专题15 相似三角形判定方法和常见模型的应用（9大题型）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以判定方法为纲、模型应用为目，构建“通法+题型+模型”三维训练体系，强化抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|总结AA/SAS/SSS判定及A字、8字等模型识别技巧|从判定原理到模型应用递进| |题型归纳|9题型（1典例+3变式）|每个题型提炼特征（如“一线三等角”等角关系）与方法（如AA证相似、比例式求解）|题型与判定方法/模型一一对应| |压轴挑战|15综合题|综合应用判定与模型，结合函数、圆等知识构建方程|从基础应用到复杂情境迁移|

专题15 相似三角形判定方法和常见模型的应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平行线相似的应用 题型2、角角相似的应用 题型3、三边对应成比例的应用 题型4、两边对应成比例夹角相等的应用 题型5、手拉手相似模型的应用 题型6、母子模型的应用 题型7、8字相似模型的应用 题型8、A字相似模型的应用 题型9、一线三等角模型的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限TOC 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形是初中几何的核心工具，判定方法有“角角（AA）”“两边成比例且夹角相等（SAS）”“三边成比例（SSS）”；解题时要善于从复杂图形中识别基本模型：A字、8字、母子型、手拉手型、一线三等角等；通过对应边成比例实现线段转移，通过相似比建立方程；综合题常结合平行线、圆、函数等知识，注意挖掘公共角、对顶角、等量代换等隐藏条件． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平行线相似的应用 典例1 综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2） ，理由如下： ， ， ； （3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型模版 1.特征：利用平行线分线段成比例或平行于三角形一边的直线判定相似． 2.方法：找平行线产生的同位角、内错角相等；用AA判定相似；列出对应边比例式求解未知线段． 变式1-1 如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 变式1-2 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) 解：，， ， ， 解得：，（舍去）； (2) 如图所示：点P即为所求． 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【详解】（1）略 （2）略 变式1-3 如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值，且最大值为6 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量关系是解题的关键． （1）由平行线得，根据相似形的性质得关系式； （2）根据，列函数关系式即可； （3）运用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，则， ， ．     ，即． ． 自变量的取值范围为． （2）． （3）， 当时，有最大值，且最大值为6． 题型2、角角相似的应用 典例2 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点． (1)如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧恰好也经过点． ①的度数为__________； ②若，求阴影部分的面积． (2)如图，若，证明：． 【答案】(1)① ② (2) 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①由尺规作图得到线段相等，推出为等边三角形，再利用平角性质求出；②先算出扇形的面积，再结合直径所对圆周角为直角求出的面积，然后根据同高三角形的面积比等于底边比得出，进而得到的面积，最后用扇形面积减去三角形面积得到阴影面积； （2）通过等腰三角形性质和三角形外角性质，找到两组对应相等的角，从而证明． 【详解】（1）①解：以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点， ， 以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点、， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． ②解：如图，过点作， ， ， 圆心角，半径， 扇形的面积为， ，， ， ， 点、、在以点为圆心的圆上， 为直径， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 答：． （2）略 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，圆周角定理，扇形面积公式，相似三角形的判定，从尺规作图中提取线段相等关系是解题关键． 题型模版 1.特征：通过两组角对应相等判定两个三角形相似． 2.方法：挖掘公共角、对顶角、同角（等角）的余角或补角相等；找准对应顶点，列比例式或求角． 变式2-1 如图，与是两个全等的等腰三角形，，分别与相交于点F、G，． (1)图中有哪几对不全等的相似三角形，请把它们表示出来． (2)根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究之间的关系，并证明． 甲同学：把分别沿折叠，发现：B、C两点重合． 乙同学：把绕点A旋转，使重合，发现：构造出了直角． 【答案】(1)共有3对，，，； (2)， 证明方法（一） 如图1，把分别沿折叠至和， 则，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴点重合，记为点， ∴ ∴ ∴； 证明方法（二） 把旋转至，得， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 【分析】（1）由等腰直角三角形可得，而，，则，，再由相似三角形传递性可得； （2）方法一：把分别沿折叠至和，然后证明点重合，记为点，再证明，即可由勾股定理求解；方法二：把旋转至，得，然后证明，，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵与是两个全等的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， （2）略 变式2-2 已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 变式2-3 如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用直角三角形的性质，圆周角定理和同角的余角相等的性质得到，利用圆周角定理得到，再利用相似三角形的判定定理解答即可得出结论； （2）利用角平分线的定义，同角的余角相等的性质得到，利用对顶角相等的性质和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论； （3）利用直角三角形的边角关系定理求得，则，利用直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，则结论可求． 【详解】（1）证明：为边的高， ， 为的直径， ， ， ， ； （2）证明：直径平分， ． ， ， ， ， ． ， ， ； （3）解：，，， ， ， ， ， ， 设，则， 由（2）知：， ， ， ， （不合题意，舍去）或， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用和角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 题型3、三边对应成比例的应用 典例3 如图，在和中，已知．    (1)求证：； (2)求与的长； (3)求和这两个三角形的面积比． 【答案】(1) 证明：， ． 设每小格的长度为a， 则，， ， ， ； (2)， (3)4 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，相似三角形的判定和性质． （1）设每小格的长度为a，由勾股定理得，，推出，即可证明； （2）根据，计算出a的值，结合（1）中得出的，，即可求解； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】（1）略 （2）设每小格的长度为a， 则， 又， ， 解得， 由（1）知，， ，； （3）解：，， ． 题型模版 1.特征：已知三边对应成比例，判定两个三角形相似并求值． 2.方法：把三边按大小排序，计算对应比值；若三比相等则相似；利用相似比求未知边或周长、面积比． 变式3-1 已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 变式3-2 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】(1)， 证明：， ， ， ∵， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 【详解】（1）略 （2）略 变式3-3 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上． (1)求的值； (2)在不添加字母的情况下填空并证明．________． 证明： 【答案】(1) (2)， 理由： 由图可知，，，，，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定知识点，解题的关键是熟练运用勾股定理求出线段长度，并依据相似三角形的判定条件证明三角形相似． （1）通过在正方形网格中利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据三角函数的定义计算出所求三角函数值． （2）同样先利用勾股定理算出各个三角形的边长，然后通过边长之间的比例关系，依据相似三角形的判定定理来确定两个三角形相似，并完成填空和证明． 【详解】（1）由图可知，，，， ∵， ∴，     ∴ ∴； （2） 略 题型4、两边对应成比例夹角相等的应用 典例4 如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 【答案】(1)对，对，错 (2) 解：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）根据相似三角形的判定方法进行证明即可求解； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由， 由不是和的夹角，故不能证明． ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 题型模版 1.特征：已知两边对应成比例且夹角相等，判定两个三角形相似． 2.方法：验证夹角相等（常为公共角或对顶角）；检查夹这个角的两边是否成比例；得出结论并应用． 变式4-1 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 变式4-2 【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式4-3 如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 【答案】(1) 证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5、手拉手相似模型的应用 典例5 如图，在等腰中，，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：四边形是菱形； (3)如图3，若，且，求的值． 【答案】(1)，， ，， ∵在中，， 在中，， ； (2)由（1）知，， ，， 又， ， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，然后进行角的等量代换，即可作答； （2）先证明，得出四边形是平行四边形，根据，即可得证； （3）作于点G，作于点H，作的平分线，交于点T，延长交于点，证明，，得出，则，根据已知得出，设，则，则，进而得出，根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，作于点G，作于点H，作的平分线，交于点T，延长交于点， ， 由（1）知， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则，则， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质以及解直角三角形，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形求解三角函数值． 题型模版 1.特征：两个三角形共顶点且对应边呈旋转对称，形成手拉手相似模型． 2.方法：抓住公共顶点处的等角；证明另一组角相等或夹等角的两边成比例；利用相似比进行线段转移． 变式5-1 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式5-2 在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1) 证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 变式5-3 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 题型6、母子模型的应用 典例6 如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型模版 1.特征：一个三角形的一边在另一个三角形的一边上，且有公共角，形成母子型相似． 2.方法：利用公共角再找一组角相等（如直角公用）；用AA判定相似；常见结论：公共边的平方等于两对应边的乘积． 变式6-1 定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1) 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 变式6-2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 变式6-3 如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可； （2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可； （3）连接交于点，连接，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD= 即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵， ∴， 又∵， ∴∽， ∴． （2）证明：如图2，∵， ∴，AD=BC， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵∠EAC=∠CAB， ∴∽， ∴，即， ∴． ∴； （3）解：如图3，连接OA交于点，连接， ∵，， ∴AC=2AE， ∴，， ∴， ∵∠BAC=∠EAB， ∴∽， ∴， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ABD=∠ADB， ∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径， ∴，BF=DF， ∵，， ∴BF=DF= ， 在Rt△OBF中， 根据勾股定理OF=， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键． 题型7、8字相似模型的应用 典例7 某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【答案】（1）75，；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出即可求解； （2）过点B作交AC于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵∠，， ∴， ∴； 故答案为：75， ． 在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 （2）如图3中，过点B作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在中， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 题型模版 1.特征：两条相交线段构成“8”字形，利用对顶角相等找相似． 2.方法：识别对顶角及另一组等角；用AA判定相似；注意对应顶点顺序，列比例式求解． 变式7-1 如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质和相似三角形的综合运用，如何准确添加辅助线是解题的关键． 首先根据题意，易判断出几组相似三角形，其中可求的长度，随后根据特殊角，所以构造，作交于点H，构造等腰直角三角形，根据以及等腰直角三角形的线段关系，得出，于是在直角三角形中存在直角边的比例关系，结合圆周角定理，围绕半径构造出与相似的三角形，即连接、，过点O作交于点M，得到，通过两组角相等证明，故得出，最后根据勾股定理求出的长度，即为⊙O的半径． 【详解】解：过点D作交于点H，连接、，过点O作交于点M，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又因为三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴，故， ∵三角形为等腰三角形，且， ∴， 根据圆周角定理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 根据勾股定理， ∴，即⊙O的半径为． 故选：A． 变式7-2 综合与实践： 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E． “兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形． (1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； (2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． (3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果） 【答案】(1) 证法一：由折叠得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 证法二： 证明：由折叠得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． (2) 解： ；理由如下： 连接 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴ ∵点P是的中点 ∴ ∴   ∴ ∴ ∴ ∴（SSS） ∴ 又∵，即 ∴ ∴． (3) 【分析】（1）先证明，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断； （2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°； （3）延长BA、CP相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长BA、CP相交于点F， 由题意，△AFP∽△DCP ∴ 即 ∴ ∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F ∴∠F=∠ECP ∴EF=EC=DC=10 ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几何知识，构造常见的模型． 变式7-3 如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，且，连接，将线段所在直线绕点D顺时针旋转交延长线于点H，所在直线与射线交于点G． （1）如图1，当时，求证：≌； （2）当时， ①如图2，连接，求证：∽； ②若，，，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴为等边三角形， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌； （2）①证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴， 又∵， ∴∽； ②的长为或． 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形判定与性质、三角形全等的判定、三角形相似判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明为等边三角形，根据四边形为平行四边形，可得，，，可证，进而求解； （2）①根据，，可得，根据四边形为平行四边形，可得，可得，进而解题即可； ②根据点E的位置分两种情况，当点E在上时，过C作于N，过G作于M，证明∽，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理得，再证∽，根据勾股定理进行解题；当点E在延长线上时，过C作于N，过G作于M，证明∽，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：当点E在上时，如图，过C作于N，过G作于M， ∵四边形为平行四边形，，，， ∴，， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴∽， ∴， ∴,， ∴， 在中，； 当点E在延长线上时，如图，过C作于N，过G作于M， ∵， ∴，， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∴∽， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 综上所述，的长为或． 题型8、A字相似模型的应用 典例8 如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结． (1)线段的长为___________ ； (2)当时，求线段的长； (3)当点F落在内部时，求的取值范围； (4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可． （2）由旋转可得：，，证明，可得，进一步可得答案． （3）当点F落在上时，过点D作于，由（2）同理可得：，可得，进一步求解即可；当点F落在上时，过点D作于，延长交的延长线于，同理：，，，，设，则，证明，，进一步求解即可． （4）当时，过点D作于，则，可得，进一步求解即可；当时，过点E作于，设，同理可得：，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）如图所示， 点D为边的中点， ， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图所示，当点F落在上时，过点D作于， 由（2）同理可得：， ， ，， 由旋转可得：，， ， ， ， 如图所示，当点F落在上时，过点D作于，延长交的延长线于， 同理可得：，，，， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 当点F落在内部时，的取值范围为； （4），， ， 第一种情况，如图所示，当时，过点D作于， 则， ， ， ， 第二种情况，如图所示，当时，过点E作于， ， 设， 同理可得：， ， ， ， ， 由上可知，， ， 解得：， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，利用分类讨论的思想，作出合适的辅助线是解题的关键． 题型模版 1.特征：一条直线截三角形两边或延长线形成“A”字形，产生相似． 2.方法：找公共角及平行线或另一组等角；用AA或平行线分线段成比例；建立比例式求线段长． 变式8-1 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 变式8-2 如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 变式8-3 如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，． （1）过点作交于点，求证：； （2）如图2，将沿翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据题意证明，即可证明，在根据垂直平分可得，即可证的结果； （2）①过点作交于点，根据（1）中结论，然后证明即可； ②求证，则，据此解答即可． 【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴； （2）如图2，过点作交于点． ①证明：由（1）可知，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②解：∵， ∴， 由翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴．（负根舍去） 经检验：是原方程的根，且符合题意， 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键． 题型9、一线三等角模型的应用 典例9 问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 题型模版 1.特征：一条直线上有三个等角，构造相似三角形，常称一线三等角模型． 2.方法：利用等角关系和补角关系导出一组角相等；用AA判定相似；注意不同顶点的对应关系． 变式9-1 如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 变式9-2 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 变式9-3 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 【答案】(1)∠CAD=∠GAD； (2)①AD∥BC； ②3 (3)9 【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD； （2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC； ②易证，可得 （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得， 即可用一线三等角模型构造相似解题． 【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG ∴∠CAD=∠GAD； （2）①∵ ∴ ∵∠CAD=∠GAD, ∴ ∴AD∥BC ②∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图 由（1）（2）可得, 设则 ∵点P为AB的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，解得 ∴． 【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 4．如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点B作，交延长线于点G，利用平行线构造相似三角形是解题的关键； 过点B作，交延长线于点G，利用可得，，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G， 设，，则， ， ，， 由，可得， ， 由，可得， 即． 故选：B． 5．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 6．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 8．如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：．并求的值． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析，2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． （1）由即可证明结论； （2）由可得，由角平分线的性质可得，可证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 9．如图，已知与都是等边三角形，点在上(不与、重合)，与相交于点． (1)求证：； (2)若，设，； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当最大时，判断的形状？ 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②直角三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、二次函数的最值及等边三角形的性质，关键是利用相似关系建立函数模型，结合二次函数性质和几何判定定理解决问题． （1）利用等边三角形的内角为，通过角的和差关系推导一组对应角相等，结合“两角对应相等的两个三角形相似”完成证明； （2）①由等边三角形性质得到，表示出的长度，再根据相似三角形的对应边成比例，代入已知量整理得到函数解析式，最后根据点的位置确定自变量范围；②将二次函数化为顶点式，求出最大时的值，进而得到和的长度，结合，利用勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵与都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）①解：∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∵点在上且不与、重合， ∴自变量的取值范围是； ②解：， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时，， 在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； 答：当最大时，是直角三角形． 10．如图1，是的直径，是左半圆上的任意一点（不与，重合），是劣弧上一动点．连结，，在右半圆上取一点，使得，连接并交于点． (1)求证： (2)如图2，当为左半圆上的中点时，求证：在点运动过程中，始终存在． (3)如图3，在（2）的条件下，连结，取右半圆中点，连结，，求证：与面积相等 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴ (2) 证明：∵为左半圆上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：如图所示，设交于Q，连接， ∵M、N分别为左半圆和右半圆的中点， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与面积相等． 【分析】本题主要考查了弧与弦以及圆周角之间的关系，相似三角形的性质与判定，等角对等边等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据已知条件和相似三角形的判定定理即可证明结论； （2）由题意可得，再证明，得到，则有，据此可证明； （3）设交于Q，连接， 根据题意可得，，则可证明为的直径，得到，再证明，得到；导角可证明；再证明，得到，则可推出，据此可证明与面积相等． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1) 证明： 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 (2) 证明： 又 ，即 ． 又 ，即 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 12．如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）略 13．【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 14．【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图，由折叠得到， ， ． 又四边形ABCD是正方形， ， ， ， 又 正方形 ． ； （2）； （3）或 【分析】（1）根据ASA证明； （2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可； （3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 由（1）得， ， 由折叠得，， ． 四边形是正方形， ， ， 又， ， ． ，， ，． ， ， （舍去）． （3）如图，连结HE， 由已知可设，，可令， ①当点H在D点左边时，如图， 同（2）可得，， ， 由折叠得， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． ， ， ， （舍去）． ②当点在点右边时，如图， 同理得，， 同理可得， 可得，， ， ， （舍去）． 15．如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 1 / 10 学科网（北京）股份有 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 相似三角形判定方法和常见模型的应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平行线相似的应用 题型2、角角相似的应用 题型3、三边对应成比例的应用 题型4、两边对应成比例夹角相等的应用 题型5、手拉手相似模型的应用 题型6、母子模型的应用 题型7、8字相似模型的应用 题型8、A字相似模型的应用 题型9、一线三等角模型的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形是初中几何的核心工具，判定方法有“角角（AA）”“两边成比例且夹角相等（SAS）”“三边成比例（SSS）”；解题时要善于从复杂图形中识别基本模型：A字、8字、母子型、手拉手型、一线三等角等；通过对应边成比例实现线段转移，通过相似比建立方程；综合题常结合平行线、圆、函数等知识，注意挖掘公共角、对顶角、等量代换等隐藏条件． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平行线相似的应用 典例1 综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 题型模版 1.特征：利用平行线分线段成比例或平行于三角形一边的直线判定相似． 2.方法：找平行线产生的同位角、内错角相等；用AA判定相似；列出对应边比例式求解未知线段． 变式1-1 如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 变式1-2 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 变式1-3 如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 题型2、角角相似的应用 典例2 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点． (1)如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧恰好也经过点． ①的度数为__________； ②若，求阴影部分的面积． (2)如图，若，证明：． 题型模版 1.特征：通过两组角对应相等判定两个三角形相似． 2.方法：挖掘公共角、对顶角、同角（等角）的余角或补角相等；找准对应顶点，列比例式或求角． 变式2-1 如图，与是两个全等的等腰三角形，，分别与相交于点F、G，． (1)图中有哪几对不全等的相似三角形，请把它们表示出来． (2)根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究之间的关系，并证明． 甲同学：把分别沿折叠，发现：B、C两点重合． 乙同学：把绕点A旋转，使重合，发现：构造出了直角． 变式2-2 已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 变式2-3 如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 题型3、三边对应成比例的应用 典例3 如图，在和中，已知．    (1)求证：； (2)求与的长； (3)求和这两个三角形的面积比． 题型模版 1.特征：已知三边对应成比例，判定两个三角形相似并求值． 2.方法：把三边按大小排序，计算对应比值；若三比相等则相似；利用相似比求未知边或周长、面积比． 变式3-1 已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 变式3-2 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 变式3-3 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上． (1)求的值； (2)在不添加字母的情况下填空并证明．________． 证明： 题型4、两边对应成比例夹角相等的应用 典例4 如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 题型模版 1.特征：已知两边对应成比例且夹角相等，判定两个三角形相似． 2.方法：验证夹角相等（常为公共角或对顶角）；检查夹这个角的两边是否成比例；得出结论并应用． 变式4-1 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 变式4-2 【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 变式4-3 如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 题型5、手拉手相似模型的应用 典例5 如图，在等腰中，，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：四边形是菱形； (3)如图3，若，且，求的值． 题型模版 1.特征：两个三角形共顶点且对应边呈旋转对称，形成手拉手相似模型． 2.方法：抓住公共顶点处的等角；证明另一组角相等或夹等角的两边成比例；利用相似比进行线段转移． 变式5-1 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 变式5-2 在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 变式5-3 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 题型6、母子模型的应用 典例6 如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 题型模版 1.特征：一个三角形的一边在另一个三角形的一边上，且有公共角，形成母子型相似． 2.方法：利用公共角再找一组角相等（如直角公用）；用AA判定相似；常见结论：公共边的平方等于两对应边的乘积． 变式6-1 定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 变式6-2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 变式6-3 如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 题型7、8字相似模型的应用 典例7 某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 题型模版 1.特征：两条相交线段构成“8”字形，利用对顶角相等找相似． 2.方法：识别对顶角及另一组等角；用AA判定相似；注意对应顶点顺序，列比例式求解． 变式7-1 如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（   ） A． B． C． D． 变式7-2 综合与实践： 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E． “兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形． (1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； (2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． (3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果） 变式7-3 如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，且，连接，将线段所在直线绕点D顺时针旋转交延长线于点H，所在直线与射线交于点G． （1）如图1，当时，求证：≌； （2）当时， ①如图2，连接，求证：∽； ②若，，，请直接写出的长． 题型8、A字相似模型的应用 典例8 如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结． (1)线段的长为___________ ； (2)当时，求线段的长； (3)当点F落在内部时，求的取值范围； (4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 题型模版 1.特征：一条直线截三角形两边或延长线形成“A”字形，产生相似． 2.方法：找公共角及平行线或另一组等角；用AA或平行线分线段成比例；建立比例式求线段长． 变式8-1 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 变式8-2 如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 变式8-3 如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，． （1）过点作交于点，求证：； （2）如图2，将沿翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长度． 题型9、一线三等角模型的应用 典例9 问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 题型模版 1.特征：一条直线上有三个等角，构造相似三角形，常称一线三等角模型． 2.方法：利用等角关系和补角关系导出一组角相等；用AA判定相似；注意不同顶点的对应关系． 变式9-1 如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 变式9-2 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 变式9-3 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 4．如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 7．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：．并求的值． 9．如图，已知与都是等边三角形，点在上(不与、重合)，与相交于点． (1)求证：； (2)若，设，； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当最大时，判断的形状？ 10．如图1，是的直径，是左半圆上的任意一点（不与，重合），是劣弧上一动点．连结，，在右半圆上取一点，使得，连接并交于点． (1)求证： (2)如图2，当为左半圆上的中点时，求证：在点运动过程中，始终存在． (3)如图3，在（2）的条件下，连结，取右半圆中点，连结，，求证：与面积相等 11．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 12．如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 13．【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 14．【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 15．如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $