第25章 图形的相似 专题8 相似三角形的基本模型——一线三等角型-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦相似三角形的一线三等角模型，通过感知特例（直角型）、建构模型（非直角型）、解决问题、拓展延伸及模型归纳，形成从具体到抽象的知识脉络，帮助学生构建完整的模型应用体系。 其亮点在于采用“模型探究-问题解决-归纳应用”的复习策略，如通过直角与非直角模型的证明培养推理意识，结合动点问题发展模型观念，分层设计基础证明与综合应用练习。这种设计提升学生数学思维，助力教师精准教学，有效巩固知识。

2 第二十五章　图形的相似 专题8　相似三角形的基本模型——一线三等角型 3 【模型探究】 　　三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）. 解决此模型问题的一般方法是利用条件找相似三角形，利用相似三角形的边角关系解题. 4 【模型探究】 感知特例：如图1，点A，B在直线l上，P为线段AB上一点，当∠CPD=∠CAP= ∠PBD=90°时，求证：AC·BD=AP·BP. 证明：∵∠CPD=∠CAP=90°，点A，B，P在直线l上， ∴∠CPA+∠PCA=180°-∠CAP=90°， ∠CPA+∠DBP=180°-∠CPD=90°， ∴∠PCA=∠DPB. 又∵∠CAP=∠PBD=90°，∴△APC∽△BDP， ∴=，∴AC·BD=AP·BP. 5 建构模型：将图1中∠CPD，∠CAP，∠PBD改为非直角，且∠CPD=∠CAP= ∠PBD，如图2所示，结论AC·BD=AP·BP仍然成立吗？请说明理由. 解：成立. 理由如下： ∵∠CAP=∠CPD，∠PCA+∠CPA=180°-∠CAP， ∠CPA+∠BPD=180°-∠CPD， ∴∠PCA=∠BPD. 又∵∠CAP=∠PBD，∴△APC∽△BDP，∴=， ∴AC·BD=AP·BP. 6 解决问题：如图3，在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，P，D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足∠CPD=∠A. 设AP的长为x（0<x<8），当x为何值时，BD的长有最大值，最大值是多少？ 解：∵AB=8，AP=x，∴BP=AB-AP=8-x. ∵AC=BC=5，∴∠A=∠B. ∵∠CPD+∠BPD=∠A+∠ACP，∴∠BPD=∠ACP， ∴△BPD∽△ACP， ∴=，∴AC·BD=AP·BP， 7 ∴5BD=x（8-x）=8x-x2，∴BD=- （x-4）2+， ∴当x=4时，BD的长有最大值，最大值为. 拓展延伸：如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是DC延长线上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F. 若CE=2，则DF的长为________. 3 9 【模型归纳】 10 如图，在△ABC中，点P，D分别在边BC，AC上，PA⊥AB，垂足为A，DP⊥BC，垂足为P，=. （1）求证：∠APD=∠C； （2）如果AB=3，DC=2，求AP的长. 【模型应用】 11 （1）证明：∵PA⊥AB，DP⊥BC，∴∠BAP=∠CPD=90°. 又∵=，∴△ABP∽△PCD，∴∠APB=∠PDC. ∵∠APB+∠APD=90°，∠C+∠PDC=90°，∴∠APD=∠C. （2）解：∵△ABP∽△PCD，∴∠B=∠C，∴AC=AB=3. ∵DC=2，∴AD=AC-DC=1. ∵∠PAD=∠CAP，∠APD=∠C， ∴△APD∽△ACP，∴=，即=， ∴AP=. 14 $