第3章 一次方程（组）：5大考点+12大题型+强化训练（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章 一次方程（组) 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1等式的基本性质 知识点2一元一次方程 知识清单 知识点3一元一次方程的应用 知识点4二元一次方程组 知识点5二元一次方程组的应用 题型1等量关系与方程 题型2等式的基本性质 第3章一次方程（组） 题型3解一元一次方程 题型4已知一元一次方程的解，求参数 题型5一元一次方程的应用 题型6二元一次方程（组）的概念 题型精讲 题型7已知二元一次方程组的解求参数 题型8代入消元法解二元一次方程组 题型9加减消元法解二元一次方程组 题型10二元一次方程组解的情况求参数 题型11二元一次方程组的特殊解法 题型12二元一次方程组的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解一元一次方程、二元一次方程组等概念，掌握等式基本性质，能检验一个数是 否为方程的解。 2.熟练掌握一元一次方程的解法步骤，会用代入、加减消元法解二元一次方程组，确 教学目标 保运算准确。 3.能分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列方程（组）解决问题，体会建模 思想。 1.重点 教学重难点 (1)扎实掌握等式的基本性质，熟练运用移项、去分母等方法解一元一次方程，掌握 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二元一次方程组的消元解法。 (2)准确理解方程（组）的概念，能从销售、行程等实际问题中提炼等量关系，列出 对应的方程（组）。 2.难点 (1)解一元一次方程时，在去分母、去括号环节易出现符号或漏乘错误；灵活选择消 元法解二元一次方程组难度较大。 (2)分析复杂实际问题时，难以梳理数量关系、找准核心等量关系，实现从实际情境 到数学方程模型的转化。 知识清单 1.核心概念 -方程：含有未知数的等式。像一元一次方程是只含一个未知数且未知数次数为1的方程二元一次方程 含两个未知数，含未知数的项次数均为1，对应的方程组则是含两个未知数的相关一次方程组合；三元一次 方程组则含三个未知数，且含未知数的项次数都是1。 -方程的解：能使方程左右两边值相等的未知数的值；求方程解的过程叫解方程。 2.基础性质与核心解法 -等式性质：等式两边同时加、减同一个数或整式，等式仍成立；同时乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，等式也成立。 -一元一次方程：解法分五步，依次是去分母、去括号、移项（移项要变号）、合并同类项，最后将未知数 系数化为1。 -方程组：二元一次方程组用代入消元法和加减消元法求解：三元一次方程组通过消元转化为二元一次方 程组，再进一步转化为一元一次方程求解。 3.实际应用 -解题步骤：遵循审题意、设未知数、列方程（组）、解方程（组）、检验结果、写答案的流程，关键是找 准等量关系。 一常见题型：涵盖行程、等积变形、储蓄、销售、和差倍分等问题，比如销售问题中常用利润=售价一进价， 行程问题中常用路程=速度×时间等等量关系列方程。 题型精讲 题型01等量关系与方程 【典例1】(25-26七年级上？黑龙江佳木斯？期中)已知关于x的方程2x+m=1的解是x=-1,则m的值为 () A.-3 B.-1 C.1 D.3 【变式1】(25-26七年级上？全国？课后作业)下列各项中，是一元一次方程的是() 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x2-4x=3B.x=0 C.x+2y=1 D.2+1=3 【变式2】(2025七年级上？全国？专题练习)已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2023 的值为 【变式3】(24-25七年级上？甘肃张掖？期末)已知(k-1)x2-+5=0是关于x的一元一次方程，则 k= 题型02等式的基本性质 【典例2】(25-26七年级上？广西桂林？期中)下列运用等式的性质变形错误的是() A.若a=b,则a+6=b+6 B.若ac=bc,则a=b C.若8-，则a=b D.若-2a=-2b,则a=b cc 【变式1】(25-26七年级上？全国？期中)下列变形中，符合等式性质的是() A.如果2x-3=7,那么2x=7-3 B.如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2 C.如果-2x=5,那么x=-2 5 D.如果-3x=1,那么x=-3 【变式2】(25-26七年级上全国课后作业)如果5x+3=-7,那么5x=-7+（). 【变式3】(25-26七年级上·全国课后作业)利用等式的性质解方程，并检验. (1)8+x=-5; (2)3x-4=11. 题型03解一元一次方程 【典例3】(25-26七年级上全国·课后作业)方程2(3y-1)=7y-2)+3的解是 【变式1】(25-26七年级上黑龙江鹤岗期中)解方程： (1)5x+2=3x+2 21.3+2-1 25 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2526七年级上北京昌平期中)小明与小红两位同学解方程3江53=1的过程如下： 46 小明： 小红： 12x3x-1-12x 5x-3=1(第一步) 6 3(3x-1-2(5x-3=12(第一步) 3(3x-1-2(5x-3)=1(第二步) 9x-3-10x-6=12（第二步) -x=12+3+6（第三步) 9x-3-10x+6=1(第三步) -x=21(第四步) -x=-2(第四步) x=-21(第五步) x=2(第五步) ()小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第 步、小红出错的步骤是第 步； (2)写出正确的解答过程。 【变式3】(25-26七年级上全国课后作业)解方程： (1)3(x-3+(2x-1=1: @xx--号x-1: 82x-110x+11 3124x: 3 题型04己知一元一次方程的解，求参数 【典例4】(25-26七年级上全国课后作业)若方程3x-2=1与关于x的方程1-2a=0的解相同，则a的 2 值为() A.2 B.0 C.3 D.! 2 【变式1】(25-26九年级上重庆阶段练习)已知关于x的方程5+=x-2+1的解是整数.且k是正整数， 36 则满足条件的所有k值的和为」 【变式2】(2024七年级下福建泉州竞赛)若关于x的方程2+m=-一k+2,无论k为任何数时，它的 3 6 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解总是x=1,则m-n= 【变式3】(2425年级下溯南渊西阶段练》）如果4，b为定值，关于x的一次方程+-“丸 无论k为何值时，它的解总是2.求a+2b的值. 题型05一元一次方程的应用 【典例5】(2025·江西赣州一模)《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深 度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺. 问井深多少尺？下列说法正确的是() A.设并深为x尺，所列方程为3(x+4)=4(x-1) B.绳子的长是32尺 C.设绳子的长为x尺，所列方程为}x+4= x+1 4 D.井深8尺 【变式1】(25-26七年级上·四川成都阶段练习)金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下： 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得-1分.某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分， 那么该足球队共胜了场. 【变式2】(25-26七年级上·全国·课后作业)A,B两站间的距离为448km,一辆慢车从A站出发，每小时 行驶60km;一辆快车从B站出发，每小时行驶80km. (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【变式3】(24-25七年级上甘肃武威期末)某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品， 每人每天生产螺母12个或螺栓5个.分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺 栓和螺母刚好配套？ 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套. 题型06二元一次方程（组)的概念 【典例6】(25-26八年级上·重庆阶段练习)下列方程中，属于二元一次方程的是() 1 A.x+二=5 B.y+5z=-4x 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.3x-3xx-y）=8 D.x+=2 4 【变式1】(25-26七年级上·全国课后作业)下列方程组中，是二元一次方程组的为() 1 .+n=5 2a-3b=11 A. 2 B. 5b-4c=6 m+ n x2=9 x+y=3 C. D [y=2x y-x=1 【变式2】(24-25七年级下.甘肃武威期末)如果4x+26-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么 a-b= 【变式3】(2025八年级上·全国.专题练习)已知方程组 3x-(m-3到y=山是关于，y的二元一次方程组， (m+1x=-2 则m的值为一· 题型07己知二元一次方程组的解求参数 【典例7】(25-26八年级上·湖南长沙.开学考试)已知 =-1是方程x-w=1的解，则a=() x=2 A.1 B.-1 C.3 D.-3 x+y=0 【变式1】(24-25八年级上，宁夏银川期末)己知方程组 (x+=3的解是x=1 {y=-2'则2m+n的值为() A.1 B.2 C.3 D.0 =2是关于，y的二元一次方程组 x=1 2a+bx=3 【变式2】(24-25七年级下·云南昆明期末)若 a+y=6的解，则 a+b的值是一· 【变式3】 (24-25七年级下·全国假期作业)如果 m=3 m=4是方程组 am-4n=5 m+bm=-14的解，试求关于x的一元一次方程 ax-2=bx+10的解. 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型08代入消元法解二元一次方程组 【典例8】(24-25七年级下·河北阶段练习)已知方程3x+4y=6,用含x的式子表示y,可表示为() A.x=6-4y 6+4y 6-3x 6+3x B.x= C.y= D.y= 3 3 4 4 【变式1】(24-25七年级下四川遂宁阶段练习)把3x-4y=7改写：用含的式子表示y，得y=一 【变式2】(25-26八年级上·山东济南·阶段练习)阅读下列解题过程，完成相应任务， 2x-y=4① 解方程组： 8x-3y=20② 解：由①，得y=2x-4,③ 把③代入②，得8x-3(2x-4)=20,..第一步 去括号，得8x-6x-12=20,..第二步 解得x=16..第三步 将x=16代入③，得y=28..第四步 x=16 所以原方程组的解为 (y=28…· 第五步 任务一：(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 A.代入消元法 B.加减消元法 任务二：（2)第 步开始出现错误，这步的正确格式应为 任务三：(3)直接写出该方程组的正确解： [-2x+y=-3 【变式3】(23-24七年级下·四川乐山期末)解方程组 3x+2y=1 题型09加减消元法解二元一次方程组 【典例9】(24-25七年级下·重庆期末)若x,y是二元一次方程组 3x+2y=7°的解，那么x-y的值是() 2x+3y=-8 A.15 B.4 C.3 D.2 【变式1】(24-25八年级上·广东清远·期中)解方程组： 0/=5-x x-y=-1 7/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-y=5 2 3x+4y=2 【变式2】(24-25七年级下·甘肃武威阶段练习)解方程组： 、「4y+x=15 03x-4y=-3 x+2(x+2y)=4 (2) x+2y=2 【变式3】(24-25七年级下·四川绵阳·期中)解下列方程组： [3x+2y=5 2x-y=8 [3y-2x=1 (②)x+2=1-y+1: 3 4 题型10二元一次方程组的解的情况求参数 2x+y=2k 【典例10】(25-26八年级上·重庆开学考试)若关于x,y的二元一次方程组 x+2y=3-k的解满足 x+y=6,则k的值为() A.1 B.5 C.15 D.20 【变式1】(25-26八年级上·全国·单元测试)如果实数x,y满足方程组 2x-y=1 (x+y=2那么 (x-2y)2024= 【变式2】(2025八年级上·全国专题练习)二元一次方程组有可能无解.例如方程组 x+2y=1① 2x+4y=32无解， 原因是将①×2，得2x+4y=2,它与②式存在矛盾，导致原方程组无解.若关于x,y的方程组 x+ay=b (2xr+3y=4无 解，求a,b必须满足的条件. x+2y=3 【变式3】(2425七年级下江苏扬州阶段练习)已知关于x,y的方程组 x-2y+mx=-5 (1)请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解。 (2)若该方程组的解也满足方程x+y=2,求m的值. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型11二元一次方程组的特殊解法 2x-3y=13 x=8.3 【典例11】(24-25七年级下山东淄博开学考试)已知方程组 的解是 12 则方程组 3x+5y=30.9 2(x+2)-3y-1=13 3(x+2+5(y-1)=30.9的解是() x=8.3 x=6.3 A. B. y=1.2 y=2.2 x=10.3 x=10.3 C. D y=2.2 y=0.2 ax-by=3 【变式1】(24-25七年级下·江苏淮安阶段练习)若关于x,y的二元一次方程组 2ar-3by=10的解为 x=2 am+1)-b(n-2)=2 y=-1'则关于m,”二元一次方程组 2a(m+1)-3动(n-2=20的解为 3 x+y=4① 【变式2】(24-25七年级下·吉林白城阶段练习)(1)观察发现：材料：解方程组 3(x+y)+y=14② 将①整体代入②，得3×4+y=14,解得y=2,把y=2代入①，得x=2,所以{ =2'这种解法称为整 x=2 体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， x-y-1=0① 请直接写出方程组 4(x-y)-y=5② 的解为 2x-y-2=0 (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x-y+ +x=39 (3)拓展运用：若关于x,y的二元一次方程组 2x+y=-3m+2 的解满足x+y>-1,请直接写出满足条 x+2y=7 件的m的所有正整数值· 【变式3】(25-26八年级上·全国课后作业)仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题. 19x+13y=44① 解方程组： 13x+19y=20② 解：①-②，得6x-6y=24,即x-y=4,③ ①+②，得32x+32y=64,即x+y=2.④ 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③+④，得x=3.③-④，得y=-1, x=3 所以原方程组的解为 y=-1 23x+17y=63① 请你仿照上面的解法解方程组： 17x+23y=57② 题型12二元一次方程组的应用 【典例12】(2025湖南·三模)中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了 这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐：若每舟乘坐3人， 则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为() 4x-1)=y 4x+1=y 4x=3y 4x+1=y A. B. C D 3x+1=y 3x-1=y 3x+1=y 3(x+1=y 【变式1】(25-26七年级上全国·课后作业)庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要 组成部分.庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品.已知2个绢布扇和3个手账 本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元.则绢布扇的单价为元，手账本的单价为 元. 【变式2】(25-26七年级上·山东聊城期中)如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请 根据图中给出的数据信息，解答下列问题： 88cm 86.5cm 777777777 (1)每本数学课本的厚度为 cm,讲台的高度为 cm; (②)当有x本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为 (用含x的代数式表示). 【变式3】(25-26七年级上·黑龙江哈尔滨期中)某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架， 每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套。 ()应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中 留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别 出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需 10/14 第3章 一次方程（组） 教学目标 1. 理解一元一次方程、二元一次方程组等概念，掌握等式基本性质，能检验一个数是否为方程的解。 2. 熟练掌握一元一次方程的解法步骤，会用代入、加减消元法解二元一次方程组，确保运算准确。 3. 能分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列方程（组）解决问题，体会建模思想。 教学重难点 1.重点 （1）扎实掌握等式的基本性质，熟练运用移项、去分母等方法解一元一次方程，掌握二元一次方程组的消元解法。 （2）准确理解方程（组）的概念，能从销售、行程等实际问题中提炼等量关系，列出对应的方程（组）。 2.难点 （1） 解一元一次方程时，在去分母、去括号环节易出现符号或漏乘错误；灵活选择消元法解二元一次方程组难度较大。 （2）分析复杂实际问题时，难以梳理数量关系、找准核心等量关系，实现从实际情境到数学方程模型的转化。 1. 核心概念 - 方程：含有未知数的等式。像一元一次方程是只含一个未知数且未知数次数为1的方程；二元一次方程含两个未知数，含未知数的项次数均为1，对应的方程组则是含两个未知数的相关一次方程组合；三元一次方程组则含三个未知数，且含未知数的项次数都是1。 - 方程的解：能使方程左右两边值相等的未知数的值；求方程解的过程叫解方程。 2. 基础性质与核心解法 - 等式性质：等式两边同时加、减同一个数或整式，等式仍成立；同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式也成立。 - 一元一次方程：解法分五步，依次是去分母、去括号、移项（移项要变号）、合并同类项，最后将未知数系数化为1。 - 方程组：二元一次方程组用代入消元法和加减消元法求解；三元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。 3. 实际应用 - 解题步骤：遵循审题意、设未知数、列方程（组）、解方程（组）、检验结果、写答案的流程，关键是找准等量关系。 - 常见题型：涵盖行程、等积变形、储蓄、销售、和差倍分等问题，比如销售问题中常用利润=售价 - 进价，行程问题中常用路程=速度×时间等等量关系列方程。 题型01 等量关系与方程 【典例1】（25-26七年级上�黑龙江佳木斯�期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 即， ∴． 因此，m的值为3． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上�全国�课后作业）下列各项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． 根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元一次方程的定义，故此选项正确，符合题意； C、该方程含有两个未知数和，不是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意； D、该方程中分母含有未知数，不是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2025七年级上�全国�专题练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入，得到和的数量关系并代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 经整理，得， 则 ． 故答案为：2025． 【变式3】（24-25七年级上�甘肃张掖�期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由原方程，得， 解得或， ， ， 解得． 故答案为：． 题型02 等式的基本性质 【典例2】（25-26七年级上�广西桂林�期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零． 【详解】解：选项A：若， 两边加6得， 符合等式性质，正确． 选项B：若， 当时， 无论a、b为何值等式均成立， 此时无法推出． 因未限定，变形错误． 选项C：若， 隐含，两边乘c， 得，正确． 选项D：若， 两边除以（非零数），得，正确． 综上，B选项的变形未排除的情况，故错误． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上�全国�期中）下列变形中，符合等式性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的变形，关键是掌握等式的基本性质． 利用移项的知识作出判断即可确定A、B，根据等式的性质2变形即可确定C、D． 【详解】解：A、移项得，不是，选项错误，不符合题意； B、，移项得，不是，选项错误，不符合题意； C、给两边都除以，得，不是，选项错误，不符合题意； D、给两边都乘以，得，正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么（ ）． 【答案】 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：由可知等式两边同时加上得：； 故答案为． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)是原方程的解 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 题型03 解一元一次方程 【典例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 【答案】 【分析】需通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解. 【详解】解： 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，确保每一步运算准确. 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·北京昌平·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，二 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，等式的性质等知识． （1）根据等式的性质和去括号法则即可判断出小明与小红在解方程中出现的错误； （2）根据解一元一次的步骤即可求解． 【详解】（1）解：小明出错的步骤是第一步，错误的应用了等式的性质二，等式左边乘以12，右边也应该乘以12； 小红出错的步骤是第二步，在利用分配律去括号号时符号错误． 故答案为：一，二； （2）解： 去分母得 ， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化“1”得 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 题型04 已知一元一次方程的解，求参数 【典例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 【变式2】（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 题型05 一元一次方程的应用 【典例5】（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程组即可． 【详解】解：设胜场数为，则平了场，依题意得， 解得： 故答案为4． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业），两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【答案】(1)出发小时后相遇． (2)出发小时后快车能追上慢车． 【分析】（1）设出发小时后相遇，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，两车走的距离之和为千米，由此列出方程，求出的值即可． （2）设出发小时后快车追上慢车，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，快车追上慢车，则快车比慢车多走了千米，由此列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设出发小时后相遇， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，相向而行，出发后小时相遇． （2）解：设出发小时后快车能追上慢车， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发小时后快车能追上慢车． 【点睛】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是根据两车行驶距离的关系列出方程． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为人， 根据题意得： ， 解得：， ∴ ， 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 题型06 二元一次方程（组）的概念 【典例6】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义作答即可． 【详解】解：A、两个方程都是分式方程，不符合题意； B、方程组含有三个未知数，不符合题意； C、第一个方程的的次数为2，不符合题意； D、方程组为二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如果是二元一次方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据二元一次方程的定义即可求出a与b的值即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， ∴． 故答案为：0． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 题型07 已知二元一次方程组的解求参数 【典例7】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是方程的解，则（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程，计算即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故答案为：B． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知方程组的解是，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，将代入求出m、n的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入， ∴， 解得， 则． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将代入原方程组得：，得到一个关于、的方程组，两方程相加求值即可． 【详解】解：将代入原方程组得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：3 【变式3】 （24-25七年级下·全国·假期作业）如果是方程组的解，试求关于的一元一次方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握方程的解法是解题关键．将代入原方程组，得到关于、的方程组求解，再代入一元一次方程求解即可． 【详解】解：是方程组的解， ，解得：， ， ， 解得：． 题型08 代入消元法解二元一次方程组 【典例8】（24-25七年级下·河北·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）把改写：用含的式子表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把当作已知求出即可． 【详解】解：， 解得：； 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【答案】（1）A；（2）二，；（3） 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 故选A； （2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为； 故答案为二，； （3）． 由①，得，③ 把③代入②，得， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 故答案为． 【变式3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法），解题的关键是通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程，进而求解未知数的值． 从含系数为1的未知数的方程（）解出用表示的；将其代入另一个方程消去，得到关于的一元一次方程；求解一元一次方程得的值，再代入的表达式求． 【详解】解：记方程组为 由①得； 将③代入②得； 去括号得； 合并同类项得； 系数化为1得； 将代入③得． 故方程组的解为． 题型09 加减消元法解二元一次方程组 【典例9】（24-25七年级下·重庆·期末）若x，y是二元一次方程组的解，那么的值是（　　） A．15 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组. 直接计算即可. 【详解】解：， 得：， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·广东清远·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法： （1）可以用加减消元法或者代入消元法； （2）可以用加减消元法求解． 【详解】（1） 解：①②得，解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2） 解：得， ②③得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 先化简得，， 由得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组变形，再由加减消元法求解． 【详解】（1）解： 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 题型10 二元一次方程组的解的情况求参数 【典例10】（25-26八年级上·重庆·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．方程组两方程相加得出，代入中计算即可求出k的值． 【详解】解： ，得： 则， 代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如果实数满足方程组那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及解二元一次方程组，掌握整体思想是解本题的关键． 将两个二元一次方程相减即可得到，再整体代入即可求值． 【详解】解：方程组， 由①-②得：， 那么． 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查二元一次方程组的求解．根据题意可知，方程组无解，则方程组内左边相同，右边不同，据此即可解答． 【详解】解：， ，得， 由题意知，且，解得且． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 题型11 二元一次方程组的特殊解法 【典例11】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 先根据原方程组的解可知，再求出解即可. 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得. 故选：B. 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，，将原方程组变形为，对比的解为，可得，进而即可求解． 【详解】解：设，， 则变形为， 等式两边同乘，得：， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握消元法是关键． 先把两式相加得出的值，再把两式相减得出的值，再用加减消元法求出的值即可； 【详解】解：①+②，得，即．③ ①-②，得， 即．④ ，得．，得， 所以原方程组的解为 题型12 二元一次方程组的应用 【典例12】（2025·湖南·三模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系并列出方程组是关键；根据等量关系：每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，列出方程组即可． 【详解】解：由题意共有x只小舟，y人， 则得方程组， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元． 【答案】 15 20 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，通过设立二元一次方程组，利用消元法求解绢布扇和手账本的单价． 【详解】解：设绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元， 根据题意，得方程组： 解得 即绢布扇的单价为 15 元，手账本的单价为 20 元, 故答案为：15，20． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度为_________，讲台的高度为_________； (2)当有本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为_________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)每本数学课本厚度为，讲台高度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意是解此题的关键． （1）设每本课本厚度为，讲台高度为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据总高度讲台高度课本总厚度即可得解． 【详解】（1）解：设每本课本厚度为，讲台高度为， 由图可知：， 解得：， 答：每本数学课本厚度为，讲台高度为； （2）解：∵总高度讲台高度课本总厚度， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，通过解方程组求出的值，再代入中求解即可． 【详解】解：，得： ； 解得：； ∵的解也是方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级上·北京·期中）我国古代的数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其大意为：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，五天共织布五尺，问每天各织多少布？根据此问题中的已知条件，设第一天织布尺，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 设第一天织布尺，根据题意“每天织布量为前一天的2倍”可得，第二天的织布为尺，第三天织布为尺，第四天织布为尺，第五天织布为尺，再根据“五天共织布五尺”列式即可． 【详解】解：设第一天织布尺， 根据题意可得：第二天的织布为尺，第三天织布为尺，第四天织布为尺，第五天织布为尺， 五天总织布量为：， ∴ 所列方程为． 故选：B． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意； B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意； C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意； D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握并灵活运用等式的两个基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则或，变形错误，符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，则，变形正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则所列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有个头”和“只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：每个哪吒有个头，每个夜叉有个头，交战双方共有个头， ， 每个哪吒有只手，每个夜叉有只手，交战双方共有只手， ， 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．形如(且)的方程，只含有二个未知数，并且未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，据此回答即可． 【详解】解：依题意，得， 解得，， 故答案为： 8．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．则买500件A商品和500件B商品用了 元． 【答案】10000 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A商品的单价为元，B商品的单价为元，根据买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元列出方程组求出两个商品的单价即可得到答案． 【详解】解：设A商品的单价为元，B商品的单价为元． 根据题意，得方程组：， 解得， ∴买500件A商品和500件B商品所需费用为（元）． 故答案为：10000． 10．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知关于的方程组，若，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．把方程组中的两个方程相减得到，则，再结合得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， 即， ． ， ． ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 12．（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用． （1）根据题意列出代数式． （2）根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司前年收入为x元，支出为y元， ∵去年收入比前年增加，支出比前年减少 ∴去年收入为：，去年支出为：． （2）解：由题意得 解得． 13．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键； （1）利用加减消元法进行解方程即可； （2）设，，将原方程组变成的二元一次方程组，再利用加减消元法进行解方程即可． 【详解】（1）解： 得： ③ 得： ∴ 将代入①得： ∴ ∴ 故方程组的解为 （2）解： 设，，则方程组化为： 得： ∴ ∴ 将代入④得： ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故方程组的解为 14．（24-25七年级上·安徽六安·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)证明：无论实数m取何值，方程总有一个公共解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）先将二元一次方程化简为，可得当时，，即可求解； （2）先得到二元一次方程组，求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 整理得：， ∴当时，， 此时， ∴无论实数m取何值，方程总有一个公共解； （2）解：方程组的解满足， 可得方程组， 解得：， 将代入，得 ， 解得： 16．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)计算：． (4)若，直接写出的值． 【答案】(1)或2 (2)5或1 (3)2或0或 (4)6或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题． （1）分和两种情况，结合绝对值的定义即可获得答案； （2）根据的几何意义进行分析，即可获得答案； （3）分且，且，且，且四种情况，分别求解即可； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，可有， 当时，可有，即， ∴的值是或2； （2）根据题意，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离为2， 则的值是5或1； （3）根据题意，可知且， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 综上所述，的值为2或0或； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9， 当时，可知， 则有，解得， 当时，可知， 则有，故此种情况不存在， 当时，可知， 则有，解得， 综上所述，m的值为6或． 18．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【答案】(1)种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人 (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设种客车可坐人，种客车可坐人，根据“3 辆客车和1辆客车可以坐 220 人， 2 辆客车和 3 辆客车坐的人数一样多”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆种客车，辆种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人； （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，求代数式的值． 由题意可得这两个方程组的解也是方程组的解，解方程组得出，将此解代入得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）（2）（3）15 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 则原方程组的解为； 故答案为：； （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 则原方程组的解为； （3） 由①，得， 化简，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $