28.4 垂径定理 课件 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂径定理”，通过折叠圆形纸片引导学生发现圆的轴对称性，纠正“直径是对称轴”的认知误区，明确对称轴为直线，为后续定理探究搭建认知基础。 其亮点在于以动手操作和问题链驱动教学，通过折叠验证、逻辑证明培养几何直观与推理能力，结合赵州桥、筒车实例发展模型意识与应用意识。分层作业设计兼顾基础与拓展，助力学生深化理解，教师教学更具操作性和针对性。

第二十八章 圆 28.4 垂径定理 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，发现了什么？ 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2 导入新课 判断：任意一条直径都是圆的对称轴( ) 错，理由：圆的对称轴是直线，直径是线段. × 3 高效课堂 任务一：探究垂径定理 探究一：请拿出准备好的圆形卡纸，标记圆心为点O，在圆上任意画出一条弦AB.将圆形卡纸对折，使得点A和点B重合，展开后将折痕与圆的交点标记为点C和点D，观察折痕有什么特点？ 折痕CD为圆的直径. 将折痕CD与AB的交点记为点E.猜测并验证CD与AB存在怎样的关系. CD是AB的垂直平分线. 4 高效课堂 例1 如图，在☉O中，CD为直径，AB为弦(非直径)， 且CD⊥AB，垂足为E.如果将☉O沿着CD所在的直线对折， 你能发现图中有哪些线段重合，哪些弧重合？由此，能得 出什么结论？ 重合的线段是AE和BE；重合的弧是A︵C和B︵C，A︵D和B︵D. 如何证明上述结论呢？ 重合的线段是AE和BE；重合的弧是AC和BC，AD和BD. ︵ ︵ ︵ ︵ 5 高效课堂 已知：如图1，在☉O中AC＝BC，CD为直径，AB 为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE＝BE，AD＝BD. 证明如图2，连接OA，OB. 在△OAB中， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE， ∴AD＝BD. 已知：如图1，在☉O中AC＝BC，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE＝BE，AD＝BD. ∴AD＝BD. ︵ ︵ 6 高效课堂 ∵∠AOC＝180°－∠AOE，∠BOC＝180°－∠BOE， ∴∠AOC＝∠BOC. ∴ AC＝BC. ︵ ︵ 7 高效课堂 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 几何语言： ∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD. 几何语言： ∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD. 8 高效课堂 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 图1具备；图2不具备，因为没有垂直；图3具备；图4不具备，因为CD或AB没有过圆心. 9 高效课堂 垂径定理的几个基本图形(如图所示). 10 高效课堂 做一做： 1.如图，在☉O中弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距 离为3 cm，☉O的半径是 cm. 2.已知☉O的弦AB＝6 cm，直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，那么点O到AB的距离等于 cm. 1.5 2.4 11 高效课堂 探究二：如图，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. (1)若AE＝BE，能判断CD与AB垂直，AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？请说明理由. 连接OA，OB. ∵OA＝OB，AE＝BE，OE＝OE， ∴△OAE≌△BOE(SSS). ∴∠AOE＝∠BOE，∠AEO＝∠BEO. ∴AD＝BD，∠AOC＝∠BOC. (1)若AE＝BE，能判断CD与AB垂直，AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？请说明理由. ∴AD＝BD，∠AOC＝∠BOC. ︵ ︵ 12 高效课堂 ∴AC＝BC. 又∵∠AEO＋∠BEO＝180°， ∴∠AEO＝∠BEO＝90°. ∴CD⊥AB. ∴AC＝BC. ︵ ︵ 13 高效课堂 (2)若AD＝BD(或AC＝BC)，能判断CD与AB垂直，AE与BE相等吗？请说明理由. 连接OA，OB. ∵AD＝BD， ∴∠AOE＝∠BOE. ∴180°－∠AOE＝180°－∠BOE. ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB，∠AOE＝∠BOE，OE＝OE， (2)若AD＝BD(或AC＝BC)，能判断CD与AB垂直，AE与BE相等吗？请说明理由. ∵AD＝BD， ︵ ︵ 14 高效课堂 ∴△OAE≌△BOE(SAS). ∴AE＝BE，∠AEO＝∠BEO. 又∵∠AEO＋∠BEO＝180°， ∴CD⊥AB. 15 高效课堂 在☉O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE＝BE，CD⊥AB，AD＝BD中的一项作为条件，则可得到另外两条结论： 平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. “非直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 在☉O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE＝BE，CD⊥AB，AD＝BD中的一项作为条件，则可得到另外两条结论： 16 高效课堂 下面五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中知道其中的任何两个条件都可以推出其他三个结论，它们是“知二推三”的. 17 高效课堂 做一做： 1.如图，点A，B，C，D在圆上，弦AB和CD相交于点E，则下列说法正确的是( ) A.若CD平分AB，则CD⊥AB B.若圆心在CD上，则CD垂直平分AB C.若CD垂直平分AB，则圆心在CD上 D.若CD⊥AB，则CD平分AB C 18 高效课堂 2.如图，线段AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠D等于( ) A.45° B.40° C.50° D.60° C 19 高效课堂 任务二：例题讲解，规范应用 例2 如图，在河北省赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有1 400多年的历史.赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶.赵州桥的 桥拱是圆弧形的，拱高(弧的中点到弦的距 离，也叫弓形高)为7.23 m，跨度(弧所对弦 的长)为37.02 m，求桥拱所在圆的半径.(结 果精确到0.1 m). 20 解：如图，设桥拱所在圆的半径为rm，用AB 表示桥拱，AB所在圆的圆心为O.经过点O作弦AB 的垂线，垂足为D，与AB交于点C，连接OA，OB. ∵OC⊥AB， ∴D是线段AB的中点，AC＝BC，CD就是拱高. ∵AB＝37.02 m，CD＝7.23 m， ∴AD＝AB＝×37.02＝18.51(m)， 高效课堂 解：如图，设桥拱所在圆的半径为r m，用AB 表示桥拱，AB所在圆的圆心为O.经过点O作弦AB 的垂线，垂足为D，与AB交于点C，连接OA，OB. ︵ ︵ ︵ ∴D是线段AB的中点，AC＝BC，CD就是拱高. ︵ ︵ 21 高效课堂 OD＝OC－CD＝(r－7.23)m. 在Rt△ODA中，由勾股定理，得 OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝18.512＋(r－7.23)2. 解这个方程，得r≈27.3. 所以，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.3 m. 22 高效课堂 做一做： 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”(见图1，一种水利灌溉工具)的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心O在水面上方，且☉O被水面截得的弦AB长为8米，☉O半径长为5米，若点C为运行轨 道的最低点，则点C到弦AB所在直线的 距离是多少？ 2米. 23 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本节课，你有何感想，请畅所欲言. 24 作业设计 基础性作业：教材练习，教材习题A组第1，2 题. 提高性作业：教材习题A组第3 题，B组第4~7 题. 拓展性作业：请搜集运用垂径定理的实例，可以是古代的桥梁建造、器物制作，现代的工程测绘、航天计算，尝试说出其中垂径定理的运用 方式，下一节课班内可以进行分享. 25 感 谢 观 看 $