知等式2x的平方-3x+2 = 5，可以变形得到2x的平方-3x = 5-2 = 3。而所求代数式-5+2x的平方-3x可以变形为-5+(2x的平方-3x)，即将2x的平方-3x看作一个整体，代入3，得-5+3 = -2。 【知识点】整体代入法：当不能或不易求出单个字母的值时，可以把代数式中的一部分看作一个整体，利用已知条件整体代入求值。 教师追问：为什么不能直接求出x的值？学生回答：因为2x的平方-3x = 3是一个一元二次方程，我们目前还没有学过解一元二次方程，所以不能直接求出x的值。 教师追问：整体代入法的关键是什么？学生回答：关键是在所求代数式中找到与已知等式相同的部分，然后整体代入。 教师追问：如果已知2x的平方-3x = 3，求4x的平方-6x+1的值呢？学生回答：4x的平方-6x = 2(2x的平方-3x) = 2乘以3 = 6，所以4x的平方-6x+1 = 6+1 = 7。 教师追问：如果已知2x的平方-3x = 3，求2x的平方-3x+10的值呢？学生回答：直接整体代入，3+10 = 13。 方法技巧 整体代入法： 当已知条件是一个等式，且不易求出单个字母的值时，可以将代数式中的某一部分看作一个整体，利用已知条件整体代入。 关键步骤： (1) 观察已知等式和所求代数式之间的联系； (2) 将已知等式变形，求出某个整体代数式的值； (3) 将所求代数式变形，用已知整体表示，代入求值。 设计意图：整体代入法是本节课的难点。通过这道典型例题，引导学生发现"将代数式整体看作一个字母"的思路，培养灵活运用知识的能力。方法技巧框帮助学生系统掌握整体代入法的步骤。 4. 练习3：路程问题与填图 练习3：(1) 一辆汽车已行驶了3.5千米，之后以速度v千米/小时行驶了t小时。用代数式表示汽车行驶的总路程，并计算当v=56, t=0.5时的总路程。 分析：汽车行驶的总路程为千米。 当时， 答：汽车行驶的总路程为31.5千米。 教师追问：如果v=60, t=1.5呢？学生回答：3.5+60乘以1.5 = 3.5+90 = 93.5千米。 (2) 填图练习：根据条件求代数式的值并填入相应位置。 代数式： 当时，求代数式的值。 解： 教师讲解：将x=2, y=-3代入。x的平方 = 2的平方 = 4，2xy = 2乘以2乘以(-3) = -12，y的平方 = (-3)的平方 = 9。所以4+(-12)+9 = 4-12+9 = 1。 教师追问：x的平方+2xy+y的平方这个代数式有什么特点？学生回答：它看起来像完全平方式。 教师追问：如果x和y取相同的值，比如x=3, y=3，结果是多少？学生回答：3的平方+2乘以3乘以3+3的平方 = 9+18+9 = 36 = 6的平方。确实是完全平方式。 设计意图：练习3将实际问题（路程问题）和纯数学计算（填图练习）结合，既巩固了代入计算的方法，又拓展了完全平方式的识别。路程问题让学生感受代数式的值在解决实际问题中的应用。 三、课堂小结 1. 代数式的值的概念 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 代数式的值是由代数式中字母的取值决定的。当字母取不同值时，代数式的值一般也不同。 2. 求代数式的值的步骤 第一步：代入——用数值代替代数式中的字母。 第二步：计算——按照代数式中的运算关系进行计算，得出结果。 3. 代入时的注意事项 易错提示 代入时的注意事项： (1) 代入负数时要加括号，如x=-2代入x的平方，应写成(-2)的平方； (2) 代入分数时要加括号，如y=代入3y，应写成3乘以()； (3) 代入时只替换字母，不改变运算关系和运算顺序； (4) 计算时按先乘除后加减、有括号先算括号的顺序进行。 4. 整体代入法 当不能或不易求出单个字母的值时，可以把代数式中的一部分看作一个整体，利用已知条件整体代入求值。 关键步骤：观察已知等式和所求代数式之间的联系，将已知等式变形求出某个整体代数式的值，再将所求代数式变形后代入。 5. 字母取值要满足条件 在求代数式的值时，字母的取值必须使代数式有意义。分式的分母不能为0，实际问题中字母的取值要符合实际意义。 归纳总结 本节课核心要点： (1) 代数式的值 = 代入 + 计算； (2) 负数、分数代入要加括号； (3) 整体代入法——找联系、整体代； (4) 字母取值要使代数式有意义。 学科网（北京）股份有限公司 $