第25章 图形的相似 专题6 相似三角形的基本模型——8字型-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件系统梳理了相似三角形8字型模型的结构特征、判定方法及应用，通过模型识别、正8与斜8字型探究、平行双8与斜双8拓展及归纳总结，构建从基础模型到综合应用的知识网络。 其亮点在于以“模型探究-拓展应用”为主线，如正8字型利用平行证相似求边长，斜双8字型结合角平分线与相似比求线段比，培养学生几何直观和推理能力。分层设计满足不同水平学生需求，助力教师高效开展单元复习，提升学生知识应用能力。

2 第二十五章　图形的相似 专题6　相似三角形的基本模型——8字型 3 【模型识别】 　　8字型的常见结构如图所示，解决此模型问题的一般方法是利用条件找相似三角形，利用相似三角形的边角关系解题. 4 【模型探究】 探究一：正8字型 如图，AB⫽CD，且BC与AD相交于点O，OC=2OB，AB=12，求CD的长. 解：∵AB⫽CD，∴△AOB∽△DOC，∴=. ∵OC=2OB，∴= = . ∵AB=12，∴CD=2AB=2×12=24. 5 模型拓展：平行双8字型 如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F，BO=1，CO=3，AO=，DO=. （1）求证：AB⫽CD； （2）若AE=BE，求证：CF=DF. 证明：（1）∵BO=1，CO=3，AO= ，DO= ，∴= = . 又∵∠AOB=∠DOC，∴△OAB∽△ODC，∴∠A=∠D，∴AB⫽CD. 6 （2）∵AB⫽CD， ∴△OAE∽△ODF，△OBE∽△OCF， ∴=，=，∴=. ∵AE=BE，∴CF=DF. 探究二：斜8字型 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE交AD的延长线于点E，且∠BCE=∠CAD. 求证：△ABD∽△CED. 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠BCE=∠CAD，∴∠BAD=∠BCE. 又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△CED. 8 模型拓展：斜双8字型 在探究二图1的基础上，连接BE，如图2，其他条件不变. 若AD=9，BD=5，求的值. 解：由探究二，可知△ABD∽△CED， ∴=，即=. 又∵∠ADC=∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴=. ∵AD=9，BD=5，∴= = . 9 【模型归纳】 10 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上一点， 连接DE，BD，CE，CE分别与AD，BD交于点F，G. （1）若BE=3CD，BC=12， 求AF的长； （2）求证：GC2=GF·GE. 【模型应用】 11 （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=12，CD=AB，CD⫽AB， ∴△CDF∽△EAF，∴=. ∵BE=3CD，BE=EA+AB， ∴EA=2CD，∴ = = ，∴DF=AF. ∵DF+AF=AD=12，∴AF=8. （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD⫽BC，CD⫽AB， ∴△GDF∽△GBC，△CDG∽△EBG， ∴=，=，∴=， ∴GC²=GF·GE. 14 $