3.4函数的应用同步练习3-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学函数的应用同步练，分层梯度清晰，从基础应用到综合建模，强化用数学眼光观察现实问题、用数学思维分析数量关系的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数、简单分段函数|如第1题成本与产量关系，直接应用函数解析式求解，巩固概念理解| |中档|二次函数最值、复杂分段函数|如第3题水费分段计费，需分析分段点并计算，提升逻辑推理能力| |提高|函数综合应用、实际问题建模|如第13题利润最大化，需建立二次函数模型并求最值，培养数学建模与创新意识|

函数的应用 1、 选择题 1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　) A．2 000双　 B．4 000双 C．6 000双 D．8 000双 【答案】D 【解析】 由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本． 2．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　) A．此人可在7 s内追上汽车 B．此人可在10 s内追上汽车 C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m 【答案】D 【解析】 设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7. 3．某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费．职工小王某月的水费为70元，则小王该月的实际用水量为(　　) A．18吨　 B． 20吨 C．22吨　 D． 24吨 【答案】B 【解析】 小王的实际用水量为×(70－15×3)＋15＝20(吨). 4．某品种鲜花进货价为5元/支，据市场调查，当每支销售价格x在[5，15]时，每天售出该鲜花的支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则每支的销售价格应定为(　　) A．9元 B．11元 C．13元 D．15元 【答案】D 【解析】 设每天获利y元，则y＝(x－5)p(x)＝(x－5)·(x∈[5，15])，因为y＝(x－4－1)·＝500在[5，15]上单调递增，所以当x＝15时，y取得最大值，所以若想每天获得的利润最多，则每支的销售价格应定为15元． 5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．120万元 C．120.25万元 D．60万元 【答案】B 【解析】 设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元. 6．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　) A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km 【答案】BCD 【解析】 在A中，出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误； 在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确； 在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确； 在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确． 2、 填空题 7．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________. 【答案】2t2＋108t＋400，t∈N　 【解析】 日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N. 8．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________． 【答案】y＝ 9.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系。已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元。若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ； 【答案】50辆 【解析】 由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得， 故答案为50辆 三、解答题 10．已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3 000，且当年产量是100时，总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)． (1)求f(Q)的解析式； (2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值． 【解析】 (1)将Q＝100，C＝6 000代入C＝aQ2＋3 000中，可得1002a＋3 000＝6 000， 从而a＝，于是C＝＋3 000. 因此f(Q)＝＝Q＋，Q>0. (2)因为f(Q)＝Q＋≥2＝60， 且Q＝，即Q＝100时，上述等号成立． 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 11.经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量). (1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入; (2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值. 【解析】 (1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200, 解得a=50. 从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元), 即第15天该商品的销售收入为1 575元. (2)由题意可知 y= 即y= 当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025. 故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025. 当10<x≤30时,y<102-110×10+3 000=2 000. 故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元. 12．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地． (1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数； (2)求汽车行驶5小时与A地的距离． 【解析】 (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5<t≤3.5时，x＝150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时，这时x＝150－50(t－3.5)．所求函数的解析式为 x＝ (2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75， 即汽车行驶5小时离A地75千米． 13.某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件． (1)求商家降价前每星期的销售利润； (2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将每件售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 【解析】 (1)由题意，商家降价前每星期的销售利润为(130－100)×80＝2 400(元). (2)设每件售价定为x元，则销售利润y＝(x－100)＝－4x2＋1 000x－60 000＝－4(x－125)2＋2 500.当x＝125时，y有最大值2 500. ∴应将每件售价定为125元，最大销售利润是2 500元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的应用 1、 选择题 1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　) A．2 000双　 B．4 000双 C．6 000双 D．8 000双 2．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　) A．此人可在7 s内追上汽车 B．此人可在10 s内追上汽车 C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m 3．某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费．职工小王某月的水费为70元，则小王该月的实际用水量为(　　) A．18吨　 B． 20吨 C．22吨　 D． 24吨 4．某品种鲜花进货价为5元/支，据市场调查，当每支销售价格x在[5，15]时，每天售出该鲜花的支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则每支的销售价格应定为(　　) A．9元 B．11元 C．13元 D．15元 5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．120万元 C．120.25万元 D．60万元 6．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　) A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km 2、 填空题 7．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________. 8．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________． 9.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系。已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元。若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ； 三、解答题 10．已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3 000，且当年产量是100时，总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)． (1)求f(Q)的解析式； (2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值． 11.经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量). (1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入; (2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值. 12．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地． (1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数； (2)求汽车行驶5小时与A地的距离． 13.某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件． (1)求商家降价前每星期的销售利润； (2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将每件售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $