24.4 一元二次方程的应用 第1课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程解决变化率问题，以塞罕坝林场空气优良天数增长案例导入，从实际问题抽象等量关系，搭建从方程解法到实际应用的学习支架，衔接前后知识。 特色在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链引导探究，如“设增长率列方程”“检验结果合理性”，发展推理意识与运算能力，归纳变化率公式强化模型意识。实例丰富如医疗器械降价问题，提升学生应用能力，为教师提供可操作的建模教学流程。

24.4 一元二次方程的应用 课题 第1课时 变化率问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P63-65 教学目标 1.会根据具体问题，找到增长率问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键. 4.经历将实际问题抽象为方程问题的过程，探索问题中的数量关系，进一步体会数学中的建模思想. 5.培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力. 教学重难点 重点：掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 难点：正确分析问题中数量关系并建立一元二次方程模型. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 塞罕坝机械林场，地处河北省围场满族蒙古族自治县境内．几十年来，通过几代塞罕坝人的艰苦努力，荒原沙地变成了具有百万亩林海的一道绿色屏障，成为我国“生态文明建设的范例”．该林区对于防止土壤流失，改善周边地区的空气质量，起到了一定的作用．随着森林覆盖面积不断增加，周边空气的质量也得到了很大改善．据统计，围场县城2018年空气优良的天数为321天，2020年空气优良的天数为337天. 师生活动：教师提问，学生回答． 列举和生活息息相关的案例，用增长率有关的一元二次方程引入新课，为本节课建立一元二次方程的数学模型解决增长率的实际问题打下基础，降低了本节课知识的难度，学生易于理解和掌握，激发学生学习兴趣. 2.实践探究，学习新知 【探究】 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为x%，请解决下面的问题: 1．根据题意列出方程. 2．依据1中所列方程，求该县这两年空气优良天数的年平均增长率.(结果精确到0.1%，可借助计算器计算) 预设答案：1. 321（1+x%）²=337； 2.解方程，得x1=2.5，x2=-202.5（不合题意，舍去） 答：该县这两年空气优良天数的年平均增长率为20%. 师生活动：学生独立思考后小组合作交流，完成解答过程后交流答案，学生板书展示结果，教师点评并规范答题格式. 【归纳总结】 关于增减变化问题，若一个量经过两个时期由a变为b，第一期的增长率为x，第二期的增长率为y，则有等式a(1＋x)(1＋y)=b．当增长率为负数时，表示负增长. 师生活动：学生在教师的启发下归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 【做一做】 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件.如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少？ 师生活动：教师展示问题，学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，教师在巡视过程中，如果发现学生存在困难，可追问. 教师活动1：题目中的已知量和未知量分别是什么?未知量之间的数量关系是什么? 教师活动2：如何设未知数? 题目中的等量关系是什么? 师生活动：根据追问，学生进一步思考，进行解答，发表意见. 解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x. 依题意，得3 000（1-x）（1-2x）=2 160， 解得x=0.1，∴2x=0.2. 即第一次降价百分率为10%，第二次降价的百分率为20%. 【例题】 例1 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径. 经过市场调查发现：搭建一个面积为x(公顷)的大棚，所需建设费用与x＋2成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与x2成正比例，比例系数为6. 某农户新建了一个大棚，投人的总费用为4. 2万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(注：总费用=建设费用+内部设备费用) 解：依题意得1.8(x＋2)＋6x2＝4. 2. 整理，得10x2＋3x－1＝0. 解方程，得x1＝0.2，x2＝－0.5(不合题意，舍去). 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷. 师生活动：教师引导学生分析题意，学生独立完成解答过程，教师点评. 把分析问题的过程设置成小问题的形式，通过教师的引导或者小组合作交流，学生层层递进的方式分析并解决问题，降低了学习难度，进一步培养学生分析问题的能力. 通过归纳总结，使学生掌握和增长率有关的一元二次方程应用题中量的关系，为解决此类问题打下坚实基础. 根据上面增长率有关的归纳总结，师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系，列出方程解决问题，提高学生的读题、审题能力，培养学生深入思考、分析问题的能力. 教师引导学生分析题意，难点是用代数式正确表示等量关系中的两种费用，通过对实际问题的理解，进一步体会建立方程模型的过程，提高学生的应用意识. 3.学以致用，应用新知 考点 一元二次方程的应用——变化率问题 练习 AI技术的崛起正在改变着我们的生活和工作方式，让我们的生活更加智能、高效、便捷．某机器人月份的销售额为30000元，经过两个月的连续增长，月份销售额达到了76800元，求该AI机器人这两个月销售额的月平均增长率． 解：设该AI机器人这两个月销售额的月平均增长率为x. 根据题意，得 30000(1+x)2=76800， 解得x1=-2.6(舍去)，x2=0.6=60%. 答：该AI机器人这两个月销售额的月平均增长率为60%. 变式训练 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为___________． 答案：200(1-x)2=162 巩固求变化率问题的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米. 如果第二年废气减少的百分 率是第一年废气减少的百分率的2倍，那么每年废气减少的百分率各是多少？ 解：设第一年减少的百分率是x，第二年减少的百分率是2x. 由题意得300（1-x）(1-2x)=144 整理化简得50x2-75x+13=0. 解得x1=0.2， x2=1.3(不符合题意，舍去) 故x=0.2. 答：第一年减少的百分率是20%，第二年减少的百分率是40%. 2.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(　　) A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315 答案：B 3.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为(　　) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4 答案：D 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识：一元二次方程的应用—变化率问题. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P64习题A组、B组，P65习题C组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.4　一元二次方程的应用 第1课时　变化率问题 【归纳】 关于增减变化问题，若一个量经过两个时期由a变为b，第一期的增长率为x，第二期的增长率为y，则有等式a(1＋x)(1＋y)=b．当增长率为负数时，表示负增长. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调解决有关增长率问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $