25.7 相似三角形的应用 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“相似三角形的应用——利用相似三角形求高度”，通过阳光下影长、标杆测量、平面镜反射等实际问题导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于融合跨学科（如光学反射测古城墙）、数学文化（《九章算术》勾中容方）及探究性问题（矩形花坛面积占比），以数学眼光观察现实、数学思维推理关系、数学语言表达模型。学生能提升应用与探究能力，教师可借助分层练习（练基础、提升、素养）优化教学。

2 第二十五章　图形的相似 25.7　相似三角形的应用 第2课时　利用相似三角形求高度 3 练基础 练提升 目 录 练素养 4 练基础 知识点1　利用相似三角形测量高度 1. 如图，在同一时刻，身高1.6 m的小丽在阳光下的影长为2.5 m，一棵树的影长为5 m，则这棵树的高度为 （　　） A. 7.8 m B. 3.2 m C. 2.3 m D. 1.5 m B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 5 2. 如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB=2 m，BC=14 m，则旗杆CD的高度是 （　　） A. 9 m B. 10.5 m C. 12 m D. 16 m C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 6 3. [新趋势 跨学科融合]如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB=4 m，BP=6 m，PD=12 m，那么该古城墙CD的高度是 （　　） A. 8 m B. 9 m C. 16 m D. 18 m A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 7 4. 如图（示意图），小明想测量公园内某棵冷杉的高AB，他调整自己的位置，使自制的直角三角形纸板DEF的斜边DF保持水平，且边DE与点B在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE=30 cm，EF=15 cm，测得边DF离地面的高AC=1.6 m，CD=10 m，则冷杉的高AB为________. 6.6 m 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 8 5.［教材P113T2改编］如图（示意图），某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛（A）、凉亭顶端（C）、小亮头顶（E）三点恰好在一条直线上. 已知小明的眼睛离地面1.6 m，凉亭顶端离地面2 m，小明到凉亭的距离BD为2 m，凉亭离城楼底部的距离DF为40 m，小亮的身高为1.7 m. 求城楼的高度. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 9 解：如图，过点A作AM⊥EF，垂足为M，交CD于点N. 由题意可得AN=2 m，CN=2-1.6=0.4（m），MN=40 m. ∵CN⫽EM，∴△ACN∽△AEM， ∴=，即=，∴EM=8.4 m. ∵AB=MF=1.6 m，小亮的身高为1.7 m， ∴城楼的高度为8.4+1.6-1.7=8.3（m）. 答：城楼的高度为8.3 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 10 6. [新情境 数学文化]《九章算术》是我国古代的数学著作，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为 （　　） A. B. C. D. B 知识点2　三角形内接四边形中的相似问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 11 7. [新趋势 动点探究题]如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AB边上的一个动点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N. 设AP=x. （1）在△ABC中，AB=________； （2）当x为何值时，矩形PMCN的周长为14？ 10 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 12 解：（2）∵PM⊥AC，∠C=90°，∴MP⫽BC， ∴△AMP∽△ACB，∴==. ∵AP=x，AC=8，BC=6，AB=10，∴PM=0.6x，AM=0.8x. ∵矩形PMCN的周长为14， ∴2（8-0.8x+0.6x）=14，解得x=5. ∴当x=5时，矩形PMCN的周长为14. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 8. （石家庄期中）如图是一张三角形纸片ABC，边AB的长为20 cm，AB边上的高为25 cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4 cm的矩形纸条. 若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是 （　　） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 B 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 14 9. [原创题 燕风赵韵] 唐山皮影戏是一门古老的民间传统艺术，是我国皮影戏中影响最大的种类之一，其数学原理是利用点光源将皮影投射到幕布上进行表演. 如图，点光源O照射皮影AB在幕布上的像为CD，已知AB=10 cm，OE=50 cm，EF=30 cm. 现将皮影沿EO向左移动10 cm，那么皮影在幕布上投影CD的高度将 （　　） A. 缩短1 cm B. 伸长1 cm C. 缩短4 cm D. 伸长4 cm D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 15 10. 如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A=90°，AB=6 cm，AC=8 cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D，E两点分别在边AB，AC上. 若D是边AB的中点，则▱DEFG的面积为________cm2. 12 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 16 解析：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交DE于点N. ∵∠BAC=90°，AB=6 cm，AC=8 cm， ∴BC==10（cm）. ∵AB·AC=BC·AM，∴AM===4.8（cm）. ∵四边形DEFG是平行四边形，D是边AB的中点， ∴DE⫽BC，DE=BC=5 cm. ∴△ADE∽△ABC，AN⊥DE，∴==， ∴MN=AN=2.4 cm，∴▱DEFG的面积为5×2.4=12（cm2）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 17 11. 如图为一块锐角三角形余料，它的边BC=60 mm，AB=40 mm，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形BGMF的一边BG在BC上，其余两个顶点F，M分别在边AB，AC上，加工成的零件的高ED=21 mm，求△ABC的高AD的长. 解：∵四边形BGMF是菱形，∴MF⫽BC，MF=BF， ∴△AFM∽△ABC，∴=，即=， ∴MF=AF，∴BF=MF=AF，∴AF=AB. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 18 ∵ED，AD分别是菱形BGMF的高和△ABC的高， ∴AD⊥BC，ED⊥BC，∴A，D，E三点共线. 同理可证△AEF∽△ADB，∴==，∴=， ∴AD=35 mm. 答：△ABC的高AD的长为35 mm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 19 练素养 12.（新趋势 探究性问题）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地. 如图，这两条小道m，n之间的距离为9 m，△ABC表示这块空地，BC=36 m. 现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边GH在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上. （1）如果矩形花坛的边DG∶DE=1∶2，求出这时矩形花坛的面积. （2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 20 解：（1）如图，过点A作AM⊥DE，垂足为M， 延长AM交BC于点N，则AN⊥GH. 由题意，得AN=9 m，DG=MN. ∵四边形DGHE是矩形，∴DE⫽BC. ∵DG∶DE=1∶2，∴DE=2DG. ∵DE⫽BC，∴△ADE∽△ABC， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 21 ∴=，∴=，∴DG=6 m， ∴DE=2DG=12 m，12×6=72（m2）. ∴这时矩形花坛的面积为72 m2. （2）矩形花坛的面积不能占空地面积的. 理由如下： 设DG=x m，由（1）可得△ADE∽△ABC， ∴=，∴=， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 22 ∴DE=36-4DG=（36-4x）m， ∴矩形花坛的面积S=x（36-4x）=（36x-4x2）m2. 由题意，得36x-4x2=××36×9，整理得2x2-18x+45=0. ∵b2-4ac=（-18）2-4×2×45=-36<0，∴此方程没有实数根， ∴矩形花坛的面积不能占空地面积的. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 23 24 $