第26章 26.4 解直角三角形的应用-课时2 坡度、坡角问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（冀教版·新教材 河北专版）

该初中数学课件聚焦第二十六章“解直角三角形的应用——坡度、坡角问题”，承接解直角三角形基本概念，通过体育公园爬坡、商场电梯改造等生活实例，搭建从基础到提升的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以斜坡树影、测量宣传牌高度等情境例题，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过构造直角三角形、推理计算培养数学思维，分层设计助力学生用数学语言表达解题过程。学生能掌握应用方法，教师可直接用于分层教学提升效率。

数 学 九年级上册 JJ 1 2 3 第二十六章 解直角三角形 4 26.4 解直角三角形的应用 课时2 坡度、坡角问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 与坡度、坡角有关的问题 （第1题图） 1.【2026河北石家庄期中】如图，体育公园设置了一段爬坡 路线，已知这段路线相关数据， ，则 下列说法错误的是( ) B A.路线的坡角是 B.路线的坡度是 C.的长度为 D.路线的坡度是 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】由题意，得， ，即路线 的坡角 是 ，故A选项正确，不符合题意； ， 故C选项正确，不符合题意；路线的坡度是 ，故B选 项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 2.【2025山东烟台质检】如图，斜坡的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水 平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子 长为 10米，则大树 的高为______________米. （第2题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】如图，延长交点所在水平面于点,过点 作水平面的 平行线，交的延长线于点，则.在 中，.设米，则 米，米.米， ， 米，米 ， 米，米,即大树 的高度 为 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 3.【2025河北石家庄质检】如图,某商场为方便顾客使用购物 车，将滚动式电梯的原坡面改造为坡面 .已知改动后电 梯的坡面长，原坡面坡角 ，新坡面 的坡度 . （1）求斜坡底部增加的长度 ；（结果保留根号） 【解】 新坡面的坡度,， 设, ， 则，，, . 在中， ，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （2）与电梯顶部水平距离为的点处有悬挂广告牌 ， ，.若高度为 的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到 广告牌的下端 ？请通过计算说明理由. 【解】会.理由如下：如图,延长交于点，过点 作 于点.由题意，得, ， ，， 易得 ,， . ， ， ， 会碰到. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 知识点2 坡度与仰角、俯角的综合题 4.如图，小明在处测得处的俯角为 ，处的俯角为 ， ， ，若斜坡的坡度为 ， 则斜坡 的长是( ) C A. B. C. D. 【解析】 斜坡的坡度为，， 在处测得处的俯角为 ，处的俯角为 ， ， ， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 思路分析 根据特殊角的三角函数值得到 ，根据已知条件得到 ， ，求得 ，进一步求得 ， ，即可得到 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 5.【2026河北石家庄期中】如图，已知水平地面上方有一个水平的平台 ， 该平台上有一个竖直的建筑物.在处测得建筑物顶端 的仰角为 ， 在处测得的仰角为 ，斜坡的坡度， 米 （点，，，，， 在同一竖直平面内）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （1）求平台 的高度； 【解】如图，过点作，垂足为 . 斜坡的坡度，， 设 米，则 米. 在中， 米. 米，，解得 ， 米， 平台 的高度为10米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）求建筑物的高度（即 的长）. 【解】如图，延长交于点，则 . 由题意，得米， . 由（1）得米，设米，则 米. 在中， ，米.在 中， ， 米. ，，解得 ， 米， 建筑物的高度为 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 刷易错 易错点 混淆坡度和坡角而出现错解 6.某段河堤的横断面如图所示，堤高是 ，迎水斜 坡的长是，那么斜坡 的坡度是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为坡度等于坡角的正切值，所以斜坡的坡度为.因为 , , ，所以根据勾股定理得 ，所 以斜坡的坡度为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 易错警示 本题易错的原因是不能正确理解坡度的概念.实际上，可从两个角度理解坡度的概 念，一是坡度的定义，即斜坡的坡度是 的值；二是用坡角表示坡度，即 斜坡的坡度是 的正切值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 提升 （第1题图） 1.【2025山东潍坊期中，中】如图，小乐和小静一起从点 出 发去拍摄木棉树.小乐沿着水平方向步行17米到达点 时拍 到树顶点，仰角为 ；小静沿着坡度 的斜坡步行 13米到达点时拍到树顶点，仰角为 ，那么这棵木棉树 的高度约为( ) （结果精确到1米，参考数据：， ， ） C A.22米 B.21米 C.20米 D.19米 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】如图，过点作，垂足为，过点作 ， 垂足为.由题意得，，米. 斜坡 的坡度，， 设米，则 米， 米.米，，解得， 米， 米.设米， 米.在中， ，米.在 中， ，米. ， ，解得，（米）， 这 棵木棉树的高度约为20米，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 （第2题图） 2. 【2026广东深圳质检，中】如图，小明为了让风筝 顺利起飞，特地将风筝放在坡度为 的斜坡上，并站在视 线刚好与风筝起飞点齐平的 处，起风后小明开始往下跑26 米至坡底处，并继续沿平地向前跑16米到达 处后站在原地 开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风 筝的仰角是 ，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方 处. D A.34.2米 B.32.7米 C.31.2米 D.22.7米 已知小明视线距地面高度为1.5米（即 米），图中所有的点在同一 平面内，则风筝上升的垂直距离约为（参考数据： ， ， ）( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （第2题图） 【解析】延长交直线于点，过点作交直线 于点，设直线与直线交于点，如图.由题意得斜坡 的坡度为，米，,, 设 米，米， ,解得 ,米，米.， 易得 ， 即，米.由题意得,,又, 四边形 和四边形是矩形， 米， （米），米， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 米，（米） ， 米， （米）.故 选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.【2025陕西西安期末,中】如图，某校教学楼后面有一个山坡，坡上面是一块平 地．，斜坡长，斜坡的坡度为 ，为了减缓坡面，防止山体 滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 时，可 确保山体不滑坡．若改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移动___ 时， 才能确保山体不滑坡．参考数据： 8 （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （第3题图） 【解析】如图，过作于，在上取点 ，使 ，过点作于， ， ， 四边形为矩形，， 斜 坡的坡度为，, 设， .由 勾股定理得，，即，解得 ， ，， .在 中，， ， ， 坡顶沿至少向右移动 时， 才能确保山体不滑坡.故答案为8. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 方法技巧 解决有关坡度的问题时，一般通过作垂线构造以斜坡为斜边的直角三角形，然后 利用坡度的相关概念求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （第4题图） 4.【2025河北邢台期末，中】如图，嘉琪为测量宣传牌的高度 ，他站在距离教学楼底部处9米远的地面 处，测得宣传牌 的底部的仰角为 ，同时测得教学楼窗户 处的仰角为 ，，，在同一直线上，然后，嘉琪沿坡度 的 斜坡从走到处，此时正好与地面平行.他在 处又测得 宣传牌顶部的仰角为 ，则宣传牌 的高度为__________ 米.（结果保留根号） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 【解析】如图，过点作,交的延长线于 ，则四边 形是矩形，，.在 中， （米）， 米. 斜坡的坡度为， 在 中， （米）， 米. ， ，米. 在 中， 米， 米，即宣传牌 的 高度为米.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 思路分析 过点作，交的延长线于.在中可求得的长，在 中可求得的长，从而可得的长.分别求出， 的长，由 即可求得结果. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 5.【2025江苏盐城质检,较难】如图，小明为了测量小 河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端 的仰角 为 ，沿斜坡走米到达斜坡上点 ，在此处测得大 树顶端的仰角为 ，且斜坡的坡比为，, , 在同一水平线上． （1）求小明从点到点 的过程中，他上升的高度. 【解】作于，如图所示.在中， ， ，， 米. 答：小明从点到点的过程中，他上升的高度为 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （2）大树 的高度约为多少米？ （参考数据：，， ） 【解】如图，延长交于点.设米.由题意，得 ， （米）. 米， （米）. 在中，， 米. 在中， ， 米. ，，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 答：大树的高度约为 米. 关键点拨 解题的关键是掌握坡度（坡比）的定义，并能结合锐角三角函数求出所需线段的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 $