专题3.2 确定圆的条件（7题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦“确定圆的条件”核心知识点，系统梳理过一点、两点、不在同一直线上三点作圆的规律，衔接三角形外接圆及外心概念，构建从基础作图到性质应用的知识支架。 通过尺规作图（如确定残缺圆的圆心）培养几何直观，结合外心位置与三角形形状关系的推理发展逻辑思维，借助网格图、坐标计算等实例提升应用意识。课中题型分层助力教学，课后练习帮助学生巩固查漏。

专题3.2 确定圆的条件 教学目标 1. 探索并掌握确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2. 理解三角形的外接圆和外心概念，掌握外心是三角形三边垂直平分线交点这一性质。 3. 能运用确定圆的条件进行尺规作图（作三角形的外接圆），并解决相关的几何问题。 教学重难点 重点： 1. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2. 三角形外接圆的作法及外心性质的应用。 教学难点： 1. 对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”定理的证明与理解。 2. 外心位置与三角形形状的关系（锐角三角形外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部）。 知识点01 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不在同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山西运城·月考）下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 题型01 求能确定的圆的个数 【典例1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 【变式1】（2026·河南平顶山·一模）如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：点即为所求， (2)证明：如图，过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．并作， 是直径， ， 是的中点， ，即， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）因为是直径，所以找到的中点即是圆心； （2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形是矩形，若，则，平行且等于，所以四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点， (1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：如图，圆心即为所求， (2)的长为 【分析】本题考查作图—垂直平分线，垂径定理，勾股定理，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）连接，以点A和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接直线交的垂直平分线于点O，此时点O即为所求； （2）连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， 垂直平分，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 的长为． 题型03 三角形外接圆的概念辨析 【典例3】（2026·青海西宁·二模）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 【变式1】（2026·宁夏固原·二模）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 题型04 求三角形外心坐标 【典例4】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【变式1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图外接圆的圆心坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可求解． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心坐标 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； (1)请在网格图中画出． (2)在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． (3)若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了作旋转图形、求弧长、求三角形的外接圆的圆心等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键. （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解即可； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点M，再结合坐标系即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求. （2）解：∵ ∴点B的路径的长为． （3）解：如图所示，． 题型05 求特殊三角形外接圆的半径 【典例5】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形的外接圆半径；先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半求解． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 斜边长， 外接圆半径． 故答案为： 【变式1】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则________． 【答案】3 【分析】本题考查求直角三角形的外接圆和内切圆的半径，先利用勾股定理计算斜边长，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半，求出R和r，最后求差即可． 【详解】解：∵两直角边分别为的直角三角形， ∴斜边长为， ∵直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点， ∴， ∵直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知，． (1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若为，为，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径为5． 【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接圆的画法和其性质是解题的关键． （1）根据题意画的外接圆，即先画三条边的垂直平分线，其交点为圆心，以为半径作圆即可； （2）先根据勾股定理求出，即可求出半径的值． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）∵，，，， ∴， ∵令的半径为， ∴． 题型06 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例6】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【变式2】（2020·河北衡水·一模）如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理及三角形面积公式．先根据三角形外心性质及中点条件，得到，，，，从而得到，的长度，由的已知长度可知，三边符合勾股定理的逆定理，从而得到，进而求得的长，最终求得的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵E是的外心，P、Q分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 题型07 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例7】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是判断外接圆的圆心所在的位置． 外心的位置与三角形类型有关：①锐角三角形的外心在三角形内部；②直角三角形的外心在斜边中点处；③钝角三角形的外心在三角形外部．因此，若外心在三角形外部，则三角形必为钝角三角形． 【详解】解：∵ 点是的外心，且点在外， ∴ 是钝角三角形．（注：仅钝角三角形的外心在三角形外部．） 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，， ∴三角形的外心为点， 故选A． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵I是的内心，， ∴， ∵点O是的外心， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 二、填空题 5．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 7．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 【详解】∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 8．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，确定的外接圆直径为斜边，连接，，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，且为直角， ∴， 作的外接圆如图，连接，，交于点 ，则为直径，，    ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 9．（25-26九年级下·甘肃张掖·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】(1)见解析 (2) (3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，以为半径画圆即可得到所求的圆； （2）连接，设半径为，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径； （3）根据（1）（2）的解题思路即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求的圆． （2）解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． （3）解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 10．（2026·河南·一模）如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 【答案】(1) 如图1所示，即为所求 (2) 证明：如图2，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 【分析】（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作即可； （2）延长至点E，使，连接，证明，进而证明是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 3．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】此题考查了直角三角形外心的位置．直角三角形的外心是其外接圆的圆心，由于直角三角形的斜边是外接圆的直径，因此外心位于斜边的中点．据此进行判断即可． 【详解】解：在直角三角形中，直角所对的边是斜边．根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此直角三角形的斜边是其外接圆的直径．外心是外接圆的圆心，圆心是直径的中点，故直角三角形的外心是斜边的中点．因此该命题是真命题． 故答案为：真． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，通过求三边垂直平分线的交点得到圆心坐标是解题的关键． 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如图所示： 分别作出与的垂直平分线交于点，则的横坐标为4，纵坐标为4， ∴△ABC的外接圆的圆心坐标为 故答案为：． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，利用圆周角定理得出圆心角的度数，再根据点是外心可知，进而判断出的形状，最后利用勾股定理求得. 【详解】解：如图，过点作于点，则． 由题意，得内接于半径为的， ． 又， ， ， ， ， ； 故答案为：. 9．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为______． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 10．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心和外心等知识．求出和，即可得到答案． 【详解】解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 12．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理是解题的关键； （1）连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，然后根据坐标系可进行求解； （2）连接，则即为的半径，然后根据勾股定理可进行求解； （3）连接，由题意易得，即，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，如图所示： 由坐标系可知：点M的坐标为； 故答案为； （2）解：连接，则即为的半径， ∵， ∴， 故答案为； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的长度为； 故答案为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2确定圆的条件 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01确定圆的条件 2.知识清单 题型01求能确定的圆的个数 题型02确定圆心（尺规作图） 确定圆的条件 题型03三角形外接圆的概念辨析 题型04求三角形外心坐标 3题型精讲 题型05求特殊三角形外接圆的半径 题型06已知外心的位置判断三角形的形状 题型07判断三角形外接圆的圆心位置 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.探索并掌握确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.理解三角形的外接圆和外心概念，掌握外心是三角形三边垂直平分线交点这一性 教学目标 质。 3.能运用确定圆的条件进行尺规作图（作三角形的外接圆），并解决相关的几何问 题。 重点： 1.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形外接圆的作法及外心性质的应用。 教学重难点 教学难点： 1.对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”定理的证明与理解。 2.外心位置与三角形形状的关系（锐角三角形外心在内部，直角三角形在斜边中点， 钝角三角形在外部)。 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆： 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 A 1)经过一个已知点A可画无数个圆。 2)经过已知两点A,B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3)经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4)经过不在同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1.(25-26九年级上·山西运城月考)下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所 对的弧相等：③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级上·安徽芜湖月考)点A(6,8)是平面直角坐标系xOy上一点，以点A为圆心，A0长为 半径作圆并与坐标轴交于不与原点O重合的B、C两点，则BC的长为 3.(25-26九年级上·吉林·期中)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格 点.点A,B,C均是格点，△ABC的外接圆的圆心记为点O,只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要 求作图 图① 图② 图③ (1)在图①中，标出圆心0， (2)在图②中，△ABC的外接圆上找出一点D,使得BD=AC (3)在图③中，△ABC的外接圆上找出一点E,使得EA=EB 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01求能确定的圆的个数 【典例1】(25-26九年级上江苏镇江期末)已知线段AB=7,经过A、B两点且半径为5的圆有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【变式】(2526九年级上渐江嘉兴期未)如图。已知点4：B和线段a,a>4B。用直尺和圆规作 ⊙0，使⊙0过点A,B,且半径为a,则这样的圆可以作() a B A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 【变式2】(25-26九年级上·安徽芜湖阶段检测)已知AB、CD为平面内不重合的四个点，且这四点 不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型02确定圆心（尺规作图） 【典例2】(2026陕西西安·模拟预测)如图，弧AB是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心O的 位置.（保留作图痕迹，不写作法） B 【变式1】(2026河南平顶山一模)如图，△ABC是圆内接三角形，AB为圆的直径. 3/13 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹，不写作法)· (②)过点O的直线MN交BC的延长线于点E，,D为边AC的中点，连接OD,OC,DE.若BC=2CE,求 证：四边形OCED是平行四边形. 【变式2】(25-26九年级上：河北张家口·期末)如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点A, B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C, (1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心O: (2)若AB=40cm,CD=10cm,求OD的长. 题型03三角形外接圆的概念辨析 【典例3】(2026青海西宁·二模)下列说法正确的是() A.三点确定一个圆 B.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C.三角形三条高的交点是三角形的重心 D.直角三角形的外心在斜边上 【变式1】(2026宁夏固原·二模)已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A,B,C,P均在格点 上，有下列结论：①点P在∠ACB的平分线上：②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③ ∠BAC=∠ABC;④点P是△ABC的外心：⑤点P是△ABC的重心.其中正确的有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】(25-26九年级上江苏泰州期末)如图所示，在4×4的网格中，A,B,C,D,O均在格点上， 则点O是() 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.△ACD的外心 B.△ACD的内心 C.△ABC的重心 D.△ABC的外心 题型04求三角形外心坐标 【典例4】(25-26九年级上北京大兴期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知点A(-2,),B(0,1), C(1,0),写出△ABC的外接圆的圆心坐标为 432】 【变式1】(25-26九年级上山东济宁·阶段检测)如图△ABC外接圆的圆心坐标是 0123456 【变式2】(25-26九年级上江苏镇江阶段检测)如图△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,7),B(4,5), C(2,1),将△ABC绕C逆时针旋转90°，得到△4BC; 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 8 6 3 2 -5-4-3-2-10 12345x (1)请在网格图中画出△4BC (2)在(1)的条件下，则点B的路径的长为 (3)若⊙M是△ABC的外接圆，直接写出点M的坐标 题型05求特殊三角形外接圆的半径 【典例5】(25-26九年级上江苏扬州期中)若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的 半径为 【变式1】(25-26九年级上·山东东营阶段检测)设两直角边分别为68的直角三角形的外接圆和内切圆 的半径长分别为R和r,则R-r= 【变式2】(2025·甘肃定西模拟预测)已知Rt△ABC,∠C=90°. B (I)求作一点O,使以O为圆心的圆经过AB、C三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证 明) (2)若AC为8，BC为6，求⊙0的半径. 题型06已知外心的位置判断三角形的形状 【典例6】(25-26九年级上·浙江温州期中)如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一 定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 6/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式1】(25-26九年级上·浙江杭州：期中)△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【变式2】(2020河北衡水·一模)如图，已知E是△ABC的外心，P、分别是AB、AC的中点，连接 EP、EQ交BC于点R、D,若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为() A.18 B.24 C.30 D.36 题型07判断三角形外接圆的圆心位置 【典例7】(25-26九年级上河北沧州期中)如图，在4×4的网格中，点A,B,C,D,E,F,G均 在格点上，则△ABC的外心是() G A.点D B.点E C.点F D.点G 【变式1】(2025九年级全国专题练习)己知点O是△ABC外接圆的圆心，若点O在△ABC外，则 △ABC是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上都有可能 【变式2】(25-26九年级上·江苏泰州期中)在如图所示的方格型网格图中，取3个格点ABC并顺次 连接得到△MBC,则△MBC的外心是() A.点D B.点E C.点F D.点G 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下江苏盐城阶段检测)三角形的外心是() A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高的交点 C.三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三个内角平分线的交点 2.(2026河南三门峡一模)如图，在△ABC中，AC=5,∠ABC=30°.观察图中尺规作图的痕迹，则 ⊙0的半径是() A.2 B.5 C.6 D.10 3.(25-26九年级上山东威海期末)如图，点O,I分别是△ABC的外心、内心，连接OB,A.若 ∠BAI=35°，则∠OBC的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35° 4.(25-26九年级上全国课后作业)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所 示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题 5.(2026上海静安·三模)已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为 6.(25-26九年级上吉林长春阶段检测)如图，正方形网格中，A,B,C三点均在格点上，那么△ABC的 外接圆圆心是点 B 7.(25-26九年级下江苏泰州阶段检测)在△ABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6,△ABC的重心与外心的 距离是 8.(2026江苏无锡模拟预测)已知△ABC中，AB=4,AC=3,且∠A为直角，作它的外接圆，取弧 AB的中点M,连接CM,则CM的长为， 三、解答题 9.(25-26九年级下·甘肃张掖期中)如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于点C, 交弦AB于点D.已知AB=24cm,CD=8cm. B ()求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）： (2)求(1)中所作圆的半径. (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出一，即两条弦的 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用 定理求解. 10.(2026河南一模)如图1和图2，△ABC是等边三角形 4 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出△ABC的外接圆⊙O.(保留作图痕迹，不写作法) (2)点P在AC上（点P不与点A、C重合），在图2中连接PA、PB、PC,求证：PB=PA+PC 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上河北保定期中)如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C,D,O均在格点 (网格线的交点)上，点O是() A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心 2.(25-26九年级上江西南昌·阶段检测)如图，在3×3的正方形网格中，A,B在格点上，在网格中找一 个格点C,使△ABC的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有() 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(2026山东德州一模)如图，AB=AC,∠A=42°，O是△ABC的外接圆圆心，连接BO并延长，交 AC于点D,则∠BDC的度数为() B A.69° B.96 C.63 D.48 4.(25-26九年级上山东东营阶段检测)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 O,A,B,C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A,B,C 三点的圆的半径为() A.5 B.3 C.10 D.2W2 5.(25-26九年级上·天津蓟州阶段检测)如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心是 () 6 5 3 2 1 123456x A.(1,3) B.(2,3) C.(2,2) D.(1,2) 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏南京·期中)命题“直角三角形的外心是其斜边的中点，”是 命题. (填“真”或“假”) 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2025九年级全国专题练习)如图，在平面直角坐标系中，己知A1,3),B(3,),C(5,),则△ABC 外接圆的圆心坐标为， 6 5 4 3 2 1 B C 0123456x 8.(25-26九年级上全国课后作业)如图，若点O是△ABC的外心，OB=2,∠A=60°，连接OC,则 边BC的长为， 9.(24-25九年级上河北唐山期末)已知直角三角形模具的两条直角边为5cm和12cm,若用一个圆形纸 片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为c 10.(2025·上海二模)我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”.己知等 腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于一 三、解答题 11.(2425九年级上江苏南京阶段检测)如图，△ABC中，AB=AC. (1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O(保留作图痕迹，不写作法)： (2)若AB=AC=5,BC=6,求△ABC的外接圆⊙0的半径， 12.(25-26九年级上·湖北黄石阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A(,6)、B(5,6)C(7,4). 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A B 》 (I)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 (2)这个圆的半径为 (3)直接写出AC的长度为 (结果保留π)· 13113