第25章 图形的相似 专题9 相似三角形与“十字型”-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学单元复习课件聚焦“图形的相似”中相似三角形与“十字型”模型，通过模型解读、初步探究（基础题）、深入探究（综合与迁移题）及模型归纳（表格总结模型特点与结论），构建从具体情境到抽象模型的知识网络。 其亮点在于采用“模型引领-分层探究-归纳应用”策略，以矩形中“十字”线段为载体，引导学生用数学眼光观察图形特征，通过推理相似关系培养数学思维，用表格归纳模型结论发展数学语言。如初步探究通过矩形中垂线证相似求比值，深入探究结合折叠、四边形等情境设计分层题，助力学生巩固相似知识，教师可高效开展专题复习。

2 第二十五章　图形的相似 专题9　相似三角形与“十字型” 3 【模型解读】 　　矩形中存在两条互相交叉，看起来像“十字”的线段，线段的端点在矩形的边上，如图. 解决此模型问题的一般方法是利用条件找相似三角形或构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题. 4 【初步探究】 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，过点A作BE的垂线交CD于点F，垂足为G，若4AB=3AD，求的值. 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°. ∵AF⊥BE，∴∠DAF+∠AEB=90°， ∴∠DFA=∠AEB，∴△DFA∽△AEB，∴=. ∵4AB=3AD，∴ = ，∴ = . 5 1. 如图，直线l分别交矩形ABCD的对边于点M，N，把矩形ABCD沿直线l对折，使点A，C重合，展开后，连接AC，求证：=. 证明：如图，过点B作BE⫽MN，分别交AD，AC于点E，F. 由对折的性质，得MN⊥AC， ∴BE⊥AC，∴∠BFA=90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，AD⫽BC. 【深入探究】 6 又∵BE⫽MN，∴四边形BMNE是平行四边形， ∴BE=MN. ∵∠BFA=90°，∠BAD=90°， ∴∠BAC+∠ABE=90°，∠BAC+∠CAD=90°， ∴∠ABE=∠CAD. 又∵∠BAE=∠ADC=90°，∴△ABE∽△DAC， ∴=，∴=. 2. 综合与实践课上，某班数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究： （1）基础知识：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边上，且EF⊥GH，若EF=8，则GH的长为________； （2）类比探究：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=60°，AD=2，点E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF，=4-6，求AB的长； 4 8 （2）解：如图1，过点D作DG⫽BC交BA的延长线于点G，过点C作CH⊥DG交GD的延长线于点H，则∠G=∠ABC=∠H=90°， ∴四边形BCHG为矩形，∴∠BCH=90°. 易证得===4-6. ∵∠BCD=60°，GH⫽BC，∴∠CDH=60°. ∵∠ADC=90°，∴∠ADG=30°. ∵AD=2，∴GA=1. 在Rt△ADG中，由勾股定理，得DG=， 在Rt△CDH中，∠DCH=30°，设DH=x，则CH=x，∴==4-6，解得x=2， ∴CH=2，∴AB=BG-AG=CH-AG=2-1. （3）证明：如图2，作CH⊥AC，延长AE交CH于点H. ∵∠BAC=90°，∴∠ADB+∠ABD=90°. ∵AE⊥BD，∴∠ADB+∠CAH=90°，∴∠ABD=∠CAH. 又∵AB=AC，∠BAD=∠ACH=90°，∴△ACH≌△BAD（ASA）， ∴AD=CH. ∵∠ACH+∠BAD=180°，∴AB⫽CH， ∴△BAE∽△CHE，∴=，∴=. （3）迁移探究：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC上一点，连接BD，作AE⊥BD交BC于点E，求证：=. 【模型归纳】 11 12 $