3.4　函数的应用（一）同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 这份同步练习聚焦函数应用，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从单一函数模型到复杂实际问题的进阶，适配新授课知识内化与能力培养，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一函数模型应用（分段函数、一次函数）|选择填空为主，如纳税计算、注水高度与时间关系分析| |中档提升|函数图像与多考点结合（图像解读、利润比较）|含多选与中档解答，如路程-时间图像分析、包装盈利对比| |综合拓展|复杂情境综合建模（最优解、浓度问题）|结合实际情境的探究题，如销售利润最大化、去污剂浓度优化|

3.4　函数的应用（一） 1. 国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（　　） A. 2800元 B. 3000元 C. 3800元 D. 3818元 2.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示，则杯子的形状是（　　） 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（　　） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 4.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为当日（　　） A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 5.（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.甲比乙先出发 B.甲和乙跑的路程一样多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 6.（多选）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法正确的是（　　） A.买小包装实惠 B.买大包装实惠 C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多 7.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为　　　　. 8.有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文（加密），接收方根据加密密钥把密文转为明文（解密）.现在已知加密密钥为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　　　　. 9.汽车从A地出发直达B地，途中经过C地，假设汽车匀速行驶，5 h后到达B地.汽车与C地的距离s（单位：km）关于时间t（单位：h）的函数关系如图所示，则汽车从A地到B地行驶的路程为　　　　 km. 10.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表所示： x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 如果日销售量y是关于销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 11.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　） A. B. C. D.－1 12.（多选）某工厂八年来某种产品总产量y（即前x年年产量之和）与时间x（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（　　） A.前三年中，总产量的增长速度越来越慢 B.前三年中，年产量的增长速度越来越慢 C.第三年后，这种产品停止生产 D.后五年总产量保持不变 13.某电商结合自己出售的商品，要购买3 000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研，此类包装盒按面积计价，每平方分米的价格y（单位：元）与订购数量x（单位：个）之间满足y＝则该电商购入3 000个包装盒至少需要　　　　元.（说明：每个纸盒计费面积为六个面的面积之和） 14.某游乐场每天的盈利额y（元）与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试解决下列问题. （1）求y关于x的函数解析式； （2）若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需要卖出多少张门票？ 15.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系f（t）＝（t∈N），销售量g（t）与时间t满足关系g（t）＝－t＋（0≤t≤40，t∈N）.则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为　　　　. 16.某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到去污作用. （1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ （2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值.（精确到0.1，参考数据：≈1.4） 3.4　函数的应用（一） 1.C　设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800 ~ 4000元之间， ， ． 故选C. 2.A　从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A. 3.C　设y＝kx＋b（k≠0），则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860（元）. 4.C　由图象知，当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点（4，320）代入得k1＝80，所以y＝80x；当4＜x≤20时，设y＝f（x）＝k2x＋b，将点（4，320）和（20，0）代入得解得此时y＝f（x）＝－20x＋400，所以f（x）＝当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，当4＜x≤20时，令y＝－20x＋400≥240，解得4＜x≤8，所以3≤x≤8，故第二次服药最迟的时间应为第一次服药8小时后，即当日下午4：00. 5.BD　由题图可知，甲和乙同时出发，故A不正确；因为s甲＝s乙，所以甲和乙跑的路程一样多，故B正确；因为甲和乙跑的路程一样多，但是甲用的时间比乙用的时间少，所以甲的速度大于乙的速度，故C不正确，D正确.故选B、D. 6.BD　大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，故B正确；卖1大包饼干盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3（元），卖1小包饼干盈利3－0.5－1.8＝0.7（元），则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1（元），则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多，故D正确.故选B、D. 7.25　解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故该公司拟录用25人. 8.9　解析：由题目可知加密密钥y＝xα（α为常数）是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝.由＝3，得x＝9. 9.500　解析：设汽车的速度为v km/h，则从A地到C地，s＝200－vt（0≤t≤2），又t＝2时，s＝0，∴2v＝200，解得v＝100.从C地到B地，s＝v（t－2）＝100（t－2）（2＜t≤5），∴t＝5时，s＝100×（5－2）＝300.200＋300＝500（km），故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km. 10.解：设y＝ax＋b（a≠0）， 则解得 所以y＝200－x. 当每件产品的销售价为x元时，每件产品的销售利润为（x－120）元， 设每天的销售利润为S元，则S＝（200－x）×（x－120）＝－x2＋320x－24 000＝－（x－160）2＋1 600，120＜x＜200， 所以当x＝160时，S取得最大值1 600. 所以要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润为1 600元. 11.D　设年平均增长率为x，则有（1＋p）·（1＋q）＝（1＋x）2，解得x＝－1. 12.ACD　由题图可知，在区间[0，3]上，总产量的增长速度越来越慢，所以年产量逐年减小，因此A正确，B错误.在[3，8]上，图象是水平线段，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D正确.故选A、C、D. 13.1 260　解析：设长方体包装盒的底面长为t（t＞0）分米，则宽为分米，故长方体包装盒的表面积S＝4t＋＋18（t＞0）.∵S＝4t＋＋18≥2＋18＝42，当且仅当4t＝，即t＝3时取等号，∴Smin＝42.当x＝3 000时，y＝0.01，∴总费用最少为42×3 000×0.01＝1 260（元）. 14.解：（1）当x∈[0，200]时，可设y＝k1x＋b1（k1≠0）， 代入点（0，－1 000）和（200，1 000），解得k1＝10，b1＝－1 000， 所以y＝10x－1 000，x∈[0，200]. 当x∈（200，300]时，可设y＝k2x＋b2（k2≠0）， 代入点（200，500）和（300，2 000），解得k2＝15，b2＝－2 500， 所以y＝15x－2 500，x∈（200，300]. 所以y＝ （2）若每天的盈利额超过1 000元， 则x∈（200，300]，所以y＝15x－2 500. 由15x－2 500＞1 000，解得x＞≈233.3， 故每天至少需要卖出234张门票. 15.176　解析：设日销售额为F（t）. ①当0≤t＜20，t∈N时， F（t）＝＝－＋，故当t＝10或t＝11时，F（t）max＝176. ②当20≤t≤40，t∈N时， F（t）＝（－t＋41）＝（t－42）2－， 故当t＝20时，F（t）max＝161. 综合①②知，当t＝10或t＝11时，日销售额最大，最大值为176. 16.解：（1）∵一次喷洒4个单位的去污剂， ∴浓度为4y＝ 则当0≤x≤4时，由－4≥4， 解得x≥0，∴此时0≤x≤4. 当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8. 综上得0≤x≤8， 即若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达8天. （2）设从第一次喷洒起，经过x（6≤x≤10）天后， 浓度y＝2（5－x）＋a［－1］＝（14－x）＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4， ∵14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]， 故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4. 令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4， ∴a的最小值为24－16≈1.6. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $