25.7 相似三角形的应用 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦利用相似三角形求高度的应用，通过“测量旗杆高度”的情境导入，衔接相似三角形的判定与性质，搭建从理论知识到实际测量的学习支架，引导学生解决不可直接测量物体高度的问题。 资料亮点在于实践探究与问题驱动结合，设计标杆、影子、镜子等多种测量方案，通过问题串引导学生用方程思想解决内接正方形问题，培养几何直观、推理能力与建模意识，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

25.7 相似三角形的应用 课题 第2课时 利用相似三角形求高度 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P111-114 教学目标 1.能够利用相似三角形的知识求出不能直接测量的物体的高度，培养学生的建模能力，增强学生的核心素养. 2.通过利用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生的几何直观与推理能力，发展学生的应用意识. 3.通过小组合作解决实际问题，培养学生的动手操作能力和交流与合作的意识，积累活动经验，增强核心素养. 教学重难点 重点：利用相似三角形的性质求不能直接测量的高度. 难点：解决三角形内接四边形中的相似问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高度呢？ 这节课我们来测量一下旗杆的高度. 教师抛出问题，激发学生思考，从而调动学生学习的积极性，为下面的学习奠定基础. 2.实践探究，学习新知 【探究】 为了求学校操场上旗杆的高度，大刚设计了如下测量方案.大刚设计的方案：如图，在阳光下的某一时刻，将一根标杆CD竖立在旗杆影子上，使标杆的影子BD落在旗杆的影子BO上，且它们影子的顶端重合.这时，量一量CD，BD，BO的长，可得旗杆AO的长为AO=. 教师活动：1.大刚设计的方案是否可行?如果可行，请说明理由. 2.请你也设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与同学交流. 学生活动：测量旗杆的高度几种代表性的做法如下： 方法一的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、1米竿. ①先分别测量出同一时刻旗杆AB与1米竿CD的影长BM与DN； ②再利用△ABM∽△CDN即可求得旗杆的高度. 计算步骤如下： ∵△ABM∽△CDN， 方法二的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、长竿. ①将长竿立于旗杆与人之间； ②观察长竿与旗杆的顶端A，C，使人的眼睛E与A，C在同一直线上； ③利用△ANE∽△CME可求得旗杆的高度. 计算步骤如下： 先根据△ANE∽△CME可求出AN的长度； 再根据AB=AN+NB计算即可. 方法三的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、镜子. ①将镜面朝上置于地面C处； ②观察镜子中旗杆顶端A′，使人的眼睛E与C， A′在同一直线上； ③利用△A′BC∽△EFC求出A′B的长度； ④利用△ABC≌△A′BC求出旗杆的长度. 方法四的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、测角器. ①通过测角器观察旗杆顶端A，使测角器的示数为60°； (条件允许可以是45°，30°) ②利用AB=AM+BM=ME+EF，即可求得旗杆的高度. 师生活动：让学生先独立思考，然后同组学生把自己的方法汇集归纳，研究方法的合理性．教师巡回指导并参与个别小组的探究后，最后再找几个小组代表展示成功做法(画图像并写出设计原理)，其他不同方法的小组补充完善，教师对表现好的提出鼓励和表扬． 【方法归纳】 测量高度的方法 测量较高的物体(很难到达顶部的物体)的高度，通常用“在同一时刻物体高与影长成正比例”的原理解决. 【例题】 例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 cm，高AD=80 cm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少厘米? 思考: (1)图中△AHG与△ABC是否相似?为什么? (2)相似三角形的对应高之间有什么性质? (3)图中△AHG与△ABC的高之间与正方形的边长有什么关系? (4)在求解几何计算题时，我们常用什么数学思想方法? (5)你能通过设未知数，利用方程思想求解图中正方形的边长吗? 师生活动：小组合作探究，教师巡视，适当给予提示，小组展评. 解:设裁出的正方形为EFGH，△ABC的高AD与HG交于点K，则AK为△AHG的高. ∵HG∥EF， ∴∠AHG=∠B. 又∵∠BAC为公共角， ∴△AHG∽△ABC. ∴=. ∵四边形EFGH为正方形， ∴AK=AD-HG. 从而=. 设HG=x cm，则=. 解得x=48. 答:这个正方形的边长为48 cm. 引导学生想办法求旗杆的距离,先让学生设计方案(有难度,教师巡视给予提示),然后根据方案说明其可行性,最后总结方法.通过让学生经历将实际问题数学化的过程培养学生的建模能力,同时让学生经历发现问题,并提出问题、分析问题、解决问题的全过程,培养学生的解题能力. 通过问题串的引领,帮助学生找到解题方法,并总结几何计算的常用数学思想方法:方程思想,让学生在学到知识的同时学到数学思想方法.通过问题的变式,将此类题变式提升,培养学生类比解题的能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用标杆或阳光下的影子测高度 练习1 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度. 解：设高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG， ∴. ∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x. 再由△EFH∽△ABH可得，即， ∴BH＝2x， 即BD+DF+FH＝2x，即x－2+52+4＝2x， 解得x＝54. 答：建筑物的高度为54米. 变式训练1 如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2 m，并测得BC＝3 m，CA＝1 m，那么树DB的高度是（　　） A．6m B．8m C．32m D．0.125m 答案：B 考点2 三角形内接矩形 练习2 有一块三角形余料ABC，它的边BC=100 mm，高AD=60 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求加工成的正方形零件的边长． 解：∵正方形边长QM在BC上， ∴PN∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AE⊥PN， ∴△APN~△ABC， ∴， 设ED=x， 则PN=MN=ED=x， ∴， ∴x=37.5 mm， ∴加工成的正方形零件的边长为37.5 mm. 变式训练2 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 ________里． 答案：8 巩固利用相似三角形求高度的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 巩固利用相似三角形求内接矩形的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，BC为标杆AB在路灯O下的影子，已知标杆高AB为2.4 m，影长BC为3 m，标杆与路灯的水平距离BP为6 m，则路灯的高度OP为（ ） A.6.48 m B.7.2 m C.8.1 m D.9.6 m 答案：B 2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何?”它的意思是：如图，分别是正方形的边的中点，，，过点，且步，步， 那么该正方形城邑边长约为（    ）步 A．300 B．260 C．225 D．185 答案：A 3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为(     ) A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2 答案：B 4.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图(1)所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为________米. 答案：9 5．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C，D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米. 答案：6 6．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m. 答案：4 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课你学到了哪些知识?目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题? （1）测高度： 在同一时刻物体高与影长成正比例. （2）对于利用相似三角形求不可测的高度、距离的问题，要从题目中挖掘相似三角形，判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质解题. 通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考. 6.布置作业 课本P113习题A组、B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 25.7 相似三角形的应用 第2课时 利用相似三角形求高度 提纲挈领，重点突出. 教后反思 相似应用最广泛的是测量学中的应用，在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．会构造与实物相似的三角形，通过对实际问题的分析和解决，让学生充分感受到数学与现实世界的联系，最大限度地调动学生学习的积极性和主动性． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $