24.3 一元二次方程根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾一般形式及求根公式，结合具体方程引导学生探究猜想，再用求根公式推导验证，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式导入培养推理意识，通过例习题分层设计提升运算能力，归纳常见关系强化数学语言表达。助力学生发展数学思维，教师可依托清晰结构高效开展教学。

第 二十四章 一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系 学习目标 学习重难点 掌握一元二次方程的根与系数的关系. 利用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 难点 重点 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 回顾复习 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 导入新知 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 ① 探究 1. (1)已知一元二次方程x2－7x+10=0的两根分别为x1=2，x2=5，观察这个方程的根与系数的特征，猜想根与系数之间有怎样的关系? (2)求出方程2x2+3x－9=0的两根，判断这个方程的根与系数之间的关系是否还符合你的猜想.如不符合，你是否还有进一步的猜想. 2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请猜想方程的两根x1，x2与系数a，b，c之间的关系，并利用求根公式验证你的结论. 提示：可以计算x1+x2，x1·x2， 5 事实上，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0， 当b2－4ac≥0时，利用求根公式，得 由此可得 x1= x1+ x1·. 6 归纳 一元二次方程根与系数的关系 注意 一元二次方程根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根 分别为x1，x2 ，那么 x1+x2 7 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积. (1) x2-3x-8=0； (2) 3x2+4x-7=0. 解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8， 且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0， 所以，x1+x2=﹣=3, x1·x2==﹣8. (2)这里a=3，b=4，c=-7， 且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0， 所以，x1+x2=﹣ , x1·x2= =﹣ . 8 巩固练习 不解方程，求下列方程两根的和与积. （1）2x2-12x-14=0； （2）3x2+1=2x2+6x. 解：（1）x1+x2==6，x1·x2==﹣7. （2）整理，得 x2-6x+1=0. ∴ x1+x2=﹣6， x1·x2=1. 9 知识点2 根与系数关系的应用 ② 例2 已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，求方程的另一个根及k的值. 解： 设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，b²-4ac=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7. 还有其他的做法吗？ 10 随堂演练 1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( ) A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1 D 3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则p = , q= . 1 -2 2.若p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是( ) A.6 B.9 C.12 D.13 D 11 随堂演练 4. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）+； （2） +. 解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根，∴x1+x2=5，x1·x2=-7. （1）. （2）=2x1·x2-2x1·x2 =（x1+x2）²-2x1·x2 =5²-2×（-7） =39. 12 归纳 常见的关系： 3.（x1－x2）²=（x1+x2）²－4x1x2； 4.（x1+x2）²=（x1－x2）²+4x1x2. 1 =（x1+x2）²－2x1x2； 13 课堂小结 根与系数的关系 内容 应用 求字母或代数式的值 14 绿卡图书—走向成功的通行证 15 $