第25章 图形的相似 专题5 相似三角形的基本模型——A字型-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件系统梳理了相似三角形A字型模型的基础类型、拓展探究及应用，通过基础模型（正A字，DE平行BC）、模型拓展（反A字，如∠AED=∠ABC）及探究（含直角的相似关系），结合模型归纳表格构建完整的模型知识网络。 其特色在于以模型为核心，通过“基础模型-拓展探究-归纳应用”的复习策略，如探究直角条件下相似三角形的数量关系培养推理能力，动点问题（t=2或4/5时△APQ∽△ABC）发展几何直观与模型意识。分层练习设计让学生巩固模型应用，教师可精准教学提升复习效率。

2 第二十五章　图形的相似 专题5　相似三角形的基本模型——A字型 3 【基础模型】线段与三角形的一边平行 如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE⫽BC，若AD=DE=2，DB=3，则BC的长为________. 5 2 3 4 1 4 【模型拓展】线段与三角形的一边不平行 探究一：如图2，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且∠AED=∠ABC. 求证：△AED∽△ABC. 证明：∵∠AED=∠ABC，∠DAE=∠CAB， ∴△AED∽△ABC. 2 3 4 1 5 探究二：在图2的基础上，移动点D，使点D与点B重合，点E仍在边AC上，且∠AEB=∠ABC，如图3所示，则可得出△________∽△________. AEB ABC 2 3 4 1 6 探究三：如图4，当∠BEA=∠ABC=90°时， （1）图中共有________组相似三角形，分别为___________________________________________，写出证明过程； （2）探究线段AB，AC，AE之间的数量关系. 3 △ABE∽△BCE，△ABE∽△ACB，△CBE∽△CAB 解：（1）证明:∵∠BEA=∠ABC=90°，∴∠BEC=∠BEA =∠ABC=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠CBE+∠ABE=90° ，∴∠A=∠CBE.∵∠BEC=∠BEA，∴△ABE∽△BCE. ∵∠BAE=∠CAB，∠BEA=∠CBA，∴△ABE∽△ACB. ∵∠BCE=∠ACB，∠BEC=∠ABC，∴△CBE∽△CAB. 2 3 4 1 7 解：（2）由（1）可知，△ABE∽△ACB， ∴=，∴AB2=AE·AC. 因此，线段AB，AC，AE之间的数量关系为AB2=AE·AC. 2 3 4 1 拓展应用：如图5，在△ABC中，作CD⊥AB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为D，E，F. 若AC=3，BC=5，则的值为________. 2 3 4 1 9 【模型归纳】 特例：如图，当出现直角时，可以得到△ABC∽△ACD∽△CBD. 2 3 4 1 10 【模型应用】 1. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为 （　　） A. 4 B. 6 C. 4 D. 4 C 2 3 4 1 11 2. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高. 若AD=9 cm，BD=4 cm，则CD=________. 6 cm 2 3 4 1 12 3. 如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE⫽AB交AC于点E. 若=，则=________. 2 3 4 1 13 4. （保定安国期中）如图，在△ABC中，AB=4 cm，AC=8 cm，点P从B点出发沿BA向终点A以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从A出发沿AC向终点C以2 cm/s的速度移动. 设运动时间为t s，当t=________时，△ABC与△APQ相似. 2或 解析：根据题意，得BP=t cm，PA=（4-t）cm，AQ=2t cm. ∵∠A=∠A，∴若 = ，有△APQ∽△ABC， 又∵AB=4 cm，AC=8 cm，∴ = ，解得t=2； 2 3 4 1 14 ∵∠A=∠A，∴若 = ，有△APQ∽△ACB， ∴ = ，解得t= . 综上所述，当t=2或时，△ABC与△APQ相似. 2 3 4 1 16 $