4.3.2.2余角和补角（课件）--2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的定义、性质及应用，通过长方形纸片折叠情境导入，引导学生观察角的数量关系，衔接角度计算知识，为几何推理构建学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过折叠实验抽象数量关系，性质推导渗透逻辑推理，方程法解决角度问题培养模型意识。题型分层且含详细解析，课堂小结用对比表格梳理知识，助力学生发展几何推理与运算能力，为教师提供系统教学资源。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学七年级上册教学课件 第4章 图形的认识 4.3.2.2余角和补角 2026年8月7日 湘教版七年级上册数学4.3.2.2余角和补角同步练习题 核心知识点回顾：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。核心性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。余角、补角仅与角度数值和有关，与位置无关。本节重点掌握余角补角的判定、角度计算及性质应用，是几何角度推理的重要基础。 一、基础填空题（每空2分，共30分） 1. 若两个角的和为90°，则这两个角互为________。 2. 若两个角的和为180°，则这两个角互为________。 3. 同角的余角________，等角的补角________。 4. 30°角的余角是________，补角是________。 5. 一个锐角的余角一定是________角，补角一定是________角。 6. 若∠α=45°，则∠α的余角=________，补角=________。 7. 已知∠A+∠B=90°，∠B+∠C=90°，则∠A________∠C。 8. 一个角比它的余角大20°，这个角的度数是________。 二、基础选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于余角的说法正确的是（） A. 两个直角互为余角 B. 和为90°的两个角互余 C. 位置相邻的角互余 D. 钝角有余角 2. 120°角的补角是（） A. 30° B. 40° C. 60° D. 80° 3. 若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（） A. 互余 B. 相等 C. 互补 D. 无法确定 4. 下列角度中，没有余角的是（） A. 75° B. 90° C. 45° D. 89° 5. 一个锐角的补角与余角的差值为（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° 6. 若∠α=28°，则其补角的度数为（） A. 62° B. 72° C. 152° D. 162° 7. 互余、互补关系只与角的（）有关 A. 位置 B. 度数和 C. 边长 D. 开口方向 8. 若两个角互余且相等，则这两个角的度数均为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 三、能力提升解答题（共36分） 1.（12分）基础计算：分别求下列角度的余角和补角。 （1）$$36^\circ$$ （2）$$58^\circ20'$$ 2.（12分）方程求解：已知一个角的补角是它余角的3倍，求这个角的度数。 3.（12分）性质应用：已知∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，求证∠1=∠3。 四、拓展思考题（10分） 已知∠A的补角比它的余角的4倍少15°，求∠A的度数。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 余角；2. 补角；3. 相等、相等；4. 60°、150°；5. 锐、钝；6. 45°、135°；7. =；8. 55° 二、选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 三、解答题 1. 解：（1）36°余角：90°-36°=54°，补角：180°-36°=144°；（2）58°20′余角：90°-58°20′=31°40′，补角：180°-58°20′=121°40′。 2. 解：设这个角为x°，则补角为(180-x)°，余角为(90-x)°。列方程：180-x=3(90-x)，解得x=45。答：这个角为45°。 3. 证明：∵∠1与∠2互余，∴∠1=90°-∠2；∵∠3与∠2互余，∴∠3=90°-∠2；根据同角的余角相等，可得∠1=∠3。 四、拓展思考题 解：设∠A=x°，根据题意得：180-x=4(90-x)-15，展开化简：180-x=360-4x-15，3x=165，解得x=55。答：∠A=55°。 题型总结：本套习题聚焦余角和补角核心考点，覆盖定义辨析、角度基础计算、度分秒余补角运算、性质推理、方程法求解角度等题型。重点解决学生混淆余角补角度数、忽略同角等角性质、不会列方程求解角度等高频易错点，衔接上一节角度计算知识，完善几何角度运算体系，培养学生基础几何推理思维，为后续相交线、平行线的角度计算筑牢基础。 情境导入 如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 1.∠1和∠2有什么数量关系？ 2.∠3和∠4有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 探索新知 余角和补角的定义 如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角. 若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角. 1 2 几何语言： ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1与∠2互为余角. 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. 若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角. 几何语言： ∵∠3+∠4=180°， ∴∠3与∠4互为补角. 3 4 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 45° 60° 77° 81°15′ x° （0＜x＜90） 85° 175° 45° 135° 30° 120° 13° 103° 8°45′ 98°45′ (90-x)° (180-x)° 锐角的补角比它的余角大______. 90° 填表： 判断： (1) 一个角的余角必为锐角. (2) 一个角的补角必为钝角. (3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°. (4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. (5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ × √ × × 练一练 1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( ) C A. B. C. D. 2. ［2025长沙望城区期末］一个角的补角比这个角的余角的 3倍少 ，这个角是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 3. ［2025汕头月考］如图，, , ，下列判断：①射线是 的 角平分线；是的补角；； 的余角有和 .其中正确的是( ) C A. ①③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 举一反三 8 余角和补角的性质 思 考 ∠1 ∠2 ∠3 30° 150° 150° 90° 90° 90° 150° 30° 30° 观察下表，你有什么发现？ ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补， ∠2与∠3大小相等. 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的补角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ∴∠2=∠3(同角的补角相等) 等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c” 试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？ ∠4 ∠5 ∠6 图① 30° 60° 60° 图② 45° 45° 45° 图③ 60° 30° 30° ∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余， ∠5与∠6大小相等. 图① 图② 图③ 由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4. 因此 ∠5 =∠6（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的余角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3(同角的余角相等) 如图，已知∠ACB =∠CDB =90° (1)图中有哪几对互余的角？ (2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， (2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等) ∠A=∠BCD(同角的余角相等) 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 所以 30.17° 典例精析 3. 如图，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON = 40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数． O D A B C N M 解：设∠AOB = x. 因为∠AOC 与∠AOB 互补， 所以∠AOC = 180° - x． 练一练 所以 解得 x = 50°. 则 180° - x = 130°. 即∠AOB = 50°，∠AOC = 130°. O D A B C N M 因为 OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线， 所以∠AOM = (180° - x)，∠AON = . 4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放. 与 互补的摆法是____； 与 相等的摆法是______.（填序号） ④ ①② 返回 举一反三 17 5.一位同学利用如图所示的量角器，采用如图①所示的方法 测量锐角 的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射 线，上,则 的度数为____.另外一位同学用同样的 方法，测量的余角 的度数，如图②所示，已知射 线所指示的度数为 ，则射线 所指示的度数为_____ _____. 或 返回 举一反三 18 例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个 角的度数. 解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°， 补角为 (180 - x)°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45. 因此，这个角为 45°. 典例精析 4.已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B的度数. 解：设∠B 的度数为 x°，则 ∠A 的度数为 (3x + 30)°. 根据题意得： x + ( 3x + 30 ) = 90. 解得 x = 15. 故 ∠B 的度数为 15°. 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题. 练一练 6.如图，点在直线 上， ， . 举一反三 21 （1）求 的度数. 举一反三 22 【解】因为点在直线 上,所以 . 因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 举一反三 23 （2）图中有哪几对角互为余角？ 与，与，与， 与 ,这4对角互为余角. 举一反三 24 （3）图中有哪几对角互为补角？ 与，与,与， 与 ，与，与，与 ,这7 对角互为补角. 返回 举一反三 25 7. 若与互为余角，与 互为补角，则下列结论错误 的是( ) D A. B. C. D. 【点拨】因为与互为余角，所以 .因为 与互为补角，所以 ，得 ，故A正确，D错误； ，得 ，故B正确； ，得 ，故C正确. 返回 举一反三 26 8.［2025北京海淀区期末］已知 在正方形网格中的位置 如图所示.设的余角为 ，则___ .（填“ ” “ ”或“ ”） 举一反三 27 9. 如图，把一张长方形 纸片的一角任意折向长方形内，使点 落在点的位置，折痕为 ；再沿 折叠，使点落在点 的位置，点 落在的位置，如果与 在同 一条直线上. 举一反三 28 （1）分别写出与、 与 之间所满足的数量关系. 【解】 ， . 举一反三 29 （2）写出与 之间的数量关系. 由折叠可知， , ,因为 , 所以 . 举一反三 30 （3） 是什么角？ 因为 , ,所以 ,所以 是直角. 返回 举一反三 31 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 2 1 4 3 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠3 +∠4 = 180° 或∠3 = 180° -∠4 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $