24.4 一元二次方程的应用 （课件）2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖变化率、几何图形、销售及循环问题。课堂导入结合塞罕坝空气优良天数、大棚种植等真实情境，连接方程解法，搭建从实际问题抽象等量关系到列方程的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，如塞罕坝案例引导观察数量关系；通过问题分析发展数学思维，如增长率公式推导和几何问题中等量关系构建；用方程模型表达实际问题体现数学语言，如销售利润方程。采用归纳公式、分层演练、课堂小结的教学方法，学生能提升应用能力，教师可获得结构化教学资源。

第 二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第1课时 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决变化率问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 导入新知 知识点1 平均增长（降低）率问题 ① 塞罕坝机械林场，地处河北省围场满族蒙古族自治县境内．几十年来，通过几代塞罕坝人的艰苦努力，荒原沙地变成了具有百万亩林海的一道绿色屏障，成为我国“生态文明建设的范例”．该林区对于防止土壤流失，改善周边地区的空气质量，起到了一定的作用．随着森林覆盖面积不断增加，周边空气的质量也得到了很大改善．据统计，围场县城2018年空气优良的天数为321天，2020年空气优良的天数为337天. 一起探究 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为x%，请解决下面的问题: 1．根据题意列出方程. 2．依据1中所列方程，求该县这两年空气优良天数的年平均增长率.(结 果精确到0.1%，可借助计算器计算) 解方程，得x1=2.5，x2=-202.5（不合题意，舍去） 答：该县这两年空气优良天数的年平均增长率为20%. 321（1+x%）²=337. 归纳 关于增减变化问题，若一个量经过两个时期由a变为b，第一期的增长率为x，第二期的增长率为y，则有等式a(1＋x)(1＋y)=b．当增长率为负数时，表示负增长. 4 例1 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：搭建一个面积为x公顷的大棚，所需建设费用与x+2成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与x2成正比例，比例系数为6.某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.（注：总费用=建设费用+内部设备费用） 解：依题意，得1.8（x+2）+6x2=4.2. 整理，得10x2+3x-1=0. 解方程，得x1=0.2，x2=-0.5（不合题意，舍去）. 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷. 5 归纳 利用一元二次方程解决平均增长（降低）率问题 a（1±x）n=b 其中a为起始量，b为增长（降低）后的量，x为平均增长（降低）率，n为增长（降低）的次数. 6 知识点2 两次变化率不同问题 ② 例2 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件. 如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少? 解：设第一次降价的百分率是x， 则第二次降价的百分率是2x . 依题意，得3 000（1-x）（1-2x）=2 160. 整理，得50x2－75x+7=0. 解方程，得x1=0.1=10％，x2=1.4（不合题意，舍去）. 答：第一次降价的百分率是10％，第二次降价的百分率是20％. 7 随堂演练 1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某款运动手环由于性价比高，推出后首月开始一直深受大众喜欢，第二个月和第三个月销售量持续增长．如果第三个月相较于第二个月的销售量月增长率是第二个月相较于第一个月的销售量月增长率的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，则第二个月的销售量的月增长率为（ ） A.20％ B.50％ C.75％ D.100％ B B 8 随堂演练 3.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 . 300(1＋x)2＝363 9 4.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均增长率较大? 解：设甲商场的月平均增长率为x. 依题意，得100（1+x）²=121. 解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1 (不合题意，舍去). 设乙商场的月平均上升率为y. 依题意，得200（1+y）2=288. 解得y1=0.2=20%，y2=-2.2(不合题意，舍去). ∵10％＜20％， ∴乙商场的月平均增长率较大. 10 5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率. （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 11 解：（1）设平均每次下调的百分率为x. 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=0.2=20%，x2=1.8 （不合题意，舍去）. 答：平均每次下调的百分率为20%. （2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14 400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15 000(元)， ∵14 400＜15 000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 12 课堂小结 变化率问题 增长率 降低率 a(1+x)n=b a(1-x)n=b a为增长前的量，x为增长（降低）率， n为增长（降低）次数，b为增长（降低）后的量 13 第 二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第2课时 学习目标 学习重难点 会用一元二次方程解决几何图形问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 1.会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 2.会用一元二次方程解决几何图形问题. 回顾复习 列方程解决实际问题的一般步骤有哪些？ 审、设、列、解、检、答 导入新知 知识点 几何问题与一元二次方程 ① 例1 如图，某小区要在小区内墙边的空地上修建一个长方形的儿童游乐场.游乐场的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.若所围成的游乐场的面积为700 ㎡，求这个长方形游乐场的长和宽. 分析：问题中的等量关系为：游乐场的长×宽=700.只要能用同一个字母表示出游乐场的长和宽即可. 17 解：设长方形游乐场与墙平行一边的长为x m， 则另一边的长为m. 依题意，得x·=700. 化简，得x²-90x+1 400=0. 解得x1=70，x2=20. 由于墙长22 m，x1=70不合题意，应舍去. 当x=20时，==35. 答：这个长方形游乐场的长和宽分别是35 m和20 m. 注意：结果应符合已知条件 例2 如图1所示的是一张面积为1 836 cm2的长方形薄纸板，纸板的四角上由实线围成的是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为26 cm、宽为18 cm的长方体形文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米? 分析：问题中的等量关系为：长方形薄纸板的长×宽=1 836.只要把长方形薄纸板的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了. 解：这个文件盒的厚度为x cm. 依题意，得（2×18+3x）（26+2x）=1 836. 整理，得x2+25x-150=0. 解得x1=5，x2=-30. x2=-30不合题意，应舍去. 答：这个文件盒的厚度为5 cm. 19 归纳 注意 在解出方程后要注意检验结果是否符合题意或实际情况，要把不符合实际情况的方程的根舍去. 利用一元二次方程解决几何问题的方法 （1）审，设，列，解，检，答； （2）把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形中，利用几何知识寻找它们之间的关系，列出方程求解. 20 随堂演练 1.等腰梯形的面积为160 cm2,上底比高多4 cm,下底比上底多16 cm，求这个梯形的高. 解：设这个梯形的高为x cm,则上底为（x+4）cm，下底为(x+20)cm. 根据题意，得x（x+4+x+20）÷2=160 整理，得x2+12x－160=0 解得x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8 cm. 21 2.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）. A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 C 随堂演练 3.如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为（ ）. A．1米　 　 B．1.5米　 　 C．2米　 　 D．2.5米 A 随堂演练 随堂演练 【变式】如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为 x 米. 由平移得到下图，则依题意可列方程为 (20 - x)(32 - x) = 540. 整理，得 x2 - 52x + 100 = 0， 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 米. 随堂演练 4. 如图1， 现有长为22 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m,面积为S m2． （1）请你用含x的代数式表示花圃面积S，并确定x的取值范围； （2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料造了宽为1 m 的两个小门，此时花圃的面积刚好为45 ㎡，求此时花圃的宽AB的长． 解：（1）∵AB=x m,∴AD=（22-3x）m, ∴S =x（22-3x）. 由题意，得0＜22-3x≤14，∴≤x＜. 25 随堂演练 （2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料造了宽为1 m 的两个小门，此时花圃的面积刚好为45 ㎡，求此时花圃的宽AB的长． 解：（2）∵AB=x m,∴BC=（22-3x+1+1）m. 由题意，得x（22-3x+1+1）=45. 整理，得x²－8x+15=0. 解得x1=3 , x2=5. 当x=3时，22-3x+1+1=15＞14，不合题意，舍去； 当x=5时，22-3x+1+1=9＜14，符合题意. 答：此时花圃的宽AB的长为5 m. 26 随堂演练 5. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm, 则另一个小正方形的边长为 =(10-x)cm. 依题意，得x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7. 当x=3时，小正方形的周长为12cm；当x=7时，小正方形的周长为28cm. ∴小林应把长为40 cm的铁丝剪为28 cm和12 cm的两段. 27 随堂演练 解：(2)对.理由如下： 两个正方形的面积之和为 x2+(10-x)2=2x2-20x+100 =2(x-5)2+50. ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50. 即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2， ∴这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2. ∴小峰的说法对. （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 28 课堂小结 实际问题 步骤 应用 审、设、列、解、检、答 几何问题：与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要涉及三角形、四边形等，解题时经常用到三角形的三边关系、三角形全等、面积、勾股定理等内容. 29 第 二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第3课时 例1 某商场经销的太阳能路灯，标价为400元/个，优惠办法是： 一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价2元，但单价最低不能低于300元/个.如果一顾客一次性购买这样的路灯用去38 400元，那么该顾客实际购买了多少个路灯？ ① 知识点1 销售问题与一元二次方程 导入新知 31 解：因为400×80=32 000<38 400，所以该顾客购买路灯数量超过80个. 设该顾客购买了这种路灯x个，则路灯的售价为[400-2（x-80）]元/个. 依题意，得x[400-2（x-80）]=38 400. 整理，得x2-280x+19 200=0. 解这个方程，得x1=120，x2=160. 当x=120时，400-2（x-80）=400-2×（120-80）=320（元）. 当x=160时，400-2（x-80）=400-2×（160-80）=240（元）. 因为240＜300，所以x=160不合题意，应舍去. 答：该顾客实际购买了120个路灯. 归纳 销售问题： 利润=售价-进价，利润率=×100%， 售价=进价×(1+利润率)， 总利润=总售价-总进价， 利润=进价×利润率. 33 知识点2 循环问题与一元二次方程 ② 例2 某俱乐部要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请x支球队参加比赛. 依题意，得x（x-1）=15. 整理，得x2－x－30=0. 解方程，得x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）. 答：应邀请6支球队参加比赛. 每支球队比赛（x－1）场，单循环赛制要“×” 34 归纳 循环问题： n个元素，单循环赛的比赛次数为 ， 双循环赛的比赛次数为n（n-1）. 随堂演练 1.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 2.某商店从某工厂以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价为a元，则可卖出（320-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店要获利400元，那么每件商品的售价应定为 元. B 22 36 3.为给师生们创造温馨愉悦的学习场地，某校开展美化教室活动，用1 600元购进一批绿萝，装饰完毕后由于太单调，又用900元购进一些红掌，若购进红掌的价格比绿萝每盆便宜1元，所购红掌数量恰好是购进绿萝数量的. （1）求学校购买绿萝和红掌的单价； （2）装扮教室后，同学们的精神面貌发生了较大的变化，随后学校决定再次购买绿萝和红掌美化过道，购买绿萝的数量与第一次相同，购买红掌的数量比第一次多a盆，此时绿萝与红掌双双涨价，绿萝的价格比第一次购买时高a元，红掌的价格比第一次购买时高a元，最终发现第二次购买绿萝和红掌的总价比第一次购买绿萝和红掌的总价高124a元，求a的值. 37 解： 课堂小结 1.销售问题： 利润=售价-进价，利润率=×100%， 售价=进价×(1+利润率)， 总利润=总售价-总进价， 利润=进价×利润率. 2.循环问题： n个元素，单循环赛的比赛次数为 ，双循环赛的比赛次数为n（n-1）. 39 $