26.1 锐角三角函数 （课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数（正切、正弦、余弦），通过轮船测距等实际问题导入，结合相似直角三角形知识，构建从具体情境到抽象概念的学习支架，帮助学生理解三角函数定义及计算。 其亮点在于以问题驱动探究，通过相似推理得出比值确定性培养数学思维，结合实例（如正方形中三角函数计算）发展数学眼光与语言表达。分层练习巩固知识，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学路径。

第 二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数 第1课时 正切 学习目标 1.利用相似的直角三角形，探索并理解正切的概念. 2.能根据正切的定义公式进行相关计算. 学习重难点 理解正切的概念 根据正切的定义公式进行相关计算. 难点 重点 问题导入 如图，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距灯塔多少千米？（结果保留两位小数） 事实上，求轮船距灯塔的距离，就是在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠BAC＝55°，AC=5 km，求BC长度的问题. 解决此问题，需要用到将要学习的直角三角形的边角关系. 3 知识点 正切的概念 新知探究 思考 1.如图1，在两个大小不容的含30°角的直角三角板中，∠C=∠C′ =90°，∠A=∠A′=30°，与有怎样的关系？请说明理由. 2.如图2，已知∠EAF＜90°，BC⊥AF，B′C′⊥AF，垂足分别为C,C′.与有怎样的关系？请说明理由. 4 在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的. 发现 对任意直角三角形，如果一个锐角确定了，那么这个锐角的对边长度与邻边长度之比是一个常数;反过来，如果知道一个锐角的对边长度与邻边长度的比值，那么就可以通过一条边的长度求出另一条边的长度. 正切 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A， 即 ∠A的 对 边 a A B C ∠A的邻边b 斜边c 6 解读 正切是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关.即∠A的正切tan A随着∠A的变化而变化. 7 正切的表示 “tan A”是一个完整的符号，单独写符号tan是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” . 1.省去“∠”的情况：当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，如：tan A，tan α . 2.不能省去“∠”的情况：当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，如：tan ∠ ABC，tan ∠ 1 . 8 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=8，AB=10，求tan A的值． 例1 例题示范 解：在Rt△ABC中， ∵BC=8，AB=10， ∴根据勾股定理，得 AC= ==6. ∴tan A==. 9 已知锐角的具体度数，我们可以利用科学计算器求得这个锐角的正切值. 下面解决本节开始提出的问题. 如图，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距灯塔多少千米？（结果保留两位小数） 解：根据题意，得∠BAC＝90°－35°=55°. 利用科学计算器可以求得tan 55°≈1.428. 在Rt△ABC中，∵tan ∠BAC＝，AC=5 km, ∴BC=AC· 5×tan 55°≈7.14（km）. 答：此时轮船距灯塔约7.14 km. 例2 随堂演练 1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列 各式正确的是（ ） A.tan A= B.tan A= C.tan C= D.tan C= A 11 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍， tan A的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定 C 随堂演练 12 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD=AD=8， tan ∠DAC=,则边BC的长为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 C 随堂演练 13 4. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4）， 则tan α = . O P( 3 , 4 ) A 随堂演练 14 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan ∠ABC=，点D在边BC上，BD=8，连接AD，tan ∠DAC=，求边AC的长. 随堂演练 解：设CD=2x. 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tan∠DAC=， ∴=，∴AC=3x. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=， ∴，∴BC=4x,∴BD=BC-CD=2x. ∵BD=8，∴2x=8，即x=4，∴AC=3x=12. 15 1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tan C吗？ 拓展提升 1.5 A B C D 3 解：∵△ABC是等腰直角三角形， BD⊥AC， ∴CD＝1.5， ∴ 16 2.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tan B. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴在Rt△ABD中， ∵BD=5，AD=12. ∴ . 提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. 拓展提升 3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值. 解：由正方形的性质可知， ∠ADN=∠DNC，BC=DC=4， ∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1. tan∠AND=tan∠DNC= . 拓展提升 课堂小结 正切 定义 对边与邻边的比 表示方法 有关计算 与锐角的大小有关， 与三角形边的长短无关 19 第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解锐角正弦、余弦的定义． 2.会求直角三角形中锐角的正弦值、余弦值． 理解锐角正弦、余弦的意义． 用正弦值、余弦值表示直角三角形中两边的比. 回顾复习 什么叫锐角的正切？如何表示？ 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A . 问题引入 问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么与有什么关系．你能试着分析一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是定值. 由相似，得= = 探索新知 ∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A ， 即 在图中， ∠A的对边记作a， ∠B的对边记作b， ∠C的对边记作c. 知识点1 问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么与有什么关系．你能试着分析一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个定值． 由相似，得= = ∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即 在图中, ∠A的对边记作a, ∠B的对边记作b, ∠C的对边记作c. 知识点2 大家谈谈 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值？ （2）由a＜c，b＜c，说一说sin A和cos A的值与1的大小关系. （1）∠B的正弦是边AC与AB的比值，即sin B=； ∠B的余弦是边BC与AB的比值，即cos B=. （2）sin A=，cos A=， ∵a＜c，b＜c，∴＜1，＜1， ∴sin A＜1，cos A＜1. 在Rt △ABC中，∠C＝90°， sinA=cosB 知识点3 例题示范 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求sin A，cos A，tan A的值． 解：在Rt△ABC中， ∵AC=5，BC=12， ∴AB===13. ∴sin A=，cos A==， tan A==. B A C 归纳 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. 定义中应该注意的几个问题: 1.sin A,cos A,tan A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sin A,cos A,tan A是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号). 3.sin A,cos A,tan A 是一个比值.注意比的顺序.且sin A,cos A, tan A均大于0,无单位. 4.sin A,cos A,tan A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 知识点4 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 利用科学计算器，可以由已知锐角求它的三角函数值，还可以由已知三角函数值求出它对应的锐角. 例题示范 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，求∠A的度数．（结果精确到1″） 解：在Rt△ABC中， ∵AB=5，BC=4， ∴sin A==0.8. 由科学计算器求得∠A≈53°7′48″. B A C 随堂演练 1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长 是______． 2．已知A为锐角，tan A＝ ，则sin A＝___ ,cos A=_____ ． 3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且 cos α＝ ，AB＝4，则AD的长为_____． 6 4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin ∠ECM. A M E D B C 解：设正方形ABCD的边长为4x， 由勾股定理可知， ∵M是AD的中点，BE=3AE， ∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x． ∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2 ∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2 ∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2 ∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知， △EMC为直角三角形. ∴sin∠ECM= = = . 拓展提升 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA,cosB的值． A B C 8 解：∵tanA= = ,AC=8, ∴BC= AC= ×8=6, ∴AB = = =10, ∴sinA= = = , cosB= = = . 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． A B C 6 10 解：∵sinA= , ∴sinA= = = , 又∵AC = = =8 , ∴cosA= = , ∴tanA= = . 归纳小结 $