27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦反比例函数性质的探究，核心包括k值对图象位置及增减性的影响，以及k的几何意义。课堂导入通过正比例函数与反比例函数对比表格，复习正比例函数k与图象位置、增减性的关系，引出反比例函数对应问题，搭建知识迁移支架。 资料特色在于以探究式学习为主线，让学生观察函数图象、完成表格并小组讨论归纳性质，培养几何直观与抽象能力。通过k的几何意义探究（如过双曲线上点作坐标轴垂线，矩形面积为|k|），发展推理意识。分层练习强化应用意识，助力学生提升观察归纳与逻辑推理能力，也为教师提供清晰教学流程与多样化资源，提升课堂效率。

27.2 反比例函数的图象和性质 课题 第2课时 反比例函数的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P155-158 教学目标 1.通过反比例函数的表达式及图象的确立,经历探索反比例函数性质的过程,理解并掌握反比例函数的性质. 2.通过探索反比例函数性质的过程,培养观察、分析、归纳和概括的能力,提高从图象中获取信息的能力. 教学重难点 重点：归纳、概括出图象位置及y随x的变化规律与比例系数k的关系. 难点：对反比例函数性质全面、深入地理解以及应用性质解决实际问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 正比例函数与反比例函数的对比 正比例函数 反比例函数 图象 及名称 直线 双曲线 表达式 y=kx(k≠0) y=k/x(k≠0) 图象的 位置 k>0时,在一、三象限 k<0时,在二、四象限 性 质 k>0时,y随x增大而增大 k<0时,y随x增大而减小 反比例函数的图象在哪些象限，其增减性是怎样的？ 本节就让我们一起来学习吧！ 通过对正比例函数图象及其性质的复习，为引入反比例函数的图象及性质作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题. 2.实践探究，学习新知 【探究1】干比例函数的性质 结合昨天课堂画出的y=-与y=图象及课本作业中的y=-与y=的图象,一起探究. 1.根据反比例函数y=和y=-的表达式及图象,探究下列问题: 表达式 图象的位置 y随x的变化情况 y= 图象在第 、 象限内  在每个象限内,y的值随x的值增大而　  y=- 图象在第　 、　 象限内  在每个象限内,y的值随x的值增大而　  预设答案：一　三　减小　 二　四　增大 师生活动：教师提出问题后，让学生独立观察图象，并完成表格，学生回答后，教师进行点评. 2.对于函数y=和y=-,指出它们的图象所在象限,并说明y的值随x的值的变化而变化的情况. 预设答案： 表达式 图象的性质 y随x的变化情况 图象在第　一　、　三　象限内 在每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　 图象在第　二　、　四　象限内 在每个象限内，y的值随x的值增大而　增大　 师生活动：教师提出问题后，让学生画出图象，并仿照y=和y=-的表格，自己整理一下，然后小组交流、讨论，学生回答，教师点评. 追问：根据上面的探究，思考下面的问题. （1）反比例函数图象在哪个象限内?函数表达式中谁决定图象的位置? （2）观察函数图象,在每个象限内随着x的增大, y如何变化?函数表达式中谁决定函数图象的增减性? 预设答案： （1）当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限; 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限. 函数表达式中k的取值决定函数图象的位置 （2）当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大.函数表达式中k的取值决定函数图象的增减性. 师生活动：教师提出问题后，学生独立思考后，然后小组交流、讨论，学生回答，教师点评，并与学生共同总结反比例函数的性质. 【归纳总结】 对于反比例函数y=， 当k>0时,它的图象位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小; 当k<0时,它的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而增大. 【例题】 例1 反比例函数的图象如图所示. （1）判断k是正数还是负数. （2）如果A（-3,y1）和B（-1,y2）为这个函数图象上的两点,那么y1与y2的大小关系是怎样的? （3）如果点P（a，b）也在函数的图象上，且a＞0，当a的值逐渐增大时，点P与x轴的距离将会怎样变化？ 解:（1）因为反比例函数的图象在第一、三象限， 所以， k>0. （2）由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小. ∵ -3<-1,∴ y1>y2. （3）因为a>0，所以点P（a，b）在第一象限. 当a的值逐渐增大时，点P与x轴的距离将会越来越近. 【探究2】k的几何意义 在一个反比例函数的图象上任取两点A，B，过点A分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1,过点B分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为 S2，请问S1和S2之间有什么关系？为什么？ 【师生活动】教师指导学生根据图象进行探讨，学生小组内讨论,并进行解析。 S1=|x1|·|y1|=|k|，同理，S2=|x2|·|y2|=|k|，所以S1=S2。 教师追问：从反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线段，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是多少？ 【师生活动】师生解答,归纳总结得：这个三角形的面积=. 归纳： 观察是得出结论的有效途径,通过观察图象,小组合作探究、互相交流,让学生自由发言,充分发挥学生的积极主动性,不仅锻炼了学生分析问题的能力,同时更尊重了个体的展示,提供互助互补的平台,使学生既得到了自主发展,又培养了合作精神、创新意识,使课堂气氛进入高潮. 根据分析上面两组反比例函数的图象，归纳总结出反比例函数图象的性质，在探究过程中提高学生的观察能力、知识理解能力和归纳总结能力. 本例题主要针对本节课的内容,重点考查学生对于k的正负性与图象所在象限以及y的值随x的值变化而变化的关系的认识,增强学生数形结合的思想意识. 3.学以致用，应用新知 考点1 反比例函数值的变化情况与k的关系 练习1 若函数y=nx|n|-2是反比例函数，且x>0时，y随x的增大而减小，则n的值是（       ） A.±1 B.1 C.-1 D.不能确定 解析：∵y=nx|n|-2是反比例函数， ∴|n|-2=-1， 解得n=±1. ∵当x>0时，y随着x的增大而减小， ∴反比例函数的图象一支位于第一象限， 则n>0， ∴n=1. 答案：B 练习2 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限，常数 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A ( ， ）和 B ( , )如果＜ ，那么与 的大小关系如何？为什么？ 解：（1）图象的另一支位于第四象限，n＜-7。 （2）由函数图象得，在每一象限内，y随x的增大而增大，所以若＜，则＜。 变式训练1  已知反比例函数y=，在它图象的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（       ） A.0 B.3 C.6 D.9 答案：A 考点2 比例系数k的几何意义 练习3 如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（ ） A.3 　　 B.-3 　　C.6 　　　 D.-6 答案：C 变式训练2 如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的表达式是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　 D. 解析：过点P作PD⊥OB（图略），由矩形的性质可知S△OPD＝S矩形AOBC＝，由反比例函数的几何意义可知S△OPD＝＝，解得k＝±1.又因为反比例函数图象在第一象限，所以k＞0，所以k＝1，所以.故选C. 答案：C 比例系数k的几何意义解题步骤： 运用k的几何意义解决问题，一般要通过双曲线上的点向x轴或y轴作垂线，构造矩形，矩形面积等于，或连接双曲线上的点和原点，再通过双曲线上的点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，三角形面积等于，利用面积最终得到函数表达式. 巩固学生对反比例函数的图象和性质的认识和理解，并整理、总结对应的解题方法. 4.随堂训练，巩固新知 1.已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A.图象经过点（1，1） B.图象在第一、三象限 C.当x＜0时，y＜0 　D.当x＜0时，y随着x的增大而增大 答案：D 2.若点A（x1，-2），B（x2，2）在反比例函数y=-的图象上，则关于x1，x2的结论正确的是（　　） A. x1<0<x2 B. x2<0<x1　　Cx2< x1<0 D.0< x1<x2 答案：B 3.函数y1＝x（x≥0），（x＞0）的图象如图，下列结论：（1）两函数图象的交点坐标为A（2，2）； （2）当x＞2时，y2＞y1； （3）直线x＝1分别与两函数图象交于B，C两点，则线段BC的长为3； （4）当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小. 则其中正确的是（ ） A.只有（1）（2） 　　　　　　　　　B.只有（1）（3） C.只有（2）（4） 　　　　　　　　　D.只有（1）（3） 答案：D 4.如图，直线l和双曲线y＝(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则(　　) A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3 答案：D 5.已知反比例函数的图象经过点A（2，6）. （1）求此反比例函数的表达式. （2）这个函数的图象位于第几象限？y随x的增大如何变化？ （3）点B（3，4），C，D（2，5）是否在这个函数的图象上？ 解：（1）设. 因为点A（2，6）在函数图象上，所以， 解得k＝12，因此. （2）因为k＞0，所以函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. （3）将B，C，D三点的坐标分别代入，得B，C两点的坐标满足表达式，D点坐标不满足表达式，所以B，C两点在函数图象上，D点不在函数图象上. 6.如图，A是反比例函数 (x＞0)图象上的任意一点，AB平行于x轴交反比例函数 (x＜0)的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在x轴上，则 为多少？ 解：如图，连接OA，OB，AB交y轴于E点. 则S△OEB=×3=1.5，S△OEA=×2=1. 所以S△OAB=1.5+1=2.5.所以 =2.5×2=5. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.反比例函数的性质 对于反比例函数（k≠0）， 当k>0时,它的图象位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小; 当k＜0时，它的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大； 2.反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义： . 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P157-P158习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时　反比例函数的性质 1.反比例函数的性质 对于反比例函数（k≠0）， 当k>0时,它的图象位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小; 当k＜0时，它的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大. 2.反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义： . 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本课时的学习是学生对反比例函数性质的一个再认知的过程，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识。本节课主要注重提高学生分析问题与解决问题的能力，数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口。在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力。 在教学时，教师要与学生进行互动交流，并积极让学生自主探究反比例函数中k值的几何意义。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $