3.2.2 双曲线的简单几何性质 课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《双曲线的简单几何性质》课时同步练习，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|虚轴长、离心率等单一概念|选择1-3直接考查定义，夯实基础| |技能应用|渐近线、中点弦等性质应用|填空12-14结合运算，提升推理能力| |综合拓展|椭圆结合、冷却塔实际问题|选择8联系生活情境，解答16综合计算，发展模型意识|

3.2.2 双曲线的简单几何性质 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南永州高二上期中）双曲线的虚轴长为（） A. B. C.3 D.6 【答案】D 【解析】已知双曲线，已知，则. 虚轴长为，所以. 故选D. 2.（2024-2025·湖南长沙高二下期中）已知双曲线的焦距为，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由双曲线的焦距为,得,故. 由双曲线中且,得,故. 由离心率,得. 故选:C. 3.（2024-2025·湖南衡阳高二上期中）已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】双曲线离心率（为半焦距）， 又，则，即， 化简得，所以. 双曲线渐近线方程为， 代入，得，整理为. 答案：A. 4.若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围为(　　) A.(1，) B.(，＋∞) C.(1，] D.[，＋∞) 【答案】B 【解析】双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由双曲线与直线y＝2x有交点，得>2， 即e＝＝＝>＝， 故双曲线的离心率e的取值范围为(，＋∞)． 5.已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　) A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0 C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0 【答案】A 【解析】设弦的两端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则2x－y＝2，2x－y＝2， 两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0. 又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6， ∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0kPQ＝， 因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)， 即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交. 因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0. 6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点与椭圆＋＝1的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线C的离心率为(　　) A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【解析】因为椭圆＋＝1的焦点为(2,0)和(－2,0)， 所以c＝2，所以a2＋b2＝4. 双曲线C：－＝1的渐近线方程为ay±bx＝0， 由双曲线C的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切， 得＝， 解得b＝a，代入a2＋b2＝4得a＝1. 离心率e＝＝2. 7.若实数m满足m2＝36，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　) A. B. C.或 D.或7 【答案】C 【解析】∵m2＝36，∴m＝±6. 当m＝6时，圆锥曲线方程为＋y2＝1，其表示椭圆，且a=,b=1,c=,离心率为； 当m＝－6时，圆锥曲线方程为y2－＝1，其表示双曲线，且a=1,b=,c=,离心率为. 8.（2025-2026·辽宁高二上期中）火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分（如图1），它的优点是对流快､散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为图纸上的尺寸单位：，图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔的占地面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知单叶双曲面方程， 冷却塔占地面积即取边界值时在平面投影圆的面积. 因为取值范围中，所以令代入方程得. 化简可得，此圆半径. 由于图纸比例为，则实际半径. 可得实际占地面积. 二、多选题（共3小题） 9.若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 【答案】AD 【解析】 由双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，又因为c2＝a2+b2＝25，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； |PF|的最小值为c－a＝2，D正确． 10.已知双曲线－＝1(m>0)，则(　　) A.离心率的最小值为4 B.当m＝1时，离心率最小 C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0 【答案】CD 【解析】由题意可得e2＝＝＝m＋，因为m>0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号，此时双曲线的标准方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0. 11.（2025-2026·海南海口高二上期中）双曲线与有相同的（） A.实轴长 B.焦距 C.离心率 D.渐近线 【答案】ABC 【解析】对于双曲线，得，，由得， 计算得实轴长，焦距，离心率，渐近线为. 对于双曲线，得，， 同理得，计算得实轴长，焦距， 离心率，渐近线为. 由此可得两双曲线实轴长、焦距、离心率相同，渐近线不同. 故选：ABC. 三、填空题（共3小题） 12.过双曲线－＝1的右焦点作弦AB，且AB⊥x轴，则△OAB的面积为                  . 【答案】18 【解析】|AB|＝＝＝，c＝＝2，S＝|AB|·c＝××2＝18. 13.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是                  ． 【答案】3x＋4y－5＝0 【解析】易知所求直线的斜率存在，设为k， 则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)， 代入－y2＝1， 消去y得关于x的一元二次方程 (1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)， ∴－＝6， ∴k＝－(满足Δ>0)， ∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0. 14.已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为                  ． 【答案】9 【解析】对于双曲线－＝1，则a＝2，b＝2，c＝4，如图所示， 设双曲线的右焦点为M， 则M(4,0)， 由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4， 则|PF|＝4＋|PM|， 所以|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝＋4＝9， 当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立． 因此，|PF|＋|PA|的最小值为9. 四、解答题（共2小题） 15.已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】解：（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线的方程为， 代入可得， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为中点为，设，， 所以，， 因为点A,B在双曲线上，所以， 化简可得， 即，则， 所以， 所以直线的方程为，即． 联立方程，得，，符合题意， 故直线的方程为. 16.已知双曲线C1：x2－＝1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程； (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值． 【答案】解　(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则解得 所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1. (2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x， 设A(x1,2x1)，B(x2,-2x2)． 由 消去y化简得3x2－2mx－m2＝0. 由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2＞0，得m≠0. 因为x1x2＝－，·＝x1x2＋(2x1)·(－2x2)＝－3x1x2， 所以m2＝3，即m＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南永州高二上期中）双曲线的虚轴长为（） A. B. C.3 D.6 2.（2024-2025·湖南长沙高二下期中）已知双曲线的焦距为，则的离心率为（） A. B. C. D. 3.（2024-2025·湖南衡阳高二上期中）已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（） A. B. C. D. 4.若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围为(　　) A.(1，) B.(，＋∞) C.(1，] D.[，＋∞) 5.已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　) A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0 C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0 6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点与椭圆＋＝1的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线C的离心率为(　　) A.1 B. C.2 D.3 7.若实数m满足m2＝36，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　) A. B. C.或 D.或7 8.（2025-2026·辽宁高二上期中）火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分（如图1），它的优点是对流快､散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为图纸上的尺寸单位：，图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔的占地面积为（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 10.已知双曲线－＝1(m>0)，则(　　) A.离心率的最小值为4 B.当m＝1时，离心率最小 C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0 11.（2025-2026·海南海口高二上期中）双曲线与有相同的（） A.实轴长 B.焦距 C.离心率 D.渐近线 三、填空题（共3小题） 12.过双曲线－＝1的右焦点作弦AB，且AB⊥x轴，则△OAB的面积为                  . 13.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是                  ． 14.已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 16.已知双曲线C1：x2－＝1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程； (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $