24.4 一元二次方程的应用 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心知识点为用一元二次方程解决几何图形问题。课堂导入前先回顾列方程解实际问题的“审设列解检答”步骤，再通过长方形游乐场靠墙围栅栏等生活实例分析等量关系，搭建“回顾旧知-实例探究-方法归纳”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以文件盒厚度计算、矩形场地面积求解等生活情境例题为载体，培养学生数学眼光（几何直观）和模型意识，通过步骤归纳与变式练习（如道路宽度问题）发展推理能力。课堂小结系统梳理解题步骤，学生能掌握几何问题分析方法，教师可直接用于课堂讲练，提升教学效率。

第 二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第2课时 学习目标 学习重难点 会用一元二次方程解决几何图形问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 1.会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 2.会用一元二次方程解决几何图形问题. 回顾复习 列方程解决实际问题的一般步骤有哪些？ 审、设、列、解、检、答 导入新知 知识点 几何问题与一元二次方程 ① 例1 如图，某小区要在小区内墙边的空地上修建一个长方形的儿童游乐场.游乐场的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.若所围成的游乐场的面积为700 ㎡，求这个长方形游乐场的长和宽. 分析：问题中的等量关系为：游乐场的长×宽=700.只要能用同一个字母表示出游乐场的长和宽即可. 5 解：设长方形游乐场与墙平行一边的长为x m， 则另一边的长为m. 依题意，得x·=700. 化简，得x²-90x+1 400=0. 解得x1=70，x2=20. 由于墙长22 m，x1=70不合题意，应舍去. 当x=20时，==35. 答：这个长方形游乐场的长和宽分别是35 m和20 m. 注意：结果应符合已知条件 例2 如图1所示的是一张面积为1 836 cm2的长方形薄纸板，纸板的四角上由实线围成的是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为26 cm、宽为18 cm的长方体形文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米? 分析：问题中的等量关系为：长方形薄纸板的长×宽=1 836.只要把长方形薄纸板的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了. 解：这个文件盒的厚度为x cm. 依题意，得（2×18+3x）（26+2x）=1 836. 整理，得x2+25x-150=0. 解得x1=5，x2=-30. x2=-30不合题意，应舍去. 答：这个文件盒的厚度为5 cm. 7 归纳 注意 在解出方程后要注意检验结果是否符合题意或实际情况，要把不符合实际情况的方程的根舍去. 利用一元二次方程解决几何问题的方法 （1）审，设，列，解，检，答； （2）把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形中，利用几何知识寻找它们之间的关系，列出方程求解. 8 随堂演练 1.等腰梯形的面积为160 cm2,上底比高多4 cm,下底比上底多16 cm，求这个梯形的高. 解：设这个梯形的高为x cm,则上底为（x+4）cm，下底为(x+20)cm. 根据题意，得x（x+4+x+20）÷2=160 整理，得x2+12x－160=0 解得x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8 cm. 9 2.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）. A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 C 随堂演练 3.如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为（ ）. A．1米　 　 B．1.5米　 　 C．2米　 　 D．2.5米 A 随堂演练 随堂演练 【变式】如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为 x 米. 由平移得到下图，则依题意可列方程为 (20 - x)(32 - x) = 540. 整理，得 x2 - 52x + 100 = 0， 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 米. 随堂演练 4. 如图1， 现有长为22 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m,面积为S m2． （1）请你用含x的代数式表示花圃面积S，并确定x的取值范围； （2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料造了宽为1 m 的两个小门，此时花圃的面积刚好为45 ㎡，求此时花圃的宽AB的长． 解：（1）∵AB=x m,∴AD=（22-3x）m, ∴S =x（22-3x）. 由题意，得0＜22-3x≤14，∴≤x＜. 13 随堂演练 （2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料造了宽为1 m 的两个小门，此时花圃的面积刚好为45 ㎡，求此时花圃的宽AB的长． 解：（2）∵AB=x m,∴BC=（22-3x+1+1）m. 由题意，得x（22-3x+1+1）=45. 整理，得x²－8x+15=0. 解得x1=3 , x2=5. 当x=3时，22-3x+1+1=15＞14，不合题意，舍去； 当x=5时，22-3x+1+1=9＜14，符合题意. 答：此时花圃的宽AB的长为5 m. 14 随堂演练 5. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm, 则另一个小正方形的边长为 =(10-x)cm. 依题意，得x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7. 当x=3时，小正方形的周长为12cm；当x=7时，小正方形的周长为28cm. ∴小林应把长为40 cm的铁丝剪为28 cm和12 cm的两段. 15 随堂演练 解：(2)对.理由如下： 两个正方形的面积之和为 x2+(10-x)2=2x2-20x+100 =2(x-5)2+50. ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50. 即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2， ∴这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2. ∴小峰的说法对. （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 16 课堂小结 实际问题 步骤 应用 审、设、列、解、检、答 几何问题：与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要涉及三角形、四边形等，解题时经常用到三角形的三边关系、三角形全等、面积、勾股定理等内容. 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $