第28章 圆 专题14 圆中辅助线的添加方法-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学单元复习课件聚焦“圆中辅助线的添加方法”，系统梳理构造同（等）弧所对的圆周角或圆心角、利用直径构造直角三角形等四类核心方法，通过典型例题将辅助线添加策略与圆的性质定理紧密结合，帮助学生构建完整的圆中几何问题解题框架。 其亮点在于精选各地期末、中考真题及探究性问题，如通过“直径构造直角三角形”解决角度计算，“作弦的垂线和半径”推导线段长度，培养学生的几何直观与推理能力。分层设计满足不同学生需求，教师可直接用于专题复习，提升学生解题技能与知识应用能力。

2 第二十八章　圆 专题14　圆中辅助线的添加方法 3 类型1　构造同（等）弧所对的圆周角或圆心角 1. （石家庄桥西期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，连接AB，BC，AC. 若∠C=30°，AB=4，则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 4 2. 如图，已知点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠A=30°，∠O=48°，则∠E的度数为________. 54° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 5 类型2　利用直径构造直角三角形 3. （唐山路北期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点. 若∠BCD=42°，则∠ABD的度数为 （　　） A. 68° B. 58° C. 48° D. 21° C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 6 4. 如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OC. 若⊙O的半径为3，且sin B= ，则弦AC的长为________. 5 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 7 5. 如图，已知AB是⊙O的直径，若∠E=25°，∠CAD=45°，求∠CDA的度数. 解：如图，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°. ∵∠CAB=∠CAD+∠BAD，∠ABC=∠BCD+∠E，∠BAD= ∠BCD，∴∠CAB+∠ABC=∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E=45° +2∠BAD+25°=70°+2∠BAD=90°，∴∠BAD=10°，∴∠CDA= ∠BAD+∠E=10°+25°=35°. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 8 6. （邯郸复兴期末）如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆O与AB交于点D，与AC交于点E，连接DE. （1）求证：D为AB的中点； （2）求证：AD=DE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 9 证明：（1）如图，连接CD. ∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB. ∵CA=CB，∴AD=BD，∴D为AB的中点. （2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠DEC=180°. ∵∠AED+∠DEC=180°，∴∠AED=∠B. ∵CA=CB，∴∠A=∠B，∴∠A=∠AED，∴AD=DE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 类型3　遇直径垂直于弦，作过弦端点的半径 7. （唐山迁安期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD. 若AB=10，CD=6，求弦AD的长. 解：如图，连接OD. ∵CD⊥AB，∴∠AED=90°，CE=DE=CD=3. ∵AB=10，∴OD=OA=5. 在Rt△ODE中，OE===4， ∴AE=OA+OE=5+4=9. 在Rt△ADE中，AD===3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 11 8.（石家庄桥西期中）如图，已知OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是⊙O的半径，且OE⊥ AB于点F. （1）求证：AC=BD； （2）若CD=8，EF=2，求⊙O的半径. 解：（1）证明：∵OE⊥ AB，∴CF=DF. ∵OA=OB，OE⊥ AB，∴AF=BF， ∴AF-CF=BF-DF，即AC=BD. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 12 （2）解：如图，连接CO. ∵OE⊥ AB，CD=8， ∴CF=CD=4. 设⊙O的半径为r. ∵CO2=CF2+OF2，EF=2， ∴r2=42+（r-2）2，解得r=5， ∴⊙O的半径为5. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 类型4　遇弦，作弦的垂线和半径 9. （衡水故城期中）半圆形纸片的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 （　　） A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. 3 cm A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 14 10. 如图，⊙O的半径为10，弦AB=16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为 （　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 15 11. [新趋势 探究性问题]如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E，且总有∠BED=45°，则AE2+BE2的值 （　　） A. 随着OE的增大而增大 B. 随着OE的增大而减小 C. 随着OE的增大先增大后减小 D. 保持不变 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 16 解析：如图，作OH⊥AB，垂足为H，连接OA，OB，则AH=BH. 设⊙O的半径为R. ∵∠OEH=∠BED=45°，∴OH=HE， ∴AE2+BE2=（AH+HE）2+（BH-HE）2=（AH+OH）2+（BH-OH）2= AH2+OH2+2AH·OH+BH2+OH2-2BH·OH=R2+R2+2OH·（AH-BH）=2R2， ∴AE2+BE2的值保持不变. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 12. （石家庄裕华期末）如图，⊙O的半径为5，M是圆外一点. 若MO=6，∠OMA=30°，则弦AB的长为________. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 13. 如图，已知AB为⊙O的弦，点C在线段AB上，AC=4，BC=2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长. 解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OD. ∵AC=4，BC=2，∴AB=6. ∵OE⊥AB，∴AE=BE=3，∴CE=3-2=1. 设OE=x. 在Rt△OAE中，OA2=x2+9. 在Rt△OCE中，OC2=x2+1. ∵CD⊥OC，∴CD2=OD2-OC2=x2+9-（x2+1）=8，∴CD=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 14. （上海中考）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且 cos ∠ABC=，OC=OB. （1）求⊙O的半径； （2）求∠BAC的正切值. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D. ∵AB=8，∴AD=BD=AB=4.  在Rt△OBD中，∵cos ∠ABC==， ∴OB==5，∴⊙O的半径为5. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 （2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E. ∵OC=OB，OB=5，∴BC=OB=7.5. ∵OD⊥AB，CE⊥AB，∴OD⫽CE，∴=，即=， ∴BE=6，∴AE=AB-BE=8-6=2.  在Rt△BCE中，CE==4.5.  在Rt△ACE中，tan ∠BAC===. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 13 23 $