第3章 一次方程（组）（课件）--2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次方程（组）的核心知识，涵盖一元一次方程的定义、解法步骤和二元一次方程组的消元思想，通过核心知识框架将方程定义、等式性质、解题步骤与实际应用串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础填空到拓展思考，融入跨学科问题（如饮水机温度混合）和社会热点情境（如“背篓专线”售卖），培养学生的模型意识与应用意识。参考答案针对易错点解析，助力教师精准教学，帮助学生巩固方程运算与应用能力。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学七年级上册教学课件 第3章 一次方程（组） 章末复习 2026年8月7日 湘教版七年级上册数学 第三章 一次方程（组）章末复习同步练习题 核心知识框架回顾：本章核心包含一元一次方程、二元一次方程组两大模块。重点掌握方程定义、方程的解、等式基本性质；熟练掌握一元一次方程的标准解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。二元一次方程组核心思想为消元，分为代入消元法与加减消元法，同时掌握含x+y和系数不都为1的实际应用题型，是初中方程应用的核心基础章节。 一、基础填空题（每空2分，共30分） 1. 只含有______个未知数，且未知数次数为1的整式方程，叫做一元一次方程。 2. 等式性质：等式两边同时加（减）同一个数（式），等式______；两边同时乘（除）同一个不为0的数，等式仍然成立。 3. 解方程移项时，要注意______符号。 4. 二元一次方程组的核心解题思想是______，将二元转化为一元求解。 5. 解二元一次方程组的两种基本方法：________、________。 6. 若x=3是方程2x+a=7的解，则a=______。 7. 方程组$$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$的解是________。 8. 方程$$3x+2y=15$$是________方程，有______个未知数。 二、基础选择题（每题3分，共24分） 1. 下列属于一元一次方程的是（） A. $$x+2y=5$$ B. $$x^2=4$$ C. $$2x-1=3$$ D. $$x+5$$ 2. 解方程移项的依据是（） A. 加法交换律 B. 等式基本性质 C. 乘法分配律 D. 合并法则 3. 方程组$$\begin{cases}x+y=12\\2x+y=18\end{cases}$$消元最简单的方法是（） A. 代入消元 B. 加减消元 C. 无法消元 D. 估算求解 4. 若$$4x-2=10$$，则x的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 下列说法正确的是（） A. 二元一次方程只有一个解 B. 一元一次方程一定有唯一解 C. 方程都是等式 D. 等式都是方程 6. 解方程组$$\begin{cases}2x+3y=7\\2x-y=3\end{cases}$$适合用（） A. 加减消元 B. 代入消元 C. 去分母 D. 直接求值 7. 某数的3倍比它本身大6，设该数为x，列方程为（） A. $$3x=x+6$$ B. $$3x=6$$ C. $$x+3=6$$ D. $$3x+6=x$$ 8. 含x、y系数不都为1的方程组解法关键是（） A. 直接加减 B. 统一未知数系数再消元 C. 直接代入 D. 无需变形 三、能力提升解答题（共36分） 1.（12分）解一元一次方程： （1）$$3x-5=2x+4$$ （2）$$\dfrac{x-1}{2}=1+\dfrac{x}{3}$$ 2.（12分）解二元一次方程组： （1）$$\begin{cases}x+y=15\\2x-y=6\end{cases}$$ （2）$$\begin{cases}3x+2y=22\\x+y=8\end{cases}$$ 3.（12分）方程实际应用：购买钢笔和笔记本共40件，钢笔每支5元，笔记本每本3元，共花费144元，求钢笔和笔记本各买多少件？ 四、拓展思考题（10分） 已知方程组$$\begin{cases}ax+y=5\\x-by=3\end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$，求a、b的值。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 一；2. 仍然成立；3. 改变；4. 消元；5. 代入消元法、加减消元法；6. 1；7. $$\begin{cases}x=12\\y=8\end{cases}$$；8. 二元一次、两 二、选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 三、解答题 1. 解：（1）移项得$$3x-2x=4+5$$，解得$$x=9$$；（2）去分母得$$3(x-1)=6+2x$$，化简得$$3x-3=6+2x$$，解得$$x=9$$。 2. 解：（1）两式相加得$$3x=21$$，$$x=7$$，代入得$$y=8$$，解为$$\begin{cases}x=7\\y=8\end{cases}$$；（2）由$$x+y=8$$得$$x=8-y$$，代入解得$$y=2，x=6$$，解为$$\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$$。 3. 解：设钢笔x支，笔记本y本，列方程组$$\begin{cases}x+y=40\\5x+3y=144\end{cases}$$，解得$$x=12，y=28$$。答：钢笔12支，笔记本28本。 四、拓展思考题 解：将$$x=2，y=1$$代入方程组，得$$2a+1=5$$，$$2-b=3$$，解得$$a=2，b=-1$$。 章末总结：本套复习题覆盖一次方程（组）全章重难点，包含一元一次方程定义与解法、等式性质、二元一次方程组两种消元解法、基础应用题与含参数方程题型。重点突破学生移项不变号、去分母漏乘、消元思路混乱、应用题不会找等量关系等高频易错点，衔接前后知识点，题型梯度循序渐进，全面巩固方程运算与应用能力，适配单元检测与期末复习，为后续函数、不等式学习筑牢核心基础。 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c. 4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程． 一 1 1. 等式的性质1：等式两边都加上 或减去同一个数 (或整式)，等式两边仍然相等． 如果 a＝b，那么 a± ＝b±c. 2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以 同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式． 如果 a＝b，那么 ac＝ ___ ， ＝ (c ≠ 0). 二、等式的性质 c 3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性） 4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性） bc ___ 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边， 常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式． (5) 除以未知数的系数：方程两边同除以 x 的系数， 得 x＝m 的形式. 三、一元一次方程的解法 1. 二元一次方程的概念：含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程，叫作二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念：只含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程组. 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. 四、二（三）元一次方程组的有关概念 两个 1 1 两个 4. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组. 1 三个 五、二元一次方程组的解法 ①代入消元法： ②加减消元法： 转化 代入 求解 回代 写解 检验 变形 加减 求解 回代 写解 检验 六、三元一次方程组的解法 消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 七、用一次方程与方程组解决实际问题 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者， 被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． （2）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积. （3）储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和. （4）销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润； ② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价. （5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系： ① 增长率 = 原有量×增长率； 现有量 = 原有量 + 增长量. ② 降低量 = 原有量×降低率； 现有量 = 原有量 - 降低量. （6）百分率问题中基本量之间的关系： ① 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量； ② 增长率问题：原量×(1+增长率) = 增长后的量； 原量×(1 - 减少率) = 减少后的量. 考点1 方程及方程的解 1. 下列各式：，，为已知数 ， ，，， 中，方程有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知关于的方程的解是，则 的值 为___. 5 返回 考试考法 15 考点2 一元一次方程 3. 有下列方程：； ； ；； ，其中是一元一次方 程的有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 4.已知是关于的一元一次方程，则 ___. 1 返回 考试考法 16 考点3 等式的性质 5. 下列等式变形正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 返回 考试考法 17 考点4 一元一次方程的解法 6.解下列方程: （1） ； 【解】去分母，得 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 考试考法 18 （2） . 原方程可变为 . 去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 返回 考试考法 19 考点5 一元一次方程的应用 7. 如图，在某年11月份的月历表上， 用一个正方形可以圈出9个数 （如3，4，5，10，11，12，17，18， 19），若圈出的9个数中，最大数与 最小数的和为42，则这9个数的和为 ( ) D A. 69 B. 207 C. 84 D. 189 考试考法 20 【点拨】设中间的数为 ，则另外8个 数分别为，， ， ，，，， ， 根据题意得 ，解得 ，所以 . 返回 考试考法 21 8.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图 形，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形， 第3个图形中有10个三角形…按照此规律排列下去，第 个图 形中有2 026个三角形，则 _____. 675 考试考法 22 【点拨】第1个图形中有4个三角形，即 ；第2个 图形中有7个三角形，即 ；第3个图形中有10个 三角形，即； ，按照此规律排列下去，第 个图形中有个三角形，所以 ，解得 . 返回 考试考法 23 9. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮， 温水和开水共用一个出水口.温水的温度为 ，流速为 ；开水的温度为，流速为 .某学生先接 了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间. 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的 热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降 低的温度 温水的体积×温水升高的温度. 考试考法 24 【解】设该学生接温水的时间为 ， 根据题意可得 ，所以 . 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为 . ，解得 ，所以 返回 考试考法 25 考点6 二元一次方程组的相关概念 10.已知 是二元一次方程，则 ___. 0 11. 若关于, 的二元一次方程组 的解为则多项式 可以是_______________ _______________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 考试考法 26 考点7 二元一次方程组的解法 12. 对于任意有理数,,, ，我们规定 ，已知，同时满足 ， ，则 ____. 考试考法 27 【点拨】因为， ， 所以联立可得 由，得 ， 解得，将代入①，得，解得 .所以 . 返回 考试考法 28 13.解方程组： 【解】原方程组整理得 得 ，③ 得，解得 . 把代入②得，解得 ， 所以原方程组的解为 返回 考试考法 29 考点8 二元一次方程组的实际应用 14. 近日被市民们称为“背篓专线”的重庆轻轨 四号线受到人们的关注.某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种 植的新鲜水果樱桃和枇杷带去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤 枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元. 考试考法 30 （1）请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元? 【解】设张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤 元，由题意 可得解得 答：张大爷售卖的樱桃每斤25元，枇杷每斤15元. 考试考法 31 （2）张大爷这天一共带了20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天 的售卖，卖出了樱桃总量的,枇杷总量的 ,由于天气炎热， 在剩下的樱桃中出现了 的损坏不能售卖.张大爷决定对剩 下的樱桃打八折销售，剩下的枇杷直接每斤降价 元，很快 便将所有水果售空，张大爷这天卖水果一共收入了889元， 求 的值. 考试考法 32 由题意可得 , 解得.所以 的值为5. 返回 考试考法 33 思想1 转化思想 15.已知，，， ，中每个数只能取 ，0，2中 的一个，且满足 则 _____. 627 【点拨】设有个数取， 个数取2， 则解得 所以 . 返回 考试考法 34 思想2 整体思想 16.若关于,的二元一次方程组的解为 则关于,的方程组 的解为 _ ________. 返回 考试考法 35 思想3 分类讨论思想 17.为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度， 具体执行方案如下： 考试考法 36 档次 每户每月用电量（度） 执行电价 （元/度） 第一档 小于或等于200 0.5 第二档 大于200且小于或等于450 时，超出200的部分 0.7 第三档 大于450时，超出450的部分 1 考试考法 （1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费_____元. 170 （2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元.已知 该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均 小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？ 考试考法 38 【解】设五月份用电为度，则六月份用电为 度， 当 时，根据题意得 ，解得 ，此时 ， 所以五月份用电100度，六月份用电400度； 当 时， 根据题意得 ，此时方程无解，舍去. 综上，五月份用电为100度，六月份用电为400度. 返回 考试考法 39 思想4 数形结合思想 18.如图，在数轴上点表示的数为，点 表示的数为40， 动点从点 出发以每秒5个单位长度的速度沿正方向运动， 动点 从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向运动， 动点从点 出发以每秒8个单位长度的速度先沿负方向运动， 到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点回到点 时，三点停止运动. 考试考法 40 （1）当运动时间为3秒时，点， 之间的距离是____单位长度. 21 考试考法 41 （2）当 个单位长度时，求三个点的运动时间. 考试考法 42 【解】设三个点的运动时间为秒.由题易知到 的时间为10 秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒.当到 前时， 所表示的数为，所表示的数为 . 考试考法 43 ①，相遇前，则，解得 ； ②，相遇后，到前，则 ，解得 ； 当，相遇后，到后时，所表示的数为， 所表示的 数为 ， ，解得 . 考试考法 44 综上所述，当个单位长度时，三个点的运动时间为 秒或 秒或7秒. 考试考法 （3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下 面的实际问题： 码头位于，两码头之间，且知海里， 海 里，甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向 码头，丙船从码头开往码头，到达 码头后立即调头返回 码头.已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中 的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流 考试考法 46 速度为2海里/时，三艘船同时出发，每艘船都行驶到 码头 停止.在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的 一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在， 请求出此时甲船离 码头的距离；若不存在，请说明理由. 考试考法 存在.建立如图所示的数轴，码头所表示的数为， 码头 所表示的数为0， 码头所表示的数为40. 甲船到码头的时间为时，甲船到码头的时间为 时，乙 船到码头的时间为时，丙船到码头的时间为 时，丙船 考试考法 48 到码头的时间为时，甲船遇丙船的时间为 时，乙船遇丙 船的时间为 时，甲船追上乙船的时间为20时（舍去），丙 船追上甲船的时间为时（舍去）.设三艘船的运动时间为 时，丙船到码头前，甲船所表示的数为 ；乙船所 表示的数为；丙船所表示的数为 . 考试考法 ①乙船与丙船相遇前： ， 解得，所以甲船离 码头的距离为 海里 ； 考试考法 50 ②乙船与丙船相遇后，甲船与丙船相遇前： ，解得 ， 所以甲船离码头的距离为 （海里）； ③甲船与丙船相遇后，丙船到 码头前： ，解得 ， 所以甲船离码头的距离为海里 ； 考试考法 ④甲船与丙船相遇后，丙船到 码头后：甲船所表示的数为 ；乙船所表示的数为40，丙船所表示的数为 . ，解 得 （舍去）. 综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、 小 时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的 距离相等，此时甲船离码头的距离分别为 海里、32海里、 20海里. 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS $