26.4 解直角三角形的应用 第1课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用”第1课时，核心知识点为仰角、俯角、方位角问题。课堂导入可从无人机测楼高、渔船航行等实际情境切入，通过“练基础”巩固概念（如仰角俯角关系、方位角计算），“练提升”深化应用（如支架高度、航向判断），形成从基础到综合的学习支架，衔接直角三角形边角关系前序知识。 其亮点在于融入“新情境”“新趋势”实例，如北斗导航、路灯测量、花园步道决策，以数学眼光观察现实问题。通过推理计算（如利用三角函数列方程）培养数学思维，用数学模型（如构造直角三角形）表达解决实际问题。分层练习设计帮助学生提升应用能力，教师可直接使用情境素材和分层题目，提高教学效率。

2 第二十六章　解直角三角形 26.4　解直角三角形的应用 第1课时　仰角、俯角、方位角问题 3 练基础 练提升 目 录 练素养 4 练基础 知识点1　与仰角、俯角有关的问题 1. （唐山滦南期中）如图，从点E处观测点D的仰角是30°，则在点D处观测点E的俯角是 （　　） A. 30° B. 60° C. 75° D. 120° A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 5 2. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=55°，若AC=6 m，则树高BC为 （　　） A. 6sin 55° m B. m C. m D. 6tan 55° m D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 6 3. ［教材P141T1改编］如图，从航拍无人机A处看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为________. （结果保留根号） 160 m 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 7 4. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为 （　　） A. n mile B. n mile C. 20 n mile D. 10 n mile D 知识点2　与方位角有关的问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 8 5. 如图，小岛P位于小岛Q的正西方向，P，Q两岛间的距离为（40+40）km，由小岛P，Q分别测得轮船R位于南偏东60°和南偏西45°方向上，则轮船R到小岛P的距离为________. 80 km 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 9 6. [新情境 科技发展]北斗卫星导航系统是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，可为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务. 小明一家人自驾到景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10 km到B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到景区C，发现景区C在A地的北偏东15°方向. （1）求∠C的度数； （2）求A，C两地间的距离（结果精确到0.1 km. 参考数据：≈1.414，≈1.732）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 10 解：（1）如图，∵EF⫽DA，∴∠ABE=∠BAD=45°， ∴∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=180°-45°-60°=75°. ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-75°=45°. （2）如图，过点B作BG⊥AC， 垂足为G，∴∠BGA=∠BGC=90°. ∵AB=10 km，∠BAC=60°， ∴在Rt△ABG中，AG=AB·cos ∠BAG=10×cos 60°=5（km），BG=AB·sin ∠BAG= 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 10×sin 60°=5（km）. ∵∠C=45°，∠BGC=90°，∴CG=BG=5 km， ∴AC=AG+CG=5+5≈13.7（km）. ∴A，C两地间的距离约为13.7 km. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 7. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC=a，AB=b，AB的最大仰角为α. 当∠C=45°时，点A到桌面的最大高度是 （　　） A. a+ B. a+ C. a+bcos α D. a+bsin α D 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 13 8. （石家庄新华模拟）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10 km到A处，再右转40°航行5 km到B处. 在点A的正南方向、点P的正东方向的C处有一艘船，也计划驶往B处，那么它的航向是 （　　） A. 北偏东10° B. 北偏东30° C. 北偏东35° D. 北偏东40° C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 14 9. [新趋势 综合与实践]图1是某路灯的实物图，图2是其示意图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN的长，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下： 根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离MN约为多少米.（结果精确到 0.1 m. 参考数据：cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 15 解：如图，延长DA，交MN于点F， 则DF⊥MN，AD=BC=2 m，AB=CD=NF=1.6 m. 设AF=x m，则DF=AF+AD=（x+2）m. 在Rt△MFA中，∠MAF=58°， ∴MF=AF·tan 58°≈1.60x m. 在Rt△MDF中，∠MDF=31°， ∴tan 31°==≈0.60，解得x≈1.2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 16 ∴MF≈1.60x≈1.60×1.2=1.92（m）， ∴MN=MF+NF≈1.92+1.6≈3.5（m）， 即路灯顶部到地面的距离MN约为3.5 m． 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 17 10. [新趋势 方案决策题]为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建了一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道. 如图，点C在点A的正东方向170 m处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100 m，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向. （1）求步道DE的长度； （2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步 道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到 达点D，请通过计算说明他走哪条路较近. （参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，≈1.73） 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 18 解：（1）如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F. 由题意，得四边形 ACDF 是矩形， ∴DF=AC=170 m. 在Rt△EFD中，sin ∠DEF=， ∠DEF=58°， ∴DE=≈=200（m）， 即步道DE的长度约为200 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 19 （2）在Rt△EFD中，tan ∠DEF=，∠DEF=58°，DF=170 m， ∴EF= ≈=106.25（m）. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-30°=60°，AC=170 m， 且tan ∠BAC=，cos ∠BAC=， ∴BC=170×tan 60°=170（m），AB==340（m）. ∵BD=100 m，∴CD=BC+BD=（170+100）m. ∵四边形ACDF是矩形，∴AF=CD=（170+100）m， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 20 ∴AE=AF-EF≈170+100-106.25≈287.85（m）， ∴某人从点A出发，经过点B到达点D的路程为AB+BD=340+100=440（m）；某人从点 A 出发，经过点 E 到达点 D的路程为 AE+DE≈287.85+200=487.85（m）. ∵440 m<487.85 m， ∴某人从点A出发，经过点B到达点D的路程较近. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 21 22 $